Тройной продукт

Эта статья о тернарных операциях над векторами. Чтобы узнать о других значениях, см. Тройной продукт (значения) .

«Подписанный том» перенаправляется сюда. О книгах с автографами см. Библиофилия .

В геометрии и алгебре тройное произведение — это произведение трёх трёхмерных векторов , обычно евклидовых векторов . Название «тройное произведение» используется для двух разных продуктов: скалярного и тройного произведения , реже, векторного тройного произведения .

Скалярное тройное произведение

Три вектора, определяющие параллелепипед

Скалярное тройное произведение (также называемое смешанным произведением , коробочным произведением или тройным скалярным произведением ) определяется как скалярное произведение одного из векторов с векторным произведением двух других.

Геометрическая интерпретация

Геометрически скалярное тройное произведение

$\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )$

- это (со знаком) объем параллелепипеда , определяемого тремя заданными векторами.

Характеристики

• Скалярное тройное произведение не меняется при круговом сдвиге трех его операндов ( a , b , c ):

  $\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )=\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )$

• Замена позиций операторов без изменения порядка операндов оставляет тройное произведение неизменным. Это следует из предыдущего свойства и коммутативного свойства скалярного произведения:

  $\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c}$

• Замена любых двух из трех операндов отменяет тройное произведение. Это следует из свойства кругового сдвига и антикоммутативности векторного произведения:

  ${\begin{aligned}\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )&=-\mathbf {a} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {b} )\\&=-\mathbf {b} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {c} )\\&=-\mathbf {c} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {a} )\end{aligned}}$

• Скалярное тройное произведение также можно понимать как определитель матрицы 3 × 3 , в которой три вектора являются либо строками, либо столбцами (матрица имеет тот же определитель, что и ее транспонирование ):

  $\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\det {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\\\end{bmatrix}}=\det {\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{bmatrix}}=\det {\begin{bmatrix}\mathbf {a} &\mathbf {b} &\mathbf {c} \end{bmatrix}}.$

• Если скалярное тройное произведение равно нулю, то три вектора a , b и c компланарны . , поскольку определяемый ими параллелепипед был бы плоским и не имел бы объема
• Если любые два вектора в скалярном тройном произведении равны, то его значение равно нулю:

  $\mathbf {a} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {a} )=\mathbf {b} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {a} )=0$

• Также:

  $(\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} ))\,\mathbf {a} =(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times (\mathbf {a} \times \mathbf {c} )$

• Простое произведение двух тройных произведений (или квадрат тройного произведения) можно разложить с помощью скалярных произведений: $$((\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} )\;((\mathbf {d} \times \mathbf {e} )\cdot \mathbf {f} )=\det {\begin{bmatrix}\mathbf {a} \cdot \mathbf {d} &\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} &\mathbf {a} \cdot \mathbf {f} \\\mathbf {b} \cdot \mathbf {d} &\mathbf {b} \cdot \mathbf {e} &\mathbf {b} \cdot \mathbf {f} \\\mathbf {c} \cdot \mathbf {d} &\mathbf {c} \cdot \mathbf {e} &\mathbf {c} \cdot \mathbf {f} \end{bmatrix}}$$В векторной записи это повторяет, что произведение определителей двух матриц 3×3 равно определителю их матричного произведения. В частном случае квадрат тройного произведения является определителем Грама .
• Отношение тройного произведения и произведения трех векторных норм известно как полярный синус : $${\frac {\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )}{\|{\mathbf {a} }\|\|{\mathbf {b} }\|\|{\mathbf {c} }\|}}=\operatorname {psin} (\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} )$$который находится в диапазоне от −1 до 1.

Скалярный или псевдоскалярный

Хотя скалярное тройное произведение дает объем параллелепипеда, это объем со знаком, знак которого зависит от ориентации системы отсчета или четности перестановки векторов. Это означает, что произведение инвертируется, если ориентация меняется на обратную, например, с помощью преобразования четности , и поэтому его правильнее описывать как псевдоскаляр, если ориентация может измениться.

Это также относится к направленности векторного произведения ; векторное произведение преобразуется как псевдовектор при преобразованиях четности и поэтому правильно описывается как псевдовектор. Скалярное произведение двух векторов является скаляром, но скалярное произведение псевдовектора и вектора является псевдоскаляром, поэтому скалярное тройное произведение (векторов) должно иметь псевдоскалярное значение.

Если T — собственное вращение , то

$\mathbf {Ta} \cdot (\mathbf {Tb} \times \mathbf {Tc} )=\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} ),$

но если T — неправильное вращение , то

$\mathbf {Ta} \cdot (\mathbf {Tb} \times \mathbf {Tc} )=-\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} ).$

Скалярная или скалярная плотность

Строго говоря, скаляр вообще не меняется при преобразовании координат. (Например, коэффициент 2, используемый для удвоения вектора, не меняется, если вектор находится в сферических, а не в прямоугольных координатах.) Однако, если каждый вектор преобразуется с помощью матрицы, то тройное произведение в конечном итоге умножается на определитель матрица преобразования, которая может быть совершенно произвольной при отсутствии вращения. То есть тройное произведение правильнее описывать как скалярную плотность .

