Многомерное исчисление

Многомерное исчисление (также известное как многомерное исчисление ) — это расширение исчисления с одной переменной до исчисления с функциями нескольких переменных : дифференцирование и интегрирование функций, включающих несколько переменных ( многомерное ), а не только одну.

Многомерное исчисление можно рассматривать как элементарную часть продвинутого исчисления. Для более продвинутого исчисления см. исчисление в евклидовом пространстве . Особый случай исчисления в трехмерном пространстве часто называют векторным исчислением .

Введение

В исчислении с одной переменной такие операции, как дифференцирование и интегрирование, выполняются над функциями одной переменной. В многомерном исчислении необходимо обобщить их на несколько переменных, поэтому область определения является многомерной. Поэтому при таких обобщениях требуется осторожность из-за двух ключевых различий между одномерными и многомерными пространствами:

1. Существует бесконечное количество способов приблизиться к одной точке в более высоких измерениях, в отличие от двух (с положительного и отрицательного направления) в 1D;
2. С измерением связано несколько расширенных объектов; например, для 1D-функции она должна быть представлена ​​в виде кривой на 2D- декартовой плоскости , но функция с двумя переменными представляет собой поверхность в 3D, тогда как кривые также могут существовать в 3D-пространстве.

Следствием первого различия является различие в определении предела и дифференцирования. по направлению Пределы и производные определяют предел и дифференциал вдоль одномерной параметризованной кривой, сводя задачу к одномерному случаю. Из этих операторов можно построить дальнейшие объекты более высокой размерности.

Следствием второго различия является существование нескольких типов интегрирования, включая линейные интегралы , поверхностные интегралы и объемные интегралы . Из-за неединственности этих интегралов первообразная или неопределенный интеграл не может быть правильно определен.

Ограничения

Исследование пределов и непрерывности в исчислении с несколькими переменными дает множество противоречивых результатов, которые не демонстрируются функциями с одной переменной.

Предел пути может быть определен путем рассмотрения параметризованного пути. $s(t):\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}$ в n-мерном евклидовом пространстве. Любая функция $f({\overrightarrow {x}}):\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ затем можно спроецировать на путь как 1D-функцию $f(s(t))$. Предел $f$ в точку $s(t_{0})$ по пути $s(t)$ следовательно, может быть определен как

$\lim _{{\overrightarrow {x}}\to s(t_{0})}f({\overrightarrow {x}})=\lim _{t\to t_{0}}f(s(t))$ ( 1 )

Обратите внимание, что значение этого предела может зависеть от формы $s(t)$, т.е. выбранный путь, а не просто точка, к которой приближается предел. Например, рассмотрим функцию

$f(x,y)={\frac {x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}}.$

Если точка $(0,0)$ приближается через линию $y=kx$, или в параметрической форме:

График функции f ( x , y ) = ( x ²y)/( x ⁴ + и ² )

$x(t)=t,\,y(t)=kt$ ( 2 )

Тогда предел по пути будет:

$\lim _{t\to 0}f(x(t),y(t))=\lim _{t\to 0}{\frac {kt^{3}}{t^{4}+k^{2}t^{2}}}=0$ ( 3 )

С другой стороны, если путь $y=\pm x^{2}$ (или параметрически, $x(t)=t,\,y(t)=\pm t^{2}$), то предел становится:

$\lim _{t\to 0}f(x(t),y(t))=\lim _{t\to 0}{\frac {\pm t^{4}}{t^{4}+t^{4}}}=\pm {\frac {1}{2}}$ ( 4 )

Поскольку разные пути к одной и той же точке дают разные значения, общий предел в этой точке $(0,0)$ не может быть определен для функции.

Общий предел можно определить, если пределы точки на всех возможных путях сходятся к одному и тому же значению, т. е. мы говорим, что для функции $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ что предел $f$ в какой-то момент $x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$ является L тогда и только тогда, когда

$\lim _{t\to t_{0}}f(s(t))=L$ ( 5 )

для всех непрерывных функций $s(t):\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}$ такой, что $s(t_{0})=x_{0}$.

