Дифференцирование тригонометрических функций

Функция	Производная
$\sin(x)$	$\cos(x)$
$\cos(x)$	$-\sin(x)$
$\tan(x)$	$\sec ^{2}(x)$
$\cot(x)$	$-\csc ^{2}(x)$
$\sec(x)$	$\sec(x)\tan(x)$
$\csc(x)$	$-\csc(x)\cot(x)$
$\arcsin(x)$	${\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
$\arccos(x)$	$-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
$\arctan(x)$	${\frac {1}{x^{2}+1}}$
$\operatorname {arccot}(x)$	$-{\frac {1}{x^{2}+1}}$
$\operatorname {arcsec}(x)$	${\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}$
$\operatorname {arccsc}(x)$	$-{\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}$

Дифференцирование тригонометрических функций — это математический процесс нахождения производной или тригонометрической функции скорости ее изменения по переменной. Например, производная синусоидальной функции записывается sin ′ ( a ) = cos( a ), что означает, что скорость изменения sin( x ) при определенном угле x = a определяется косинусом этого угла.

Все производные круговых тригонометрических функций можно найти из производных sin( x ) и cos( x ) с помощью правила фактора , применяемого к таким функциям, как tan( x ) = sin( x )/cos( x ). Зная эти производные, производные обратных тригонометрических функций находятся с помощью неявного дифференцирования .

Доказательства производных тригонометрических функций

Предел sin(θ)/θ, когда θ стремится к 0

Круг, центр O , радиус 1

На диаграмме справа показан круг с центром O и радиусом r = 1. Пусть два радиуса OA и OB образуют дугу в θ радиан. Поскольку мы рассматриваем предел, когда θ стремится к нулю, мы можем предположить, что θ — небольшое положительное число, скажем, 0 < θ < ⁠ 1/2 ⁠ π в первом квадранте.

Пусть на схеме R ₁ — треугольник OAB , R _{2 —} круговой сектор OAB , а R ₃ — треугольник OAC .

Площадь треугольника OAB равна:

$\mathrm {Area} (R_{1})={\tfrac {1}{2}}\ |OA|\ |OB|\sin \theta ={\tfrac {1}{2}}\sin \theta \,.$

Площадь кругового сектора ОАБ составляет:

$\mathrm {Area} (R_{2})={\tfrac {1}{2}}\theta \,.$

Площадь треугольника ОАС определяется по формуле:

$\mathrm {Area} (R_{3})={\tfrac {1}{2}}\ |OA|\ |AC|={\tfrac {1}{2}}\tan \theta \,.$

Поскольку каждый регион содержится в следующем, имеется:

${\text{Area}}(R_{1})<{\text{Area}}(R_{2})<{\text{Area}}(R_{3})\implies {\tfrac {1}{2}}\sin \theta <{\tfrac {1}{2}}\theta <{\tfrac {1}{2}}\tan \theta \,.$

Более того, поскольку sin θ > 0 в первом квадранте, мы можем разделить на ⁠ 1/2 , ⁠ что sin θ дает:

$1<{\frac {\theta }{\sin \theta }}<{\frac {1}{\cos \theta }}\implies 1>{\frac {\sin \theta }{\theta }}>\cos \theta \,.$

На последнем этапе мы взяли обратные значения трех положительных членов, обратив неравенство вспять.

Сжатие: кривые y = 1 и y = cos θ показаны красным, кривая y = sin( θ )/ θ показана синим цветом.

Заключаем, что при 0 < θ < ⁠ 1/2 θ ) ⁠ π, величина sin( θ )/ всегда меньше . 1 и всегда больше cos(θ Таким образом, когда θ приближается к 0, sin( θ )/ θ « зажимается » между потолком на высоте 1 и полом на высоте cos θ , которая повышается к 1; следовательно, sin( θ )/ θ должен стремиться к 1, поскольку θ стремится к 0 с положительной стороны:

$\lim _{\theta \to 0^{+}}{\frac {\sin \theta }{\theta }}=1\,.$

Для случая, когда θ представляет собой небольшое отрицательное число – ⁠ 1/2 θ < 0, мы используем π < ⁠ тот факт, что синус — нечетная функция :

$\lim _{\theta \to 0^{-}}\!{\frac {\sin \theta }{\theta }}\ =\ \lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\frac {\sin(-\theta )}{-\theta }}\ =\ \lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\frac {-\sin \theta }{-\theta }}\ =\ \lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\frac {\sin \theta }{\theta }}\ =\ 1\,.$

Предел (cos(θ)-1)/θ, когда θ стремится к 0

Последний раздел позволяет нам относительно легко вычислить этот новый предел. Это делается с помощью простого трюка. В этом расчете знак θ неважен.