В качестве внешнего продукта

Три вектора, охватывающие параллелепипед, имеют тройное произведение, равное его объему. (Однако имейте в виду, что направление стрелок на этой диаграмме неверно.)

Во внешней алгебре и геометрической алгебре внешнее произведение двух векторов является бивектором , а внешнее произведение трёх векторов — тривектором . Бивектор — это ориентированный плоский элемент, а тривектор — это ориентированный элемент объема, точно так же, как вектор — это ориентированный линейный элемент.

Учитывая векторы a , b и c , произведение

$\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} \wedge \mathbf {c}$

является тривектором с величиной, равной тройному скалярному произведению, т.е.

$|\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} \wedge \mathbf {c} |=|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )|$,

и является двойственным по Ходжу скалярному тройному произведению. Поскольку внешний продукт является ассоциативным, скобки не нужны, поскольку не имеет значения, какой из a ∧ b или b ∧ c вычисляется первым, хотя порядок векторов в произведении имеет значение. Геометрически тривектор a ∧ b ∧ c соответствует параллелепипеду, натянутому на a , b и c , причем бивекторы a ∧ b , b ∧ c и a ∧ c соответствуют граням параллелограмма параллелепипеда.

Как трилинейная функция

Тройное произведение идентично объемной форме евклидова трехмерного пространства, примененной к векторам через внутреннее произведение . Это также может быть выражено как сжатие векторов с тензором ранга 3, эквивалентным форме (или псевдотензором, эквивалентным псевдоформе объема); см . ниже .

Тройное векторное произведение

Тройное произведение векторов определяется как векторное произведение одного вектора на векторное произведение двух других. Имеет место следующее соотношение:

$\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )\mathbf {b} -(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {c}$.

Это известно как тройное разложение произведения или формула Лагранжа . хотя последнее название также используется для некоторых других формул . Его правую часть можно запомнить, используя мнемонику «ACB − ABC», если помнить, какие векторы разделены точками. Доказательство представлено ниже . В некоторых учебниках тождество записывают как $\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-\mathbf {c} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )$ так что получается более знакомая мнемоника «BAC − CAB», например «задняя часть кабины».

Поскольку векторное произведение антикоммутативно, эту формулу можно также записать (с точностью до перестановки букв) как:

$(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times \mathbf {c} =-\mathbf {c} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=-(\mathbf {c} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {a} +(\mathbf {c} \cdot \mathbf {a} )\mathbf {b}$

Из формулы Лагранжа следует, что векторное тройное произведение удовлетворяет:

$\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )+\mathbf {b} \times (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )+\mathbf {c} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=\mathbf {0}$

что является тождеством Якоби для векторного произведения. Еще одна полезная формула:

$(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times \mathbf {c} =\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )-\mathbf {b} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {c} )$

Эти формулы очень полезны для упрощения векторных вычислений в физике . Родственное тождество в отношении градиентов , полезное в векторном исчислении, - это формула Лагранжа тождества векторного произведения:

${\boldsymbol {\nabla }}\times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} )={\boldsymbol {\nabla }}({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {A} )-({\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {A}$

Это также можно рассматривать как частный случай более общего оператора Лапласа – де Рама. $\Delta =d\delta +\delta d$.

Доказательство

The $x$ компонент $\mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )$ дается:

${\begin{aligned}(\mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} ))_{x}&=\mathbf {u} _{y}(\mathbf {v} _{x}\mathbf {w} _{y}-\mathbf {v} _{y}\mathbf {w} _{x})-\mathbf {u} _{z}(\mathbf {v} _{z}\mathbf {w} _{x}-\mathbf {v} _{x}\mathbf {w} _{z})\\&=\mathbf {v} _{x}(\mathbf {u} _{y}\mathbf {w} _{y}+\mathbf {u} _{z}\mathbf {w} _{z})-\mathbf {w} _{x}(\mathbf {u} _{y}\mathbf {v} _{y}+\mathbf {u} _{z}\mathbf {v} _{z})\\&=\mathbf {v} _{x}(\mathbf {u} _{y}\mathbf {w} _{y}+\mathbf {u} _{z}\mathbf {w} _{z})-\mathbf {w} _{x}(\mathbf {u} _{y}\mathbf {v} _{y}+\mathbf {u} _{z}\mathbf {v} _{z})+(\mathbf {u} _{x}\mathbf {v} _{x}\mathbf {w} _{x}-\mathbf {u} _{x}\mathbf {v} _{x}\mathbf {w} _{x})\\&=\mathbf {v} _{x}(\mathbf {u} _{x}\mathbf {w} _{x}+\mathbf {u} _{y}\mathbf {w} _{y}+\mathbf {u} _{z}\mathbf {w} _{z})-\mathbf {w} _{x}(\mathbf {u} _{x}\mathbf {v} _{x}+\mathbf {u} _{y}\mathbf {v} _{y}+\mathbf {u} _{z}\mathbf {v} _{z})\\&=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} )\mathbf {v} _{x}-(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {w} _{x}\end{aligned}}$

