История тригонометрии

Раннее изучение треугольников можно отнести ко 2-му тысячелетию до нашей эры , в египетской математике ( Риндский математический папирус ) и вавилонской математике . Тригонометрия также была распространена в кушитской математике. Систематическое изучение тригонометрических функций началось в эллинистической математике , достигнув Индии как часть эллинистической астрономии . В индийской астрономии изучение тригонометрических функций процветало в период Гуптов , особенно благодаря Арьябхате (шестой век нашей эры), который открыл функции синуса, косинуса и версуса.

В средние века изучение тригонометрии продолжалось в исламской математике такими математиками, как Аль-Хорезми и Абу аль-Вафа . Она стала самостоятельной дисциплиной в исламском мире все шесть тригонометрических функций , где были известны . Переводы арабских и греческих текстов привели к тому, что тригонометрия была принята в качестве предмета на Латинском Западе, начиная с эпохи Возрождения с Региомонтаном .

Развитие современной тригонометрии изменилось в западную эпоху Просвещения , начиная с математики 17-го века ( Исаак Ньютон и Джеймс Стирлинг ) и достигая своей современной формы с Леонардом Эйлером (1748).

Этимология

Термин «тригонометрия» произошел от греческого τρίγωνον trigōnon — «треугольник» и μέτρον Metron — «мера».

Современные слова «синус» и «косинус» произошли от латинского слова sinus в результате неправильного перевода с арабского языка (см. Синус и косинус#Этимология ). В частности, . Фибоначчи прямая пазуха влияние на создание этого термина оказала

Слово « тангенс» происходит от латинского tangens , означающего «касание», поскольку линия касается круга единичного радиуса, тогда как секанс происходит от латинского secans «разрез», поскольку линия пересекает круг.

Префикс « co- » (в «косинусе», «котангенсе», «косекансе») встречается в Эдмунда Гюнтера » «Каноне треугольника (1620 г.), в котором косинус определяется как сокращение от sinus Complimenti (синус дополнительного угла). ) и аналогичным образом определяет котангены .

Слова «минута» и «секунда» произошли от латинских фраз partes minutae primae и partes minutae secundae . Это примерно переводится как «первые мелкие детали» и «вторые мелкие детали».

Древний

Древний Ближний Восток

Древним египтянам и вавилонянам на протяжении многих столетий были известны теоремы о соотношениях сторон подобных треугольников. Однако, поскольку в доэллинских обществах не было понятия меры угла, вместо этого они ограничивались изучением сторон треугольников.

Вавилонские астрономы вели подробные записи о восходе и заходе звезд , движении планет , солнечных и лунных затмениях , и все это требовало знания угловых расстояний, измеряемых на небесной сфере . Основываясь на одной из интерпретаций таблички Плимптона 322 клинописной (ок. 1900 г. до н. э.), некоторые даже утверждали, что у древних вавилонян была таблица секущих, но она не работает в этом контексте, поскольку без использования кругов и углов в ситуации победили современные тригонометрические обозначения. Не применяю. Однако существует много споров о том, является ли это таблицей троек Пифагора , решением квадратных уравнений или тригонометрической таблицей .

С другой стороны, египтяне использовали примитивную форму тригонометрии для строительства пирамид во 2-м тысячелетии до нашей эры. , Математический папирус Ринда написанный египетским писцом Ахмесом (ок. 1680–1620 до н. э.), содержит следующую задачу, связанную с тригонометрией:

«Если высота пирамиды 250 локтей, а длина стороны ее основания 360 локтей, каков ее секек ?»

Решение проблемы Ахмесом - это отношение половины стороны основания пирамиды к ее высоте, или отношение высоты к высоте ее грани. Другими словами, найденная им величина для секека — это котангенс угла основания пирамиды и ее грани.

Классическая античность

Хорда угла стягивает дугу угла.

Древнегреческие и эллинистические математики использовали аккорд . Учитывая окружность и дугу на окружности, хорда — это линия, стягивающая дугу. Биссектриса хорды проходит через центр окружности и делит угол пополам. Половина биссектрисы представляет собой синус половины биссектрисы угла, то есть:

$\mathrm {chord} \ \theta =2r\sin {\frac {\theta }{2}},$

и, следовательно, функция синуса также известна как полухорда . Благодаря этой связи ряд тригонометрических тождеств и теорем, известных сегодня, были также известны эллинистическим математикам, но в их эквивалентной хордовой форме.

