Правило обратной функции

Толстая синяя кривая и толстая красная кривые обратны друг другу. Тонкая кривая является производной толстой кривой того же цвета. Правило обратной функции:
${\color {CornflowerBlue}{f'}}(x)={\frac {1}{{\color {Salmon}{(f^{-1})'}}({\color {Blue}{f}}(x))}}$

Пример для произвольного $x_{0}\approx 5.8$:
${\color {CornflowerBlue}{f'}}(x_{0})={\frac {1}{4}}$
${\color {Salmon}{(f^{-1})'}}({\color {Blue}{f}}(x_{0}))=4~$

В исчислении правило обратной функции — это формула которая выражает производную обратной биективной f через и дифференцируемой функции f производную , . Точнее, если обратное $f$ обозначается как $f^{-1}$, где $f^{-1}(y)=x$ тогда и только тогда, когда $f(x)=y$, то правило обратной функции в обозначениях Лагранжа имеет вид :

$\left[f^{-1}\right]'(a)={\frac {1}{f'\left(f^{-1}(a)\right)}}$.

Эта формула, вообще говоря, справедлива всякий раз, когда $f$ непрерывен I и инъективен на интервале , причем $f$ будучи дифференцируемым в $f^{-1}(a)$( $\in I$) и где $f'(f^{-1}(a))\neq 0$. Эта же формула эквивалентна выражению

${\mathcal {D}}\left[f^{-1}\right]={\frac {1}{({\mathcal {D}}f)\circ \left(f^{-1}\right)}},$

где ${\mathcal {D}}$ обозначает унарный оператор производной (в пространстве функций) и $\circ$ обозначает композицию функций .

Геометрически функция и обратная функция имеют графики , являющиеся отражениями в строке $y=x$. Эта операция отражения превращает градиент любой линии в его обратную величину .

Предполагая, что $f$ имеет обратный окрестности в $x$ и что его производная в этой точке не равна нулю, то его обратная гарантированно будет дифференцируемой в точке $x$ и имеют производную, заданную приведенной выше формулой.

Правило обратной функции можно также выразить в обозначениях Лейбница . Как следует из этих обозначений,

${\frac {dx}{dy}}\,\cdot \,{\frac {dy}{dx}}=1.$

Это соотношение получается дифференцированием уравнения $f^{-1}(y)=x$ в терминах x и применив правило цепочки , получив следующее:

${\frac {dx}{dy}}\,\cdot \,{\frac {dy}{dx}}={\frac {dx}{dx}}$

учитывая, что производная x по x равна 1.

Вывод

Позволять $f$ — обратимая (биективная) функция, пусть $x$ находиться в сфере $f$, и пусть $y$ находиться в кодомене $f$. Поскольку f — биективная функция, $y$ находится в пределах $f$. Это также означает, что $y$ находится в области $f^{-1}$, и это $x$ находится в кодомене $f^{-1}$. С $f$ является обратимой функцией, мы знаем, что $f(f^{-1}(y))=y$. Правило обратной функции можно получить, взяв производную этого уравнения.

${\dfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}f(f^{-1}(y))={\dfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}y$

Правая часть равна 1, и к левой части можно применить правило цепочки:

${\begin{aligned}{\dfrac {\mathrm {d} \left(f(f^{-1}(y))\right)}{\mathrm {d} \left(f^{-1}(y)\right)}}{\dfrac {\mathrm {d} \left(f^{-1}(y)\right)}{\mathrm {d} y}}&=1\\{\dfrac {\mathrm {d} f(f^{-1}(y))}{\mathrm {d} f^{-1}(y)}}{\dfrac {\mathrm {d} f^{-1}(y)}{\mathrm {d} y}}&=1\\f^{\prime }(f^{-1}(y))(f^{-1})^{\prime }(y)&=1\end{aligned}}$

Перестановка тогда дает

$(f^{-1})^{\prime }(y)={\frac {1}{f^{\prime }(f^{-1}(y))}}$

Вместо использования $y$ в качестве переменной мы можем переписать это уравнение, используя $a$ в качестве входных данных для $f^{-1}$, и мы получаем следующее:

$(f^{-1})^{\prime }(a)={\frac {1}{f^{\prime }\left(f^{-1}(a)\right)}}$

Примеры

• $y=x^{2}$ (для положительного x ) имеет обратную $x={\sqrt {y}}$.

${\frac {dy}{dx}}=2x{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }};{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{2{\sqrt {y}}}}={\frac {1}{2x}}$

${\frac {dy}{dx}}\,\cdot \,{\frac {dx}{dy}}=2x\cdot {\frac {1}{2x}}=1.$

В $x=0$Однако есть проблема: график функции квадратного корня становится вертикальным, что соответствует горизонтальной касательной для квадратичной функции.

