Векторная проекция

Более общие понятия см. в разделах «Проекция (линейная алгебра)» и «Проекция (математика)» .

Векторная проекция (также известная как векторная компонента или векторное разрешение ) вектора , a на) ненулевой вектор b является ортогональной проекцией a на прямую параллельную b на ( или . Проекцию a на b часто записывают как $\operatorname {proj} _{\mathbf {b} }\mathbf {a}$ или а _{∥ б} .

Компонент вектора или решающий вектор перпендикуляра к b , также называемый векторным отклонением a иногда от b (обозначается $\operatorname {oproj} _{\mathbf {b} }\mathbf {a}$ или а _{⊥ б} ), — это ортогональная проекция a на плоскость (или, вообще, гиперплоскость ) ортогональную b , . Поскольку оба $\operatorname {proj} _{\mathbf {b} }\mathbf {a}$ и $\operatorname {oproj} _{\mathbf {b} }\mathbf {a}$ являются векторами, а их сумма равна a , то отклонение a от b определяется выражением:

$$\operatorname {oproj} _{\mathbf {b} }\mathbf {a} =\mathbf {a} -\operatorname {proj} _{\mathbf {b} }\mathbf {a} .$$

Проекция a на b ( a1 ₎ и отторжение от b ( a2 ) _a .

Когда 90° < θ ≤ 180° , a ₁ имеет противоположное направление относительно b .

Для упрощения обозначений в этой статье определяются $\mathbf {a} _{1}:=\operatorname {proj} _{\mathbf {b} }\mathbf {a}$ и $\mathbf {a} _{2}:=\operatorname {oproj} _{\mathbf {b} }\mathbf {a} .$ Таким образом, вектор $\mathbf {a} _{1}$ параллельно $\mathbf {b} ,$ вектор $\mathbf {a} _{2}$ ортогонален $\mathbf {b} ,$ и $\mathbf {a} =\mathbf {a} _{1}+\mathbf {a} _{2}.$

Проекцию a на b можно разложить на направление и скалярную величину, записав ее как $\mathbf {a} _{1}=a_{1}\mathbf {\hat {b}}$ где $a_{1}$является скаляром, называемым скалярной проекцией a на b , а b̂ — единичный вектор в направлении b . Скалярная проекция определяется как

$$a_{1}=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta =\mathbf {a} \cdot \mathbf {\hat {b}}$$

оператор ⋅ обозначает скалярное произведение , ‖ a ‖ — длина a и , а θ — угол между a b где . Скалярная проекция по абсолютной величине равна длине векторной проекции со знаком минус, если направление проекции противоположно направлению b , то есть если угол между векторами больше 90 градусов.

Векторную проекцию можно рассчитать, используя скалярное произведение $\mathbf {a}$ и $\mathbf {b}$ как:

$$\operatorname {proj} _{\mathbf {b} }\mathbf {a} =\left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {\hat {b}} \right)\mathbf {\hat {b}} ={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|}}{\frac {\mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|}}={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}}}{\mathbf {b} }={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} }}{\mathbf {b} }~.$$

Обозначения

В этой статье используется соглашение, согласно которому векторы обозначаются жирным шрифтом (например, ) ₁ , а скаляры пишутся обычным шрифтом (например, ) ₁ .

Скалярное произведение векторов a и b записывается как $\mathbf {a} \cdot \mathbf {b}$, норма a пишется ‖ a ‖, угол между a и b обозначается θ .

Определения, основанные на угле θ

Скалярная проекция

Основная статья: Скалярная проекция

Скалярная проекция a на b является скаляром, равным

$$a_{1}=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta ,$$

где θ — угол между a и b .

Скалярную проекцию можно использовать в качестве масштабного коэффициента для вычисления соответствующей векторной проекции.

Векторная проекция

Векторная проекция a на b — это вектор, величина которого является скалярной проекцией a на b с тем же направлением, что и b . А именно, оно определяется как

$$\mathbf {a} _{1}=a_{1}\mathbf {\hat {b}} =(\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta )\mathbf {\hat {b}}$$

где $a_{1}$ - соответствующая скалярная проекция, как определено выше, и $\mathbf {\hat {b}}$ — единичный вектор того же направления, что и b :

$$\mathbf {\hat {b}} ={\frac {\mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|}}$$

Векторное отклонение

По определению, векторное отклонение a от b равно:

$$\mathbf {a} _{2}=\mathbf {a} -\mathbf {a} _{1}$$

Следовательно,

$$\mathbf {a} _{2}=\mathbf {a} -\left(\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta \right)\mathbf {\hat {b}}$$

Определения с точки зрения a и b

Когда θ неизвестен, косинус θ можно вычислить через a и b с помощью следующего свойства скалярного произведения a ⋅ b

$$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\cos \theta$$

Скалярная проекция

Благодаря вышеупомянутому свойству скалярного произведения определение скалярной проекции принимает вид:

$$a_{1}=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta ={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|}}.$$

В двух измерениях это становится

$$a_{1}={\frac {\mathbf {a} _{x}\mathbf {b} _{x}+\mathbf {a} _{y}\mathbf {b} _{y}}{\left\|\mathbf {b} \right\|}}.$$

Векторная проекция

Точно так же определение векторной проекции a на b принимает вид:

$$\mathbf {a} _{1}=a_{1}\mathbf {\hat {b}} ={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|}}{\frac {\mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|}},$$