нет тригонометрии Хотя в трудах Евклида и Архимеда , в строгом смысле этого слова есть теоремы, изложенные геометрическим (а не тригонометрическим) способом, эквивалентные конкретным тригонометрическим законам или формулам. Например, двенадцатое и тринадцатое положения второй книги «Начал» представляют собой законы косинусов для тупых и острых углов соответственно. Теоремы о длинах хорд являются приложениями закона синусов . А теорема Архимеда о разорванных хордах эквивалентна формулам синусов сумм и разностей углов. Чтобы компенсировать отсутствие таблицы аккордов , математики времен Аристарха иногда использовали утверждение, что в современных обозначениях sin α /sin β < α / β < tan α /tan β всякий раз, когда 0° < β < α < 90°, ныне известное как неравенство Аристарха .

Первая тригонометрическая таблица, по-видимому, была составлена ( 180–125 ​​Гиппархом Никейским гг. до н. э.), который теперь известен как «отец тригонометрии». Гиппарх был первым, кто составил таблицу соответствующих значений дуги и хорды для ряда углов.

Хотя неизвестно, когда систематическое использование круга 360° пришло в математику, известно, что систематическое введение круга 360° произошло вскоре после того, как Аристарх Самосский сочинил « О размерах и расстояниях Солнца и Луны» (ок. 260 г. до н. э.), так как он измерял угол в долях квадранта. Кажется, что систематическое использование круга в 360° во многом связано с Гиппархом и его таблицей аккордов . Гиппарх, возможно, позаимствовал идею этого деления у Гипсикла , который ранее разделил сутки на 360 частей, деление суток, возможно, было предложено вавилонской астрономией. В древней астрономии зодиак был разделен на двенадцать «знаков» или тридцать шесть «деканов». Сезонный цикл продолжительностью примерно 360 дней мог бы соответствовать знакам и деканам зодиака, если разделить каждый знак на тридцать частей, а каждый декан — на десять частей. Благодаря вавилонской шестидесятеричной системе счисления каждая степень делится на шестьдесят минут, а каждая минута — на шестьдесят секунд.

Теорема Менелая

Менелай Александрийский (ок. 100 г. н. э.) написал в трёх книгах свою «Сферику» . В книге I он установил основу сферических треугольников, аналогичную евклидовой основе плоских треугольников. Он установил теорему, не имеющую евклидова аналога, о том, что два сферических треугольника равны, если соответствующие углы равны, но он не различал равные и симметричные сферические треугольники. Другая теорема, которую он установил, заключается в том, что сумма углов сферического треугольника больше 180 °. Книга II «Сферики» применяет сферическую геометрию к астрономии. А в третьей книге содержится «теорема Менелая». Далее он дал свое знаменитое «правило шести величин».

Позже Клавдий Птолемей (ок. 90 – ок. 168 г. н.э.) расширил тему «Аккорды в круге » Гиппарха в своем «Альмагесте» , или «Математическом синтаксисе» . «Альмагест» — это прежде всего работа по астрономии, а астрономия опирается на тригонометрию. Таблица хорд Птолемея дает длины хорд круга диаметром 120 в зависимости от количества градусов n в соответствующей дуге круга для n в диапазоне от 1/2 до 180 с шагом 1/2. Тринадцать книг Альмагеста — самый влиятельный и значительный тригонометрический труд всей древности. Теорема, которая была центральной в вычислении хорд Птолемеем, была тем, что до сих пор известно как теорема Птолемея , о том, что сумма произведений противоположных сторон вписанного четырехугольника равна произведению диагоналей. Частный случай теоремы Птолемея появился как предложение 93 в «Данных» Евклида . Теорема Птолемея приводит к эквиваленту четырех формул суммы и разности для синуса и косинуса, которые сегодня известны как формулы Птолемея, хотя сам Птолемей использовал хорды вместо синуса и косинуса. Птолемей далее вывел эквивалент формулы половинного угла.

$\sin ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {1-\cos(x)}{2}}.$

Птолемей использовал эти результаты для создания своих тригонометрических таблиц, но невозможно определить, были ли эти таблицы получены на основе работы Гиппарха.

