Плимптон 322

Плимптон 322
Глиняная табличка Plimpton 322 с цифрами, написанными клинописью.
Высота	9 см
Ширина	13 см
Созданный	в. 1800 г. до н.э.
Текущее местоположение	Нью-Йорк , Нью-Йорк , США

Плимптон 322 — вавилонская глиняная табличка , примечательная тем, что содержит пример вавилонской математики . Он имеет номер 322 в коллекции Г. А. Плимптона в Колумбийском университете . Эта табличка, предположительно написанная около 1800 г. до н.э., содержит таблицу из четырех столбцов и 15 рядов цифр, написанных клинописью того периода.

В этой таблице перечислены два из трех чисел, которые сейчас называются тройками Пифагора , т. е. целые числа a , b и c , удовлетворяющие a. ² + б ² = с ² . С современной точки зрения метод построения таких троек является значительным ранним достижением, известным задолго до того, как греческие и индийские математики нашли решение этой проблемы.

О природе и назначении таблетки ведутся серьезные научные дебаты. Популярную трактовку этой таблички можно прочитать у Робсона (2002), лауреата премии Лестера Р. Форда за выдающиеся достижения в области математики, или, короче, у Конвея и Гая (1996) . Робсон (2001) представляет собой более подробное и техническое обсуждение интерпретации чисел на табличке с обширной библиографией.

Происхождение и датировка

Plimpton 322 частично сломан, его ширина составляет примерно 13 см, высота 9 см и толщина 2 см. Нью-йоркский издатель Джордж Артур Плимптон приобрел табличку у торговца археологами Эдгара Дж. Бэнкса примерно в 1922 году и завещал ее вместе с остальной частью своей коллекции Колумбийскому университету в середине 1930-х годов . По словам Бэнкса, табличка прибыла из Сенкере, места на юге Ирака , соответствующего древнему городу Ларса .

Считается, что табличка была написана около 1800 г. до н.э. (по средней хронологии ). частично основанный на стиле почерка, используемого для его клинописи : Робсон (2002) пишет, что этот почерк «типичен для документов из южного Ирака 4000–3500 лет назад». В частности, если судить по сходству форматирования с другими табличками из Ларсы, на которых написаны явные даты, Плимптон 322 вполне может относиться к периоду 1822–1784 гг. до н.э. Робсон отмечает, что Plimpton 322 был написан в том же формате, что и другие административные, а не математические документы того периода.

Содержание

Основное содержание Plimpton 322 представляет собой таблицу чисел с четырьмя столбцами и пятнадцатью строками в вавилонской шестидесятеричной системе счисления. Четвертый столбец — это просто номер строки в порядке от 1 до 15. Второй и третий столбцы полностью видны на сохранившейся табличке. Однако край первого столбца обломан, и есть две последовательные экстраполяции того, какими могут быть пропущенные цифры; эти интерпретации различаются только тем, начинается ли каждое число с дополнительной цифры, равной 1.

С учетом различных экстраполяций, показанных в скобках, поврежденных частей первого и четвертого столбцов, содержание которых предполагается, выделено курсивом, а шести предполагаемых ошибок, выделенных жирным шрифтом, вместе с обычно предлагаемыми исправлениями в квадратных скобках внизу, эти цифры являются

та килтум по диагонали из которого 1 вырван так, чтобы ширина увеличивается	ИБ.СИ 8 из ширина	ИБ.СИ 8 из диагональ	его линия
(1) 59 00 15	1 59	2 49	1-й
(1) 56 56 58 14 56 15 (1) 56 56 58 14 [50 06] 15	56 07	3 12 01 [1 20 25]	2-й
(1) 55 07 41 15 33 45	1 16 41	1 50 49	3-й
(1) 5 3 10 29 32 52 16	3 31 49	5 09 01	4-й
(1) 48 54 01 40	1 05	1 37	5 -й
(1) 47 06 41 40	5 19	8 01	6-е место
(1) 43 11 56 28 26 40	38 11	59 01	7-е место
(1) 41 33 59 03 45 (1) 41 33 [45 14] 03 45	13 19	20 49	8-е место
(1) 38 33 36 36	9 01 [8] 01	12 49	9-е
(1) 35 10 02 28 27 24 26 40	1 22 41	2 16 01	10-е место
(1) 33 45	45	1 15	11-е
(1) 29 21 54 02 15	27 59	48 49	12-е
(1) 27 00 03 45	7 12 01 [2 41]	4 49	13-е место
(1) 25 48 51 35 06 40	29 31	53 49	14-е
(1) 23 13 46 40	56 56 [28] (альт.)	53 [1 46] 53 (всего)	15- е

Показаны два возможных варианта исправления в строке 15: либо 53 в третьем столбце следует заменить на удвоенное значение, 1 46, либо 56 во втором столбце заменить на половину его значения, 28.