Преемственность

Из концепции предела вдоль пути мы можем таким же образом вывести определение многомерной непрерывности, а именно: мы говорим, что для функции $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ что $f$ непрерывен в точке $x_{0}$, тогда и только тогда, когда

$\lim _{t\to t_{0}}f(s(t))=f(x_{0})$ ( 5 )

для всех непрерывных функций $s(t):\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}$ такой, что $s(t_{0})=x_{0}$.

Как и в случае с пределами, будучи непрерывными по одному пути $s(t)$ не предполагает многомерной непрерывности.

Непрерывность каждого аргумента недостаточна для многомерной непрерывности, что также можно увидеть из следующего примера. Например, для действительной функции $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ с двумя действительными параметрами, $f(x,y)$, непрерывность $f$ в $x$ для фиксированного $y$ и непрерывность $f$ в $y$ для фиксированного $x$ не предполагает непрерывности $f$.

Учитывать

$f(x,y)={\begin{cases}{\frac {y}{x}}-y&{\text{if}}\quad 0\leq y<x\leq 1\\{\frac {x}{y}}-x&{\text{if}}\quad 0\leq x<y\leq 1\\1-x&{\text{if}}\quad 0<x=y\\0&{\text{everywhere else}}.\end{cases}}$

Легко проверить, что эта функция по определению равна нулю на границе и вне четырехугольника $(0,1)\times (0,1)$. Кроме того, функции, определенные для константы $x$ и $y$ и $0\leq a\leq 1$ к

$g_{a}(x)=f(x,a)\quad$ и $\quad h_{a}(y)=f(a,y)\quad$

являются непрерывными. Конкретно,

$g_{0}(x)=f(x,0)=h_{0}(0,y)=f(0,y)=0$ для всех x и y . Поэтому, $f(0,0)=0$ и причём по осям координат $\lim _{x\to 0}f(x,0)=0$ и $\lim _{y\to 0}f(0,y)=0$. Следовательно, функция непрерывна по обоим отдельным аргументам.

Однако рассмотрим параметрический путь $x(t)=t,\,y(t)=t$. Параметрическая функция становится

$f(x(t),y(t))={\begin{cases}1-t&{\text{if}}\quad t>0\\0&{\text{everywhere else}}.\end{cases}}$ ( 6 )

Поэтому,

$\lim _{t\to 0^{+}}f(x(t),y(t))=1\neq f(0,0)=0$ ( 7 )

Отсюда ясно, что функция не является многомерной непрерывной, несмотря на то, что она непрерывна по обеим координатам.

пределов и

• Все свойства линейности и суперпозиции из исчисления с одной переменной переносятся в многомерное исчисление.
• Состав : Если $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ и $g:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{p}$ обе многомерные непрерывные функции в точках $x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$ и $f(x_{0})\in \mathbb {R} ^{m}$ соответственно, тогда $g\circ f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{p}$ также является многомерной непрерывной функцией в точке $x_{0}$.
• Умножение : Если $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ и $g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ обе непрерывные функции в точке $x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$, затем $fg:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ является непрерывным в $x_{0}$, и $f/g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ также является непрерывным при $x_{0}$ при условии, что $g(x_{0})\neq 0$.
• Если $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ является непрерывной функцией в точке $x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$, затем $|f|$ также непрерывен в той же точке.
• Если $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ непрерывен по Липшицу (с необходимыми нормированными пространствами) в окрестности точки $x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$, затем $f$ является многомерным непрерывным при $x_{0}$.

скрывать Доказательство

Из условия непрерывности Липшица для $f$ у нас есть $|f(s(t))-f(s(t_{0}))|\leq K|s(t)-s(t_{0})|$ ( 8 ) где $K$ – постоянная Липшица. Отметим также, что, поскольку $s(t)$ является непрерывным в $t_{0}$, для каждого $\delta >0$ существует $\epsilon >0$ такой, что $|s(t)-s(t_{0})|<\delta$ $\forall |t-t_{0}|<\epsilon$. Следовательно, для каждого $\alpha >0$, выбирать $\delta ={\frac {\alpha }{K}}$; существует $\epsilon >0$ такой, что для всех $t$ удовлетворяющий $|t-t_{0}|<\epsilon$, $|s(t)-s(t_{0})|<\delta$, и $|f(s(t))-f(s(t_{0}))|\leq K|s(t)-s(t_{0})|<K\delta =\alpha$. Следовательно $\lim _{t\to t_{0}}f(s(t))$ сходится к $f(s(t_{0}))$ независимо от конкретной формы $s(t)$.

