Полилинейная алгебра
Полилинейная алгебра — это изучение функций с несколькими векторными аргументами , причем функции представляют собой линейные отображения относительно каждого аргумента. Он включает в себя такие понятия, как матрицы , тензоры , мультивекторы , системы линейных уравнений , многомерные пространства , определители , внутренние и внешние произведения и двойственные пространства . Это математический инструмент, используемый в инженерии , машинном обучении , физике и математике . [1]
Происхождение [ править ]
Хотя многие теоретические концепции и приложения связаны с одиночными векторами , математики, такие как Герман Грассман, рассматривали структуры, включающие пары, тройки и мультивекторы , которые обобщают векторы . При множественных комбинационных возможностях пространство мультивекторов расширяется до 2 н размерности, где n — размерность соответствующего векторного пространства. [2] Определитель можно сформулировать абстрактно, используя структуры полилинейной алгебры.
Полилинейная алгебра появляется при изучении механической реакции материалов на напряжение и деформацию с участием различных модулей упругости . Термин « тензор » описывает элементы внутри полилинейного пространства из-за его дополнительной структуры. Несмотря на раннюю работу Грассмана в 1844 году с его Ausdehnungslehre , которая также была переиздана в 1862 году, этот предмет поначалу не получил широкого понимания, поскольку даже обычная линейная алгебра в то время создавала множество проблем.
Понятия полилинейной алгебры находят применение в некоторых исследованиях многомерного исчисления и многообразий , особенно в отношении матрицы Якобиана . Бесконечно малые дифференциалы , встречающиеся в исчислении с одной переменной, преобразуются в дифференциальные формы в многомерном исчислении , а манипуляции с ними осуществляются с помощью внешней алгебры . [3]
Вслед за Грассманом разработки в области полилинейной алгебры были сделаны Виктором Шлегелем в 1872 году, когда была опубликована первая часть его « Системы размытия». [4] и Элвин Бруно Кристоффель . Примечательно, что значительные достижения были достигнуты благодаря работе Грегорио Риччи-Курбастро и Туллио Леви-Чивита . [5] особенно в форме абсолютного дифференциального исчисления в рамках полилинейной алгебры. Марсель Гроссман и Мишель Бессо представили эту форму Альберту Эйнштейну , а в 1915 году публикация Эйнштейна по общей теории относительности , объясняющая прецессию перигелия Меркурия , установила полилинейную алгебру и тензоры как важные математические инструменты в физике.
В 1958 году Николя Бурбаки включил главу по полилинейной алгебре под названием « Многолинейная алгебра » в свою серию «Элементы математики» , в частности в книгу по алгебре. В главе рассматриваются такие темы, как билинейные функции, тензорное произведение двух модулей и свойства тензорных произведений. [6]
Приложения [ править ]
Концепции полилинейной алгебры находят применение в различных областях, в том числе:
См. также [ править ]
- Многовекторный
- Геометрическая алгебра
- Алгебра Клиффорда
- Замкнутые и точные дифференциальные формы
- Бескомпонентная обработка тензоров
- Правило Крамера
- Двойное пространство
- Обозначение Эйнштейна
- Внешняя алгебра
- Внутренний продукт
- Внешний продукт
- Кронекера дельта
- Символ Леви-Чивита
- Многолинейная форма
- Псевдоскаляр
- Псевдовектор
- Спинор
- Тензор
- Тензорная алгебра , Свободная алгебра
- Тензорное сокращение
- Симметричная алгебра , Симметричная степень
- Симметричный тензор
- Смешанный тензор
Ссылки [ править ]
- ^ Пандей, Дивьяншу; Венугопал, Адитья; Лейб, Гарри (2024). «Линейная и полилинейная алгебра и системы с использованием тензоров» . Границы прикладной математики и статистики . 9 . arXiv : 2304.10658 . дои : 10.3389/fams.2023.1259836 . ISSN 2297-4687 .
- ^ Грассманн, Герман (2000) [1862]. Теория расширения [ Die Ausdehnungslehre ]. Перевод Канненберга, Ллойда. Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-9049-3 .
- ^ Флеминг, Венделл Х. (1977). «Внешняя алгебра и дифференциальное исчисление» . Функции нескольких переменных . Тексты для студентов по математике (2-е изд.). Спрингер. стр. 275–320. дои : 10.1007/978-1-4684-9461-7_7 . ISBN 978-1-4684-9461-7 . ОСЛК 2401829 .
- ^ Шлегель, Виктор (2018). Система теории пространства: Согласно принципам теории расширения Грассмана и как введение к ней; Геометрия; Площади точки, линии, плоскости . Забытые книги. ISBN 978-0-364-22177-8 .
- ^ Риччи-Курбастро, Грегорио ; Леви-Чивита, Туллио (1900). «Методы абсолютного дифференциального исчисления и их приложения» . Математический Аннален . 54 (1): 125–201. дои : 10.1007/BF01454201 . ISSN 1432-1807 . S2CID 120009332 .
- ^ Николя Бурбаки (1958) Полилинейная алгебра , глава 3 книги 2 Алгебра , в «Элементах математики» , Париж: Германн
- Греуб, WH (1967) Полилинейная алгебра , Спрингер
- Дуглас Норткотт (1984) Мультилинейная алгебра , издательство Кембриджского университета ISBN 0-521-26269-0
- Шоу, Рональд (1983). Полилинейная алгебра и представления групп . Том. 2. Академическая пресса . ISBN 978-0-12-639202-9 . OCLC 59106339 .
Основные математики области |
|---|