Ни таблицы Гиппарха, ни таблицы Птолемея до наших дней не сохранились, хотя описания других античных авторов не оставляют сомнений в их существовании.

Индийская математика

Смотрите также: Индийская математика и индийская астрономия

Некоторые из первых и очень значительных разработок тригонометрии произошли в Индии . Влиятельные произведения IV–V веков нашей эры, известные как Сиддханты (их было пять, наиболее важным из которых является Сурья Сиддханта). ) первым определил синус как современное соотношение между половиной угла и половиной хорды, а также определил косинус, версус и обратный синус . Вскоре после этого другой индийский математик и астроном , Арьябхата (476–550 гг. н. э.), собрал и расширил разработки сиддхантов в важной работе под названием «Арьябхатия» . Сиддханты версинуса и Арьябхатия содержат самые ранние из сохранившихся таблиц значений синуса и ( 1 - косинус) с интервалами 3,75 ° от 0 ° до 90 ° с точностью до 4 десятичных знаков. Они использовали слова джья для синуса, коджья для косинуса, уткрама-джья для версины и открам джья для обратного синуса. Слова jya и kojya в конечном итоге стали синусом и косинусом соответственно после неправильного перевода, описанного выше.

В VII веке Бхаскара I вывел формулу для вычисления синуса острого угла без использования таблицы. Он также дал следующую аппроксимирующую формулу для sin( x ), относительная погрешность которой составляла менее 1,9%:

$\sin x\approx {\frac {16x(\pi -x)}{5\pi ^{2}-4x(\pi -x)}},\qquad \left(0\leq x\leq \pi \right).$

Позже, в VII веке, Брахмагупта переработал формулу.

$\ 1-\sin ^{2}(x)=\cos ^{2}(x)=\sin ^{2}\left({\frac {\pi }{2}}-x\right)$

(также полученная ранее, как упоминалось выше) и интерполяционная формула Брахмагупты для вычисления значений синуса.

Другим более поздним индийским автором тригонометрии был Бхаскара II, живший в XII веке. Бхаскара II разработал сферическую тригонометрию и обнаружил множество тригонометрических результатов.

Бхаскара II был одним из первых, кто открыл $\sin \left(a+b\right)$ и $\sin \left(a-b\right)$ тригонометрические результаты, такие как:

• $\sin \left(a+b\right)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$

Мадхава (ок. 1400 г.) добился первых успехов в анализе тригонометрических функций и их разложении в бесконечные ряды . Он разработал концепции степенного ряда и ряда Тейлора , а также разложил степенные ряды синуса, косинуса, тангенса и арктангенса. Используя аппроксимации синуса и косинуса рядами Тейлора, он создал таблицу синусов с точностью до 12 десятичных знаков и таблицу косинусов с точностью до 9 десятичных знаков. Он также дал степенной ряд π и угла , радиуса , диаметра и длины окружности через тригонометрические функции. Его работы были расширены его последователями в школе Кералы до 16 века.

Нет.	Ряд	Имя	Западные первооткрыватели сериала и примерные даты открытия
1	грех х = х - х 3 / 3! + х 5 / 5! − х 7 / 7! + ...	Синусоидальный ряд Мадхавы	Исаак Ньютон (1670 г.) и Вильгельм Лейбниц (1676 г.)
2	потому что х = 1 - х 2 / 2! + х 4 / 4! − х 6 / 6! + ...	Косинусный ряд Мадхавы	Исаак Ньютон (1670 г.) и Вильгельм Лейбниц (1676 г.)
3	загар −1 х = х - х 3 / 3 + х 5 / 5 − х 7 / 7 + ...	Арктангенсный ряд Мадхавы	Джеймс Грегори (1671 г.) и Вильгельм Лейбниц (1676 г.)

Индийский текст Юктибхаша содержит доказательство расширения функций синуса и косинуса , а также вывод и доказательство степенного ряда для обратного тангенса , открытого Мадхавой. Юктибхаша также содержит правила нахождения синусов и косинусов суммы и разности двух углов.