Аналогичным образом, $y$ и $z$ компоненты $\mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )$ даны:

${\begin{aligned}(\mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} ))_{y}&=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} )\mathbf {v} _{y}-(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {w} _{y}\\(\mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} ))_{z}&=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} )\mathbf {v} _{z}-(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {w} _{z}\end{aligned}}$

Объединив эти три компонента, мы получим:

$\mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} )\ \mathbf {v} -(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\ \mathbf {w}$

Использование геометрической алгебры

Если используется геометрическая алгебра, векторное произведение b × c векторов выражается как их внешнее произведение b ∧ c , бивектор . Второе векторное произведение не может быть выражено как внешнее произведение, иначе в результате получится скалярное тройное произведение. Вместо этого левое сокращение можно использовать, поэтому формула принимает вид

${\begin{aligned}-\mathbf {a} \;{\big \lrcorner }\;(\mathbf {b} \wedge \mathbf {c} )&=\mathbf {b} \wedge (\mathbf {a} \;{\big \lrcorner }\;\mathbf {c} )-(\mathbf {a} \;{\big \lrcorner }\;\mathbf {b} )\wedge \mathbf {c} \\&=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )\mathbf {b} -(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {c} \end{aligned}}$

Доказательство следует из свойств сжатия. Результатом является тот же вектор, что и вычисленный с использованием a × ( b × c ).

Интерпретации

Тензорное исчисление

В тензорной записи тройное произведение выражается с помощью символа Леви-Чивита : $$\mathbf {a} \cdot [\mathbf {b} \times \mathbf {c} ]=\varepsilon _{ijk}a^{i}b^{j}c^{k}$$и $$(\mathbf {a} \times [\mathbf {b} \times \mathbf {c} ])_{i}=\varepsilon _{ijk}a^{j}\varepsilon ^{k\ell m}b_{\ell }c_{m}=\varepsilon _{ijk}\varepsilon ^{k\ell m}a^{j}b_{\ell }c_{m},$$ссылаясь на $i$-я компонента результирующего вектора. Это можно упростить, выполнив сокращение символов Леви-Чивита , $\varepsilon _{ijk}\varepsilon ^{k\ell m}=\delta _{ij}^{\ell m}=\delta _{i}^{\ell }\delta _{j}^{m}-\delta _{i}^{m}\delta _{j}^{\ell }\,,$где $\delta _{j}^{i}$ – дельта-функция Кронекера ( $\delta _{j}^{i}=0$ когда $i\neq j$ и $\delta _{j}^{i}=1$ когда $i=j$) и $\delta _{ij}^{\ell m}$ — обобщенная дельта-функция Кронекера . Мы можем объяснить это тождество, признав, что индекс $k$ будут суммированы, оставив только $i$ и $j$. В первом семестре мы исправим $i=l$ и таким образом $j=m$. Аналогично во втором члене фиксируем $i=m$ и таким образом $l=j$.

Возвращаясь к тройному перекрестному произведению, $$(\mathbf {a} \times [\mathbf {b} \times \mathbf {c} ])_{i}=(\delta _{i}^{\ell }\delta _{j}^{m}-\delta _{i}^{m}\delta _{j}^{\ell })a^{j}b_{\ell }c_{m}=a^{j}b_{i}c_{j}-a^{j}b_{j}c_{i}=b_{i}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-c_{i}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\,.$$

Векторное исчисление

Рассмотрим интеграл потока векторного поля $\mathbf {F}$ по параметрически заданной поверхности $S=\mathbf {r} (u,v)$: ${\textstyle \iint _{S}\mathbf {F} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\,dS}$. Единичный вектор нормали ${\hat {\mathbf {n} }}$ на поверхность определяется выражением ${\textstyle {\frac {\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}}{|\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}|}}}$, поэтому подынтегральная функция ${\textstyle \mathbf {F} \cdot {\frac {(\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v})}{|\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}|}}}$ является скалярным тройным произведением.

См. также

• Четверной продукт
• Отношения векторной алгебры

Ссылки

• Девушка, Гарри (1950). Векторный и тензорный анализ . McGraw-Hill Book Company, Inc., стр. 23–25.

Внешние ссылки

• Видео Академии Хана, демонстрирующее доказательство тройного расширения продукта