что эквивалентно либо

$$\mathbf {a} _{1}=\left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {\hat {b}} \right)\mathbf {\hat {b}} ,$$

или

$$\mathbf {a} _{1}={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}}}{\mathbf {b} }={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} }}{\mathbf {b} }~.$$

Скалярное отклонение

В двух измерениях скалярное отклонение эквивалентно на проекции $\mathbf {b} ^{\perp }={\begin{pmatrix}-\mathbf {b} _{y}&\mathbf {b} _{x}\end{pmatrix}}$, который $\mathbf {b} ={\begin{pmatrix}\mathbf {b} _{x}&\mathbf {b} _{y}\end{pmatrix}}$повернут на 90° влево. Следовательно,

$$a_{2}=\left\|\mathbf {a} \right\|\sin \theta ={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ^{\perp }}{\left\|\mathbf {b} \right\|}}={\frac {\mathbf {a} _{y}\mathbf {b} _{x}-\mathbf {a} _{x}\mathbf {b} _{y}}{\left\|\mathbf {b} \right\|}}.$$

Такое скалярное произведение называется «скалярным произведением преступника».

Векторное отклонение

По определению,

$$\mathbf {a} _{2}=\mathbf {a} -\mathbf {a} _{1}$$

Следовательно,

$$\mathbf {a} _{2}=\mathbf {a} -{\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} }}{\mathbf {b} }.$$

Используя скалярное отклонение с использованием скалярного произведения преступника, это дает

$$\mathbf {a} _{2}={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ^{\perp }}{\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} }}\mathbf {b} ^{\perp }$$

Свойства

Если 0° ≤ θ этом случае, скалярная проекция a на b ≤ 90°, как в совпадает с длиной векторной проекции.

Скалярная проекция

Основная статья: Скалярная проекция

Скалярная проекция a на b — это скаляр, имеющий отрицательный знак, если 90 градусов < θ ≤ 180 градусов . Она совпадает с длиной ‖ c ‖ векторной проекции, если угол меньше 90°. Точнее:

• а ₁ = ‖ а ₁ ‖, если 0° ≤ θ ≤ 90° ,
• а ₁ знак равно −‖ а ₁ ‖, если 90° < θ ≤ 180° .

Векторная проекция

Векторная проекция a на b — это вектор a1 _, который либо равен нулю, либо параллелен b . Точнее:

• a ₁ = 0, если θ = 90° ,
• a ₁ и b имеют одинаковое направление, если 0° ≤ θ < 90° ,
• a1 ₉₀ и b имеют противоположные направления, если ° < θ ≤ 180° .

Векторное отклонение

Отбрасывание вектора a на b представляет собой вектор a ₂ , который либо равен нулю, либо ортогонален b . Точнее:

• a ₂ = 0, если θ = 0° или θ = 180° ,
• a2 _если ортогонален b, 0 < θ < 180° ,

Матричное представление

Ортогональная проекция может быть представлена ​​матрицей проекции. Чтобы спроецировать вектор на единичный вектор a = ( a _x , a _y , a _z ) , его необходимо умножить на эту матрицу проекции:

$$P_{\mathbf {a} }=\mathbf {a} \mathbf {a} ^{\textsf {T}}={\begin{bmatrix}a_{x}\\a_{y}\\a_{z}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{x}^{2}&a_{x}a_{y}&a_{x}a_{z}\\a_{x}a_{y}&a_{y}^{2}&a_{y}a_{z}\\a_{x}a_{z}&a_{y}a_{z}&a_{z}^{2}\\\end{bmatrix}}$$

Использует

Векторная проекция является важной операцией в Граму – Шмидту ортонормализации баз векторного пространства по . Он также используется в теореме о разделяющей оси , чтобы определить, пересекаются ли две выпуклые формы.

Обобщения

Поскольку понятия длины вектора и угла между векторами можно обобщить на любое n -мерное пространство внутреннего произведения , это справедливо и для понятий ортогональной проекции вектора, проекции вектора на другой и отклонения вектора от другого. .

В некоторых случаях внутренний продукт совпадает со скалярным произведением. Всякий раз, когда они не совпадают, в формальных определениях проекции и отклонения вместо скалярного произведения используется внутренний продукт. Для трехмерного пространства внутреннего продукта понятия проекции вектора на другой и отклонения вектора от другого можно обобщить до понятий проекции вектора на плоскость и отклонения вектора от плоскости. Проекция вектора на плоскость — это его ортогональная проекция на эту плоскость. Отбрасыванием вектора от плоскости называется его ортогональная проекция на прямую, ортогональную этой плоскости. Оба являются векторами. Первая параллельна плоскости, вторая ортогональна.

Для данного вектора и плоскости сумма проекции и отклонения равна исходному вектору. Аналогично, для пространств внутреннего продукта с более чем тремя измерениями понятия проекции на вектор и отклонения от вектора могут быть обобщены до понятий проекции на гиперплоскость и отклонения от гиперплоскости . В геометрической алгебре они могут быть далее обобщены до понятий проецирования и отклонения общего мультивектора на/от любой обратимой k -лопасти.

См. также

• Скалярная проекция
• Векторные обозначения

Внешние ссылки

• Проекция вектора на плоскость