Китайская математика

Го Шоуцзин (1231–1316)

В Китае династии китайскую таблица синусов Арьябхаты была переведена в математическую книгу Кайюань Чжаньцзин , составленную в 718 году нашей эры во времена Тан . Хотя китайцы преуспели в других областях математики, таких как твердотельная геометрия, биномиальная теорема и сложные алгебраические формулы, ранние формы тригонометрии не получили такого широкого признания, как в более ранних греческих, эллинистических, индийских и исламских мирах. Вместо этого ранние китайцы использовали эмпирическую замену, известную как чунг ча , в то время как практическое использование плоской тригонометрии для использования синуса, тангенса и секанса было известно. Однако это зачаточное состояние тригонометрии в Китае начало медленно меняться и развиваться во время династии Сун (960–1279), когда китайские математики начали уделять больше внимания необходимости сферической тригонометрии в календарной науке и астрономических расчетах. , Китайский ученый -эрудит математик и чиновник Шэнь Го (1031–1095) использовал тригонометрические функции для решения математических задач о хордах и дугах. Виктор Дж. Кац пишет, что в формуле Шена «техника пересекающихся кругов» он создал аппроксимацию дуг s круга, учитывая диаметр d , сагитту   v и длину c хорды, стягивающей дугу, длину которой он аппроксимируется как

$s=c+{\frac {2v^{2}}{d}}.$

Сал Рестиво пишет, что работы Шена по длинам дуг окружностей легли в основу сферической тригонометрии , разработанной в 13 веке математиком и астрономом Го Шоуцзином (1231–1316). Как утверждают историки Л. Гоше и Джозеф Нидэм, Го Шоуцзин использовал сферическую тригонометрию в своих расчетах для совершенствования календарной системы и китайской астрономии . Наряду с китайской иллюстрацией математических доказательств Го, датированной более поздним XVII веком, Нидхэм утверждает, что:

Го использовал четырехугольную сферическую пирамиду, базальный четырехугольник которой состоял из одной экваториальной и одной эклиптической дуги вместе с двумя дугами меридиана , одна из которых проходила через точку летнего солнцестояния ... Такими методами он смог получить ду люй. (градусы экватора, соответствующие градусам эклиптики), джи ча (значения хорд для заданных дуг эклиптики) и ча лю (разница между хордами дуг, отличающихся на 1 градус).

Несмотря на достижения работ Шэня и Го в области тригонометрии, еще одна существенная работа по китайской тригонометрии не будет опубликована снова до 1607 года, когда « Начала Евклида» будут опубликованы одновременно китайским чиновником и астрономом Сюй Гуанци (1562–1633) и итальянским иезуитом Маттео Риччи. (1552–1610).

исламский

Страница из «Сборника вычислений путем завершения и балансирования» Мухаммада ибн Мусы аль-Хорезми (ок. 820 г. н.э.)

Предыдущие работы были позже переведены и расширены в средневековом исламском мире мусульманскими математиками преимущественно персидского и арабского происхождения , которые сформулировали большое количество теорем, которые освободили предмет тригонометрии от зависимости от полного четырехугольника , как это было в эллинистической математике благодаря к применению теоремы Менелая . По мнению Э.С. Кеннеди, именно после этого развития исламской математики «появилась первая настоящая тригонометрия, в том смысле, что только тогда объектом изучения стал сферический или плоский треугольник , его стороны и углы ».

Были также известны методы работы со сферическими треугольниками, в частности метод Менелая Александрийского , который разработал «теорему Менелая» для решения сферических задач. Однако Э. С. Кеннеди отмечает, что, хотя в доисламской математике было возможно вычислить величины сферической фигуры, в принципе, с помощью таблицы хорд и теоремы Менелая, применение этой теоремы к сферическим задачам было очень трудным. сложно на практике. Чтобы соблюдать святые дни по исламскому календарю, в котором время определялось фазами луны , астрономы сначала использовали метод Менелая для расчета места луны и звезд , хотя этот метод оказался неуклюжим и трудным. Это включало в себя создание двух пересекающихся прямоугольных треугольников ; применив теорему Менелая, можно было решить одну из шести сторон, но только если были известны остальные пять сторон. чтобы определить время по , высоте Солнца Например , требовалось неоднократное применение теоремы Менелая. Перед средневековыми исламскими астрономами стояла очевидная задача найти более простой тригонометрический метод.