$\lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\ =\ \lim _{\theta \to 0}\left({\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\right)\!\!\left({\frac {\cos \theta +1}{\cos \theta +1}}\right)\ =\ \lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\cos ^{2}\!\theta -1}{\theta \,(\cos \theta +1)}}.$

Использование cos ² θ – 1 = –sin ² θ , тот факт, что предел продукта является продуктом пределов, а предел является результатом предыдущего раздела, мы находим, что:

$\lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\ =\ \lim _{\theta \to 0}\,{\frac {-\sin ^{2}\theta }{\theta (\cos \theta +1)}}\ =\ \left(-\lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin \theta }{\theta }}\right)\!\left(\lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\sin \theta }{\cos \theta +1}}\right)\ =\ (-1)\left({\frac {0}{2}}\right)=0\,.$

Предел tan(θ)/θ, когда θ стремится к 0

Используя предел синусоидальной функции , тот факт, что тангенсная функция нечетна, а также тот факт, что предел произведения является произведением пределов, мы находим:

$\lim _{\theta \to 0}{\frac {\tan \theta }{\theta }}\ =\ \left(\lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin \theta }{\theta }}\right)\!\left(\lim _{\theta \to 0}{\frac {1}{\cos \theta }}\right)\ =\ (1)(1)\ =\ 1\,.$

Производная функции синуса

Вычисляем производную синусоидальной функции из определения предела :

${\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\sin \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\sin(\theta +\delta )-\sin \theta }{\delta }}.$

Используя формулу сложения углов sin(α+β) = sin α cos β + sin β cos α , мы имеем:

${\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\sin \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\sin \theta \cos \delta +\sin \delta \cos \theta -\sin \theta }{\delta }}=\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\sin \delta }{\delta }}\cos \theta +{\frac {\cos \delta -1}{\delta }}\sin \theta \right).$

Используя пределы для функций синуса и косинуса :

${\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\sin \theta =(1)\cos \theta +(0)\sin \theta =\cos \theta \,.$

Производная функции косинуса

Из определения производной

Снова вычисляем производную косинуса из предельного определения:

${\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\cos \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\cos(\theta +\delta )-\cos \theta }{\delta }}.$

Используя формулу сложения углов cos(α+β) = cos α cos β – sin α sin β , мы имеем:

${\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\cos \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\cos \theta \cos \delta -\sin \theta \sin \delta -\cos \theta }{\delta }}=\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\cos \delta -1}{\delta }}\cos \theta \,-\,{\frac {\sin \delta }{\delta }}\sin \theta \right).$

Используя пределы для функций синуса и косинуса :

${\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\cos \theta =(0)\cos \theta -(1)\sin \theta =-\sin \theta \,.$

Из правила цепочки

Чтобы вычислить производную косинуса по цепному правилу, сначала обратите внимание на следующие три факта:

$\cos \theta =\sin \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)$

$\sin \theta =\cos \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)$

${\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\sin \theta =\cos \theta$

Первое и второе — тригонометрические тождества , а третье доказано выше. Используя эти три факта, мы можем написать следующее:

${\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\cos \theta ={\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\sin \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)$

Мы можем дифференцировать это, используя правило цепочки . Сдача в аренду $f(x)=\sin x,\ \ g(\theta )={\tfrac {\pi }{2}}-\theta$, у нас есть:

${\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}f\!\left(g\!\left(\theta \right)\right)=f^{\prime }\!\left(g\!\left(\theta \right)\right)\cdot g^{\prime }\!\left(\theta \right)=\cos \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)\cdot (0-1)=-\sin \theta$.

Таким образом, мы доказали, что

${\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\cos \theta =-\sin \theta$.

Производная функции тангенса

Из определения производной

Чтобы вычислить производную касательной функции tan θ , мы используем первые принципы . По определению:

${\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\tan(\theta +\delta )-\tan \theta }{\delta }}\right).$

Используя известную формулу угла tan(α+β) = (tan α + tan β) / (1 - tan α tan β) , имеем:

${\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =\lim _{\delta \to 0}\left[{\frac {{\frac {\tan \theta +\tan \delta }{1-\tan \theta \tan \delta }}-\tan \theta }{\delta }}\right]=\lim _{\delta \to 0}\left[{\frac {\tan \theta +\tan \delta -\tan \theta +\tan ^{2}\theta \tan \delta }{\delta \left(1-\tan \theta \tan \delta \right)}}\right].$

Используя тот факт, что предел продукта является произведением пределов:

${\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\tan \delta }{\delta }}\times \lim _{\delta \to 0}\left({\frac {1+\tan ^{2}\theta }{1-\tan \theta \tan \delta }}\right).$

Используя предел для касательной функции и тот факт, что tan δ стремится к 0, когда δ стремится к 0:

${\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =1\times {\frac {1+\tan ^{2}\theta }{1-0}}=1+\tan ^{2}\theta .$

Мы сразу видим, что:

${\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =1+{\frac {\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}={\frac {\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}={\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}=\sec ^{2}\theta \,.$

Из правила частного

Можно также вычислить производную функции тангенса, используя правило фактора .