• $y=e^{x}$ (для действительного x ) имеет обратное $x=\ln {y}$ (для позитива $y$)

${\frac {dy}{dx}}=e^{x}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }};{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{y}}=e^{-x}$

${\frac {dy}{dx}}\,\cdot \,{\frac {dx}{dy}}=e^{x}\cdot e^{-x}=1.$

Дополнительные свойства

• Интеграция этих отношений дает

${f^{-1}}(x)=\int {\frac {1}{f'({f^{-1}}(x))}}\,{dx}+C.$

Это полезно только в том случае, если интеграл существует. В частности, нам нужно $f'(x)$ быть ненулевым во всем диапазоне интегрирования.

Отсюда следует, что функция, имеющая непрерывную производную, имеет обратную в окрестности каждой точки, где производная не равна нулю. Это не обязательно так, если производная не является непрерывной.

• Еще одно очень интересное и полезное свойство:

$\int f^{-1}(x)\,{dx}=xf^{-1}(x)-F(f^{-1}(x))+C$

Где $F$ обозначает первообразную $f$.

• Обратная производная f(x) также представляет интерес, поскольку она используется для демонстрации выпуклости преобразования Лежандра .

Позволять $z=f'(x)$ тогда мы имеем, предполагая $f''(x)\neq 0$:

$${\frac {d(f')^{-1}(z)}{dz}}={\frac {1}{f''(x)}}$$

Это можно показать, используя предыдущие обозначения $y=f(x)$. Тогда у нас есть:

$$f'(x)={\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{dz}}{\frac {dz}{dx}}={\frac {dy}{dz}}f''(x)\Rightarrow {\frac {dy}{dz}}={\frac {f'(x)}{f''(x)}}$$

Поэтому:

${\frac {d(f')^{-1}(z)}{dz}}={\frac {dx}{dz}}={\frac {dy}{dz}}{\frac {dx}{dy}}={\frac {f'(x)}{f''(x)}}{\frac {1}{f'(x)}}={\frac {1}{f''(x)}}$

По индукции мы можем обобщить этот результат для любого целого числа. $n\geq 1$, с $z=f^{(n)}(x)$, n-я производная f(x) и $y=f^{(n-1)}(x)$, предполагая $f^{(i)}(x)\neq 0{\text{ for }}0<i\leq n+1$:

${\frac {d(f^{(n)})^{-1}(z)}{dz}}={\frac {1}{f^{(n+1)}(x)}}$

Высшие производные

получается Приведенное выше цепное правило дифференцированием тождества $f^{-1}(f(x))=x$ относительно х . Тот же процесс можно продолжить и для высших производных. Дифференцируя тождество дважды по x , получаем

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,\cdot \,{\frac {dx}{dy}}+{\frac {d}{dx}}\left({\frac {dx}{dy}}\right)\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)=0,$

это еще больше упрощается цепным правилом как

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,\cdot \,{\frac {dx}{dy}}+{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}=0.$

Заменив первую производную, используя полученное ранее тождество, получим

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=-{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{3}.$

Аналогично для третьей производной:

${\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}=-{\frac {d^{3}x}{dy^{3}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{4}-3{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}$

или используя формулу второй производной,

${\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}=-{\frac {d^{3}x}{dy^{3}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{4}+3\left({\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\right)^{2}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{5}$

Эти формулы обобщаются формулой Фаа ди Бруно .

Эти формулы также можно записать, используя обозначения Лагранжа. Если f и g обратные, то

$g''(x)={\frac {-f''(g(x))}{[f'(g(x))]^{3}}}$

Пример

• $y=e^{x}$ имеет обратное значение $x=\ln y$. Используя формулу для второй производной обратной функции,

${\frac {dy}{dx}}={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=e^{x}=y{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }};{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{3}=y^{3};$

так что

${\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,y^{3}+y=0{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }};{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}=-{\frac {1}{y^{2}}}$,

что согласуется с прямым вычислением.

См. также

• Исчисление - Раздел математики
• Правило цепочки - для производных составных функций.
• Дифференцирование тригонометрических функций - Математический процесс нахождения производной тригонометрической функции.
• Правила дифференцирования - Правила вычисления производных функций.
• Теорема о неявной функции - О преобразовании отношений в функции нескольких действительных переменных
• Интегрирование обратных функций — математическая теорема, используемая в исчислении. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Обратная функция – математическое понятие
• Теорема об обратной функции - Теорема по математике
• Таблица производных — правила вычисления производных функций. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Тождества векторного исчисления - Математические тождества

Ссылки

• Марсден, Джеррольд Э.; Вайнштейн, Алан (1981). «Глава 8: Обратные функции и правило цепочки». Исчисление без ограничений (PDF) . Менло-Парк, Калифорния: паб Benjamin/Cummings. компании ISBN  0-8053-6932-5 .