В начале 9 века нашей эры Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми создал точные таблицы синусов и косинусов, а также первую таблицу тангенсов. Он также был пионером сферической тригонометрии . В 830 году нашей эры Хабаш аль-Хасиб аль-Марвази составил первую таблицу котангенсов. Мухаммад ибн Джабир аль-Харрани аль-Баттани (Албатениус) (853–929 гг. н. э.) открыл взаимные функции секущего и косеканса и составил первую таблицу косекансов для каждой степени от 1 ° до 90 °.

К 10 веку нашей эры в работах Абу аль-Вафа аль-Бузджани все шесть тригонометрических функций . использовались У Абу аль-Вафа были таблицы синусов с шагом 0,25 °, с точностью до 8 десятичных знаков, а также точные таблицы значений тангенсов. Он также разработал следующую тригонометрическую формулу:

$\ \sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)$ (частный случай формулы сложения углов Птолемея; см. выше)

В своем оригинальном тексте Абу аль-Вафа утверждает: «Если мы хотим этого, мы умножаем данный синус на косинус минут , и результат равен половине синуса двойного числа». Абу аль-Вафа также установил тождества сложения и разности углов, представленные с полными доказательствами:

$\sin(\alpha \pm \beta )={\sqrt {\sin ^{2}\alpha -(\sin \alpha \sin \beta )^{2}}}\pm {\sqrt {\sin ^{2}\beta -(\sin \alpha \sin \beta )^{2}}}$

$\sin(\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$

Для второго в тексте говорится: «Мы умножаем синус каждой из двух дуг на косинус остальных минут . Если нам нужен синус суммы, мы складываем произведения, если мы хотим синус разности , мы берем их разницу».

Он также открыл закон синусов для сферической тригонометрии:

${\frac {\sin A}{\sin a}}={\frac {\sin B}{\sin b}}={\frac {\sin C}{\sin c}}.$

Также в конце 10 и начале 11 веков нашей эры египетский астроном Ибн Юнус выполнил множество тщательных тригонометрических расчетов и продемонстрировал следующее тригонометрическое тождество :

$\cos a\cos b={\frac {\cos(a+b)+\cos(a-b)}{2}}$

Аль-Джайани (989–1079) из Аль-Андалуса написал «Книгу неизвестных дуг сферы» , которую считают «первым трактатом по сферической тригонометрии ». Он «содержит формулы для правосторонних треугольников , общий закон синусов и решение сферического треугольника с помощью полярного треугольника». Позже этот трактат оказал «сильное влияние на европейскую математику», а его «определение отношений как чисел» и «метод решения сферического треугольника, когда все стороны неизвестны», вероятно, повлияли на Региомонтануса .

Метод триангуляции был впервые разработан мусульманскими математиками, которые применили его для практических целей, таких как геодезия. и исламская география , описанная Абу Райханом Бируни в начале 11 века. Сам Бируни представил методы триангуляции для измерения размеров Земли и расстояний между различными местами. В конце XI века Омар Хайям (1048–1131) решал кубические уравнения , используя приближенные численные решения, найденные путем интерполяции в тригонометрических таблицах. В 13 веке Насир ад-Дин ат-Туси был первым, кто рассматривал тригонометрию как математическую дисциплину, независимую от астрономии, и развил сферическую тригонометрию в ее нынешнюю форму. Он перечислил шесть различных случаев прямоугольного треугольника в сферической тригонометрии, а в своей работе «О фигуре сектора » он сформулировал закон синусов для плоских и сферических треугольников, открыл закон тангенсов для сферических треугольников и представил доказательства обоих. эти законы. Насир ад-Дин ат-Туси считается создателем тригонометрии как самостоятельной математической дисциплины.

В 15 веке Джамшид аль-Каши предоставил первое явное изложение закона косинусов в форме, подходящей для триангуляции . Во Франции закон косинусов до сих пор называют теоремой Аль-Каши . Он также дал тригонометрические таблицы значений функции синуса для четырех шестидесятеричных цифр (что эквивалентно 8 десятичным знакам) для каждого 1 градуса аргумента с разностями, которые необходимо прибавлять для каждой 1/60 1 градуса. Примерно в то же время Улугбек также дает точные таблицы синусов и тангенсов с точностью до 8 знаков после запятой.

Современный

Европейский ренессанс и после него

В 1342 году Леви бен Гершон, известный как Герсонид , написал « О синусах, хордах и дугах» , в частности доказав закон синуса для плоских треугольников и приведя пятизначные таблицы синусов .