Дифференциация

Основные статьи: Частная производная и Производная по направлению

Производная по направлению

Производная функции одной переменной определяется как

${\frac {df}{dx}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$ ( 9 )

Используя расширение пределов, обсуждавшееся выше, можно затем расширить определение производной до скалярной функции. $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ по какому-то пути $s(t):\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}$:

$\left.{\frac {df}{dx}}\right|_{s(t),t=t_{0}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(s(t_{0}+h))-f(s(t_{0}))}{|s(t_{0}+h)-s(t_{0})|}}$ ( 10 )

В отличие от пределов, для которых значение зависит от точной формы пути $s(t)$, можно показать, что производная по пути зависит только от касательного вектора пути в точке $s(t_{0})$, то есть $s'(t_{0})$, при условии, что $f$ непрерывен по Липшицу при $s(t_{0})$, и что ограничение выходит по крайней мере для одного такого пути.

скрывать Доказательство

Для $s(t)$ непрерывно до первой производной (это утверждение корректно определяется как $s$ является функцией одной переменной), мы можем написать Тейлора разложение $s$ вокруг $t_{0}$ используя теорему Тейлора для построения остатка: $s(t)=s(t_{0})+s'(\tau )(t-t_{0})$ ( 11 ) где $\tau \in [t_{0},t]$. Подставив это в 10 , $\left.{\frac {df}{dx}}\right|_{s(t),t=t_{0}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(s(t_{0})+s'(\tau )h)-f(s(t_{0}))}{|s'(\tau )h|}}$ ( 12 ) где $\tau (h)\in [t_{0},t_{0}+h]$. Липшицева непрерывность дает нам $|f(x)-f(y)|\leq K|x-y|$ для некоторого конечного $K$, $\forall x,y\in \mathbb {R} ^{n}$. Отсюда следует, что $|f(x+O(h))-f(x)|\sim O(h)$. Отметим также, что, учитывая непрерывность $s'(t)$, $s'(\tau )=s'(t_{0})+O(h)$ как $h\to 0$. Подставив эти два условия в 12 , $\left.{\frac {df}{dx}}\right|_{s(t),t=t_{0}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(s(t_{0})+s'(t_{0})h)-f(s(t_{0}))+O(h^{2})}{|s'(t_{0})h|+O(h^{2})}}$ ( 13 ) предел которого зависит только от $s'(t_{0})$ как доминирующий термин.

Таким образом, можно дать определение производной по направлению следующим образом: Производная по направлению скалярной функции. $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ вдоль единичного вектора ${\hat {\mathbf {u}}}$ в какой-то момент $x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$ является

$\nabla _{\hat {\mathbf {u}}}f(x_{0})=\lim _{t\to 0}{\frac {f(x_{0}+{\hat {\mathbf {u}}}t)-f(x_{0})}{t}}$ ( 14 )

или, если выразить это через обычную дифференциацию,

$\nabla _{\hat {\mathbf {u}}}f(x_{0})=\left.{\frac {df(x_{0}+{\hat {\mathbf {u}}}t)}{dt}}\right|_{t=0}$ ( 15 )

что является четко определенным выражением, потому что $f(x_{0}+{\hat {\mathbf {u}}}t)$ скалярная функция с одной переменной $t$.

Невозможно определить уникальную скалярную производную без направления; ясно, например, что $\nabla _{\hat {\mathbf {u}}}f(x_{0})=-\nabla _{-{\hat {\mathbf {u}}}}f(x_{0})$. Также возможно, что производные по направлениям существуют для некоторых направлений, но не существуют для других.

Частная производная

Частная производная обобщает понятие производной на более высокие измерения. Частная производная функции многих переменных — это производная по одной переменной, при этом все остальные переменные остаются постоянными.

