Интерполяционная формула Брахмагупты

Интерполяционная формула Брахмагупты второго порядка, представляет собой полиномиальную интерполяционную формулу разработанную индийским математиком и астрономом Брахмагуптой (598–668 н.э. ) в начале 7 века н.э. гг . Санскритский куплет , описывающий формулу, можно найти в дополнительной части «Кхандакадьяки», труда Брахмагупты, завершенного в 665 году нашей эры. ^[1] Брахмагупты Тот же куплет появляется в более ранней «Дхьяна-граха-адхикаре» , которая, вероятно, была написана «около начала второй четверти VII века нашей эры, если не раньше». ^[1] Брахмагупта был одним из первых, кто описал и использовал формулу интерполяции второго порядка с использованием разностей . ^[2]^[3]

Формула интерполяции Брахмагупты эквивалентна современной формуле интерполяции Ньютона – Стирлинга второго порядка .

$х$	$х 2$	...	$х р$	$х р +1$	...	$х н$
Различия	$Д 1$	...	$Д р$	$Д р +1$	...	$Д н$

Математики до Брахмагупты использовали простую формулу линейной интерполяции . Формула линейной интерполяции для вычисления $f (a)$ :

f(a)=f_{r}+tD_{r}

где

t={\frac {a-x_{r}}{h}}

.

Для вычисления $f (a)$ Брахмагупта заменяет $D r$ другим выражением, которое дает более точные значения и сводится к использованию формулы интерполяции второго порядка.

Описание схемы Брахмагуптой

В терминологии Брахмагупты различие $D r$ — это гатакханда , означающее прошлую разницу или разницу, которая была преодолена, разница $D r +1$ — это бхогьякханда, которая представляет собой различие, которое еще предстоит прийти . Викала — это количество минут, на которое был пройден интервал в той точке, где мы хотим интерполировать. В современных обозначениях это $a - x r$ . Новое выражение, которое заменяет $f r +1 - f r,$ называется спута-бхогьякханда . Описание спута-бхогьякханды содержится в следующем санскритском двустишии ( Дхьяна-Граха-Упадеша-Адхьяя, 17; Кхандака Кхьяка, IX, 8 ): ^[1]

^{[ необходимо разъяснение (необходим текст) ]}

Это было переведено с использованием комментария Бхаттолпалы (10 век н.э.) следующим образом: ^[1]^[4]

Умножьте викалу на половину разницы гатакханды и бхогьякханды и разделите результат на 900. Прибавьте результат к половине суммы гатакханды и бхогьякханды, если их полусумма меньше бхогьякханды , вычтите, если больше. (Результатом в каждом случае будет спута-бхогьякханда, правильная табличная разность.)

Первоначально эта формула была сформулирована для расчета значений синусоидальной функции, для которых общий интервал в базовой таблице составлял 900 минут или 15 градусов. Таким образом, ссылка на 900 на самом деле является ссылкой на общий интервал $h$ .

В современных обозначениях

Брахмагупты Метод расчета Шутабхогьякханды можно сформулировать в современных обозначениях следующим образом:

спута-бхогьякханда

\displaystyle ={\frac {D_{r}+D_{r-1}}{2}}\pm t{\frac {|D_{r}-D_{r-1}|}{2}}.

Знак ± следует принимать в зависимости от того, $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠ 1/2 D ⁠ ) ( D r + D r +1 или$ меньше или больше, чем $r +1,$ , что эквивалентно, в зависимости от того, $D r < D r +1$ или $D r > D r +1$ . Выражение Брахмагупты можно выразить в следующей форме:

спута-бхогьякханда

\displaystyle ={\frac {D_{r}+D_{r-1}}{2}}+t{\frac {D_{r}-D_{r-1}}{2}}.

Этот поправочный коэффициент дает следующее приблизительное значение для $f (a)$ :

{\begin{aligned}f(a)&=f_{r}+t\times {\text{sphuta-bhogyakhanda}}\\&=f_{r}+t{\frac {D_{r}+D_{r-1}}{2}}+t^{2}{\frac {D_{r}-D_{r-1}}{2}}.\end{aligned}}

Это интерполяционная формула Стирлинга , усеченная разностями второго порядка. ^[5]^[6] Неизвестно, как Брахмагупта пришел к своей формуле интерполяции. ^[1] Брахмагупта дал отдельную формулу для случая, когда значения независимой переменной расположены неравномерно.

См. также

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Гупта, Р.К. «Интерполяция второго порядка в индийской математике до пятнадцатого века». Индийский журнал истории науки . 4 (1 и 2): 86–98.
^ Ван Браммелен, Глен (2009). Математика неба и земли: ранняя история тригонометрии . Издательство Принстонского университета. п. 329. ИСБН 9780691129730 . (стр. 111)
^ Мейеринг, Эрик (март 2002 г.). «Хронология интерполяции от древней астрономии до современной обработки сигналов и изображений» . Труды IEEE . 90 (3): 319–321. дои : 10.1109/5.993400 .
^ Раджу, СК (2007). Культурные основы математики: природа математического доказательства и распространение исчисления из Индии в Европу в 16 веке. СЕ . Пирсон Образовательная Индия. стр. 138–140. ISBN 9788131708712 .
^ Милн-Томсон, Луи Мелвилл (2000). Исчисление конечных разностей . Издательство AMS Челси. стр. 67–68. ISBN 9780821821077 .
^ Хильдебранд, Фрэнсис Бегно (1987). Введение в численный анализ . Публикации Courier Dover. стр. 138–139 . ISBN 9780486653631 .

[Gupta-1] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Гупта, Р.К. «Интерполяция второго порядка в индийской математике до пятнадцатого века». Индийский журнал истории науки . 4 (1 и 2): 86–98.

[2] Ван Браммелен, Глен (2009). Математика неба и земли: ранняя история тригонометрии . Издательство Принстонского университета. п. 329. ИСБН 9780691129730 . (стр. 111)

[3] Мейеринг, Эрик (март 2002 г.). «Хронология интерполяции от древней астрономии до современной обработки сигналов и изображений» . Труды IEEE . 90 (3): 319–321. дои : 10.1109/5.993400 .

[Raju-4] Раджу, СК (2007). Культурные основы математики: природа математического доказательства и распространение исчисления из Индии в Европу в 16 веке. СЕ . Пирсон Образовательная Индия. стр. 138–140. ISBN 9788131708712 .

[5] Милн-Томсон, Луи Мелвилл (2000). Исчисление конечных разностей . Издательство AMS Челси. стр. 67–68. ISBN 9780821821077 .

[6] Хильдебранд, Фрэнсис Бегно (1987). Введение в численный анализ . Публикации Courier Dover. стр. 138–139 . ISBN 9780486653631 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]