Упрощенная тригонометрическая таблица « toleta de marteloio » использовалась моряками в Средиземном море в XIV-XV веках для расчета навигационных курсов. Он описан Рамоном Луллием Майорки в 1295 году и изложен в атласе венецианского капитана Андреа Бьянко 1436 года .

Региомонтан был, пожалуй, первым математиком в Европе, который рассматривал тригонометрию как отдельную математическую дисциплину. в его De triangulis omnimodis, написанном в 1464 году, а также в его более поздней Tabulae Directum , которая включала безымянную функцию тангенса. Opus palatinum de triangulis Георга Иоахима Ретикуса , ученика Коперника , был, вероятно, первым в Европе, кто определил тригонометрические функции непосредственно в терминах прямоугольных треугольников вместо кругов, с таблицами для всех шести тригонометрических функций; эта работа была завершена учеником Ретикуса Валентином Отоном в 1596 году.

В 17 веке Исаак Ньютон и Джеймс Стирлинг разработали общую интерполяционную формулу Ньютона – Стирлинга для тригонометрических функций.

В XVIII веке Леонарда Эйлера ( «Введение в анализ бесконечного анализа» 1748 г.) главным образом положило начало аналитической трактовке тригонометрических функций в Европе, вывело их бесконечные ряды и представило « Эйлера » . формулу ^ix знак равно потому что Икс + я грех Икс . Эйлер использовал почти современные сокращения греха. , потому что. , Тан. , детская кроватка. , сек. , и косек. До этого Роджер Коутс вычислил производную синуса в своей «Harmonia Mensurarum» (1722). Также в 18 веке Брук Тейлор определил общий ряд Тейлора и дал его разложение и приближения для всех шести тригонометрических функций. Работы Джеймса Грегори в 17 веке и Колена Маклорена в 18 веке также оказали большое влияние на развитие тригонометрических рядов.

См. также

• Греческая математика
• История математики
• Тригонометрические функции
• Тригонометрия
• Таблица аккордов Птолемея
• Таблица синусов Арьябхаты
• Рациональная тригонометрия

Ссылки

• Бойер, Карл Бенджамин (1991). История математики (2-е изд.). Джон Уайли и сыновья, Inc. ISBN  978-0-471-54397-8 .
• Джозеф, Джордж Г. (2000). Герб павлина: неевропейские корни математики (2-е изд.). Лондон: Книги Пингвинов . ISBN  978-0-691-00659-8 .
• Кац, Виктор Дж. (1998). История математики / Введение (2-е изд.). Эддисон Уэсли. ISBN  978-0-321-01618-8 .
• Кац, Виктор Дж. (2007). Математика Египта, Месопотамии, Китая, Индии и ислама: справочник . Принстон: Издательство Принстонского университета. ISBN  978-0-691-11485-9 .
• Нидхэм, Джозеф (1986). Наука и цивилизация в Китае: Том 3, Математика и науки о небе и Земле . Тайбэй: Caves Books, Ltd.
• Рестиво, Сал (1992). Математика в обществе и истории: социологические исследования . Дордрехт: Kluwer Academic Publishers. ISBN  1-4020-0039-1 .

Дальнейшее чтение

• Браунмюль, Антон фон (1900–1903). Лекции по ( истории тригонометрии на немецком языке). Б. Г. Тойбнер.
• Кеннеди, Эдвард С. (1969). «История тригонометрии» . Исторические темы для урока математики . Ежегодники NCTM. Том. 31. Национальный совет учителей математики. стр. 333–375.
• Маор, Эли (1998). Тригонометрические наслаждения . Издательство Принстонского университета. дои : 10.1515/9780691202204 . ISBN  0691057540 . Архивировано из оригинала 11 июля 2003 г.
• Остерманн, Александр; Ваннер, Герхард (2012). «Тригонометрия». Геометрия в ее истории . Тексты для бакалавриата по математике. Спрингер. стр. 113–155. дои : 10.1007/978-3-642-29163-0 . ISBN  978-3-642-29162-3 .
• Ван Браммелен, Глен (2009). Математика неба и земли: ранняя история тригонометрии . Издательство Принстонского университета.
• Ван Браммелен, Глен (2021). Учение о треугольниках: история современной тригонометрии . Издательство Принстонского университета.