Частную производную можно рассматривать как производную функции по направлению вдоль оси координат.

Частные производные можно комбинировать интересными способами для создания более сложных выражений производной. В векторном исчислении оператор del ( $\nabla$) используется для определения понятий градиента , дивергенции и ротора в терминах частных производных. Матрица частных производных, матрица Якобиана , может использоваться для представления производной функции между двумя пространствами произвольной размерности. Таким образом, производную можно понимать как линейное преобразование , которое напрямую меняется от точки к точке в области определения функции.

Дифференциальные уравнения , содержащие частные производные, называются уравнениями в частных производных или УЧП. Эти уравнения обычно сложнее решить, чем обыкновенные дифференциальные уравнения , которые содержат производные только по одной переменной.

Множественная интеграция

Основная статья: Кратный интеграл

Кратный интеграл расширяет понятие интеграла на функции любого числа переменных. Двойные и тройные интегралы можно использовать для вычисления площадей и объемов областей на плоскости и в пространстве. Теорема Фубини гарантирует, что кратный интеграл может быть вычислен как повторный интеграл или повторный интеграл, если подынтегральная функция непрерывна во всей области интегрирования.

Поверхностный интеграл и линейный интеграл используются для интегрирования по искривленным многообразиям , таким как поверхности и кривые .

Фундаментальная теорема многомерного исчисления

В исчислении с одной переменной основная теорема исчисления устанавливает связь между производной и интегралом. Связь между производной и интегралом в исчислении многих переменных воплощают интегральные теоремы векторного исчисления:

• Градиентная теорема
• Теорема Стокса
• Теорема о дивергенции
• Теорема Грина .

При более глубоком изучении исчисления многих переменных видно, что эти четыре теоремы являются конкретными воплощениями более общей теоремы, обобщенной теоремы Стокса , которая применяется к интегрированию дифференциальных форм по многообразиям .

Приложения и использование

Методы многомерного исчисления используются для изучения многих объектов материального мира, представляющих интерес. В частности,

		Тип функций	Применимые методы
Кривые		$f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}$ для $n>1$	Длины кривых, интегралы линий и кривизна .
Поверхности		$f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{n}$ для $n>2$	Площади поверхностей, поверхностные интегралы , поток через поверхности и кривизна.
Скалярные поля		$f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$	Максимумы и минимумы, множители Лагранжа , производные по направлению , множества уровней .
Векторные поля		$f:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}$	Любая из операций векторного исчисления, включая градиент , дивергенцию и завиток .

Многомерное исчисление может применяться для анализа детерминированных систем , имеющих несколько степеней свободы . Для моделирования этих систем часто используются функции с независимыми переменными, соответствующими каждой из степеней свободы, а исчисление многих переменных предоставляет инструменты для характеристики динамики системы .

Многомерное исчисление используется при оптимальном управлении динамическими с непрерывным временем системами . Он используется в регрессионном анализе для вывода формул для оценки взаимосвязей между различными наборами эмпирических данных .

Многомерное исчисление используется во многих областях естественных , социальных наук и техники для моделирования и изучения многомерных систем, демонстрирующих детерминированное поведение. В экономике , например, выбор потребителя в отношении множества товаров и выбор производителя в отношении различных ресурсов для использования и результатов для производства моделируются с помощью многомерного исчисления.

Недетерминированные или стохастические системы можно изучать с помощью другого вида математики, например стохастического исчисления .

См. также

• Список тем по многомерному исчислению
• Многомерная статистика

Внешние ссылки

• Видеолекции Калифорнийского университета в Беркли по многомерному исчислению, осень 2009 г., профессор Эдвард Френкель
• Видеолекции MIT по многомерному исчислению, осень 2007 г.
• Многомерное исчисление : бесплатный онлайн-учебник Джорджа Кейна и Джеймса Ирода.
• Многомерное исчисление онлайн : бесплатный онлайн-учебник Джеффа Книсли
• Многомерное исчисление – очень краткий обзор , профессор Блэр Перо, Массачусетский университет, Амхерст
• Многомерное исчисление , онлайн-текст доктора Джерри Шурмана