Скалярная проекция

Если 0° ≤ θ ≤ 90°, как в этом случае, скалярная проекция a на b совпадает с длиной векторной проекции .

Векторная проекция на a b ( a 1 ₎ и векторное отклонение a от b ( a ₂ ).

математике скалярная проекция вектора В $\mathbf {a}$ на (или на) вектор $\mathbf {b} ,$ также известный как решающая скалярная $\mathbf {a}$ в направлении $\mathbf {b} ,$ дается:

$s=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta =\mathbf {a} \cdot \mathbf {\hat {b}} ,$

где оператор $\cdot$ обозначает скалярное произведение , ${\hat {\mathbf {b} }}$ - единичный вектор в направлении $\mathbf {b} ,$ $\left\|\mathbf {a} \right\|$ длина ​ ​ $\mathbf {a} ,$ и $\theta$ это угол между $\mathbf {a}$ и $\mathbf {b}$.

Термин скалярный компонент иногда относится к скалярной проекции, поскольку в декартовых координатах компоненты вектора представляют собой скалярные проекции в направлениях осей координат .

Скалярная проекция — это , равный длине ортогональной проекции скаляр $\mathbf {a}$ на $\mathbf {b}$, со знаком минус, если проекция имеет противоположное направление относительно $\mathbf {b}$.

Умножая скалярную проекцию $\mathbf {a}$ на $\mathbf {b}$ к $\mathbf {\hat {b}}$ преобразует его в вышеупомянутую ортогональную проекцию, также называемую векторной проекцией $\mathbf {a}$ на $\mathbf {b}$.

Определение на основе угла θ

Если угол $\theta$ между $\mathbf {a}$ и $\mathbf {b}$ известна скалярная проекция $\mathbf {a}$ на $\mathbf {b}$ можно вычислить с помощью

$s=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta .$ ( $s=\left\|\mathbf {a} _{1}\right\|$ на рисунке)

Приведенную выше формулу можно инвертировать, чтобы угол θ получить .

Определение с точки зрения a и b

Когда $\theta$ неизвестно косинус , $\theta$ можно вычислить с точки зрения $\mathbf {a}$ и $\mathbf {b} ,$ следующим свойством скалярного произведения $\mathbf {a} \cdot \mathbf {b}$:

${\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|}}=\cos \theta$

Благодаря этому свойству определение скалярной проекции $s$ становится:

$s=\left\|\mathbf {a} _{1}\right\|=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta =\left\|\mathbf {a} \right\|{\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|}}={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|}}\,$

Характеристики

Скалярная проекция имеет отрицательный знак, если $90^{\circ }<\theta \leq 180^{\circ }$. Она совпадает с длиной соответствующей векторной проекции, если угол меньше 90°. Точнее, если векторную проекцию обозначить $\mathbf {a} _{1}$ и его длина $\left\|\mathbf {a} _{1}\right\|$:

$s=\left\|\mathbf {a} _{1}\right\|$ если $0^{\circ }\leq \theta \leq 90^{\circ },$

$s=-\left\|\mathbf {a} _{1}\right\|$ если $90^{\circ }<\theta \leq 180^{\circ }.$

См. также

• Скалярное произведение
• Перекрестное произведение
• Векторная проекция

Источники

• Скалярные продукты - www.mit.org
• Скалярная проекция - Flexbooks.ck12.org
• Скалярная и векторная проекции — medium.com
• Объяснитель урока: Скалярная проекция | Нагва