${\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\tan \theta ={\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}{\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}={\frac {\left(\sin \theta \right)^{\prime }\cdot \cos \theta -\sin \theta \cdot \left(\cos \theta \right)^{\prime }}{\cos ^{2}\theta }}={\frac {\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}$

Числитель можно упростить до 1 с помощью тождества Пифагора , что дает нам:

${\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}=\sec ^{2}\theta$

Поэтому,

${\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\tan \theta =\sec ^{2}\theta$

Доказательства производных обратных тригонометрических функций

Следующие производные находятся путем установки переменной y, равной обратной тригонометрической функции , производную которой мы хотим получить. Используя неявное дифференцирование и затем находя решение для dy / dx , производная обратной функции находится через y . Чтобы преобразовать dy / dx обратно в существование через x , мы можем нарисовать опорный треугольник на единичном круге, присвоив θ значение y. Используя теорему Пифагора и определение регулярных тригонометрических функций, мы можем наконец выразить dy / dx через x .

Дифференцирование обратной синусоидальной функции

Мы позволяем

$y=\arcsin x\,\!$

Где

$-{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}}$

Затем

$\sin y=x\,\!$

Взяв производную по $x$ с обеих сторон и решение для dy/dx:

${d \over dx}\sin y={d \over dx}x$

$\cos y\cdot {dy \over dx}=1\,\!$

Замена $\cos y={\sqrt {1-\sin ^{2}y}}$ сверху,

${\sqrt {1-\sin ^{2}y}}\cdot {dy \over dx}=1$

Замена $x=\sin y$ сверху,

${\sqrt {1-x^{2}}}\cdot {dy \over dx}=1$

${dy \over dx}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

Дифференцирование функции обратного косинуса

Мы позволяем

$y=\arccos x\,\!$

Где

$0\leq y\leq \pi$

Затем

$\cos y=x\,\!$

Взяв производную по $x$ с обеих сторон и решение для dy/dx:

${d \over dx}\cos y={d \over dx}x$

$-\sin y\cdot {dy \over dx}=1$

Замена $\sin y={\sqrt {1-\cos ^{2}y}}\,\!$ сверху мы получаем

$-{\sqrt {1-\cos ^{2}y}}\cdot {dy \over dx}=1$

Замена $x=\cos y\,\!$ сверху мы получаем

$-{\sqrt {1-x^{2}}}\cdot {dy \over dx}=1$

${dy \over dx}=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

Альтернативно, как только производная $\arcsin x$ установлена ​​производная от $\arccos x$ следует непосредственно путем дифференцирования тождества $\arcsin x+\arccos x=\pi /2$ так что $(\arccos x)'=-(\arcsin x)'$.

Дифференцирование функции обратного тангенса

Мы позволяем

$y=\arctan x\,\!$

Где

$-{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}}$

Затем

$\tan y=x\,\!$

Взяв производную по $x$ с обеих сторон и решение для dy/dx:

${d \over dx}\tan y={d \over dx}x$

Левая сторона:

${d \over dx}\tan y=\sec ^{2}y\cdot {dy \over dx}=(1+\tan ^{2}y){dy \over dx}$ используя тождество Пифагора

Правая сторона:

${d \over dx}x=1$

Поэтому,

$(1+\tan ^{2}y){dy \over dx}=1$

Замена $x=\tan y\,\!$ сверху мы получаем

$(1+x^{2}){dy \over dx}=1$

${dy \over dx}={\frac {1}{1+x^{2}}}$

Дифференцирование обратной функции котангенса

Мы позволяем

$y=\operatorname {arccot} x$

где $0<y<\pi$. Затем

$\cot y=x$

Взяв производную по $x$ с обеих сторон и решение для dy/dx:

${\frac {d}{dx}}\cot y={\frac {d}{dx}}x$

Левая сторона:

${d \over dx}\cot y=-\csc ^{2}y\cdot {dy \over dx}=-(1+\cot ^{2}y){dy \over dx}$ используя тождество Пифагора

Правая сторона:

${d \over dx}x=1$

Поэтому,

$-(1+\cot ^{2}y){\frac {dy}{dx}}=1$

Замена $x=\cot y$,

$-(1+x^{2}){\frac {dy}{dx}}=1$

${\frac {dy}{dx}}=-{\frac {1}{1+x^{2}}}$

Альтернативно, как производная от $\arctan x$ выводится, как показано выше, затем с использованием тождества $\arctan x+\operatorname {arccot} x={\dfrac {\pi }{2}}$ сразу следует, что $${\begin{aligned}{\dfrac {d}{dx}}\operatorname {arccot} x&={\dfrac {d}{dx}}\left({\dfrac {\pi }{2}}-\arctan x\right)\\&=-{\dfrac {1}{1+x^{2}}}\end{aligned}}$$

Дифференцирование обратной секущей функции

Использование неявного дифференцирования

Позволять

$y=\operatorname {arcsec} x\ \mid |x|\geq 1$

Затем

$x=\sec y\mid \ y\in \left[0,{\frac {\pi }{2}}\right)\cup \left({\frac {\pi }{2}},\pi \right]$

${\frac {dx}{dy}}=\sec y\tan y=|x|{\sqrt {x^{2}-1}}$

(Абсолютное значение в выражении необходимо, поскольку произведение секущего и тангенса на интервале y всегда неотрицательно, а радикал ${\sqrt {x^{2}-1}}$ всегда неотрицательен по определению главного квадратного корня, поэтому оставшийся множитель также должен быть неотрицательным, что достигается за счет использования абсолютного значения x.)

${\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}$

Использование правила цепочки

Альтернативно, производная арксеканса может быть получена из производной арккосинуса с использованием цепного правила .

Позволять

$y=\operatorname {arcsec} x=\arccos \left({\frac {1}{x}}\right)$

Где

$|x|\geq 1$ и $y\in \left[0,{\frac {\pi }{2}}\right)\cup \left({\frac {\pi }{2}},\pi \right]$

Затем, применив правило цепочки к $\arccos \left({\frac {1}{x}}\right)$:

${\frac {dy}{dx}}=-{\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {1}{x}})^{2}}}}\cdot \left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)={\frac {1}{x^{2}{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}}}={\frac {1}{x^{2}{\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{\sqrt {x^{2}}}}}}={\frac {1}{{\sqrt {x^{2}}}{\sqrt {x^{2}-1}}}}={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}$

Дифференцирование обратной косекансной функции

Использование неявного дифференцирования

Позволять

$y=\operatorname {arccsc} x\ \mid |x|\geq 1$

Затем

$x=\csc y\ \mid \ y\in \left[-{\frac {\pi }{2}},0\right)\cup \left(0,{\frac {\pi }{2}}\right]$

${\frac {dx}{dy}}=-\csc y\cot y=-|x|{\sqrt {x^{2}-1}}$

(Абсолютное значение в выражении необходимо, поскольку произведение косеканса и котангенса в интервале y всегда неотрицательно, а радикал ${\sqrt {x^{2}-1}}$ всегда неотрицательен по определению главного квадратного корня, поэтому оставшийся множитель также должен быть неотрицательным, что достигается за счет использования абсолютного значения x.)

${\frac {dy}{dx}}={\frac {-1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}$

Использование правила цепочки

Альтернативно, производная арккосеканса может быть получена из производной арксинуса с использованием цепного правила .

Позволять

$y=\operatorname {arccsc} x=\arcsin \left({\frac {1}{x}}\right)$

Где

$|x|\geq 1$ и $y\in \left[-{\frac {\pi }{2}},0\right)\cup \left(0,{\frac {\pi }{2}}\right]$

Затем, применив правило цепочки к $\arcsin \left({\frac {1}{x}}\right)$:

${\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {1}{x}})^{2}}}}\cdot \left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)=-{\frac {1}{x^{2}{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}}}=-{\frac {1}{x^{2}{\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{\sqrt {x^{2}}}}}}=-{\frac {1}{{\sqrt {x^{2}}}{\sqrt {x^{2}-1}}}}=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}$

См. также

• Исчисление - Раздел математики
• Производная – мгновенная скорость изменения (математика)
• Правила дифференцирования - Правила вычисления производных функций.
• Общее правило Лейбница - Обобщение правила произведения в исчислении.
• Обратные функции и дифференциация — страницы идентификации исчисления, отображающие краткие описания целей перенаправления.
• Линейность дифференцирования – свойство исчисления
• Список интегралов обратных тригонометрических функций
• Список тригонометрических тождеств - Равенства, в которых участвуют тригонометрические функции.
• Тригонометрия - Область геометрии, посвященная углам и длинам.

Библиография

• Справочник по математическим функциям , под редакцией Абрамовица и Стегуна, Национальное бюро стандартов, серия прикладной математики, 55 (1964)