Возможно, в отломанной части планшета слева от этих столбцов присутствовали дополнительные столбцы. Вавилонская шестидесятеричная система счисления не указывала степень 60 при умножении каждого числа, что делает интерпретацию этих чисел неоднозначной. Числа во втором и третьем столбцах обычно считаются целыми числами. Числа в первом столбце можно понимать только как дроби, и все их значения лежат между 1 и 2 (при условии, что присутствует начальная 1 — они лежат между 0 и 1, если она отсутствует).

Эти дроби являются точными, а не усеченными или округленными приближениями. Десятичный перевод таблички при этих предположениях показан ниже. Большинство точных шестидесятеричных дробей в первом столбце не имеют конечных десятичных дробей и округлены до семи десятичных знаков.

$d^{2}/l^{2}$ или $s^{2}/l^{2}$	Короткая сторона $s$	Диагональ $d$	Ряд #
(1).9834028	119	169	1
(1).9491586	3,367	4,825	2
(1).9188021	4,601	6,649	3
(1).8862479	12,709	18,541	4
(1).8150077	65	97	5
(1).7851929	319	481	6
(1).7199837	2,291	3,541	7
(1).6927094	799	1,249	8
(1).6426694	481	769	9
(1).5861226	4,961	8,161	10
(1).5625	45 *	75 *	11
(1).4894168	1,679	2,929	12
(1).4500174	161	289	13
(1).4302388	1,771	3,229	14
(1).3871605	56 *	106 *	15

^* Как и раньше, альтернативная возможная поправка к строке 15 содержит 28 во втором столбце и 53 в третьем столбце. Записи во втором и третьем столбцах строки 11, в отличие от записей всех остальных строк, за исключением, возможно, строки 15, содержат общий множитель. Возможно, 45 и 1 15 следует понимать как 3/4 и 5/4, что соответствует стандартному (0,75,1,1,25) масштабированию знакомого (3,4,5) прямоугольного треугольника в вавилонской математике. .

В каждой строке число во втором столбце можно интерпретировать как меньшую сторону. $s$ прямоугольного треугольника, а число в третьем столбце можно интерпретировать как гипотенузу $d$треугольника. Во всех случаях длинная сторона $l$ также является целым числом, что делает $s$ и $d$два элемента пифагоровой тройки . Число в первом столбце — это дробь ${\textstyle s^{2}/l^{2}}$ (если цифра «1» не указана) или ${\textstyle {\tfrac {d^{2}}{l^{2}}}\,=\,1+{\tfrac {s^{2}}{l^{2}}}}$(если включена цифра «1»). В любом случае длинная сторона $l$является правильным числом , то есть целым делителем степени 60 или, что то же самое, произведением степеней 2, 3 и 5. Именно по этой причине числа в первом столбце точны, как деление целое число на обычное число дает конечное шестидесятеричное число. Например, строку 1 таблицы можно интерпретировать как описание треугольника с короткой стороной 119 и гипотенузой 169, подразумевая длинную сторону. ${\sqrt {169^{2}-119^{2}}}=120$, которое является регулярным числом (2 ³ ·3·5). Число в столбце 1 равно (169/120) ² или (119/120) ² .

Заголовки столбцов

Каждая колонка имеет заголовок, написанный на аккадском языке . Некоторые слова представляют собой шумерские логограммы , которые читатели могли бы понять как обозначающие аккадские слова. К ним относятся ÍB.SI ₈ для аккадского mithartum («квадрат»), MU.BI.IM для аккадского šumšu («его линия») и SAG для аккадского pūtum («ширина»). Каждому числу в четвертом столбце предшествует шумерограмма KI, которая, по мнению Нейгебауэра и Сакса (1945) , «придает им характер порядковых чисел». В приведенной выше шестидесятеричной таблице слова и части слов, выделенные курсивом, представляют собой части текста, которые невозможно прочитать из-за повреждения таблички или неразборчивости и которые были реконструированы современными учеными. Термины ÍB.SI ₈ и такилтум остались непереведенными, поскольку продолжаются споры об их точном значении.

Заголовки столбцов 2 и 3 можно перевести как «квадрат ширины» и «квадрат диагонали», но Робсон (2001) (стр. 173–174) утверждает, что термин ÍB.SI ₈ может относиться либо к площадь квадрата или сторона квадрата, и что в данном случае это следует понимать как «сторона квадрата» или, возможно, «квадратный корень». Точно так же Бриттон, Пруст и Шнайдер (2011) (стр. 526) отмечают, что этот термин часто появляется в задачах, где заполнение квадрата используется для решения того, что сейчас понимается как квадратные уравнения, и в этом контексте он относится к стороне завершенный квадрат, но он также может служить для обозначения того, «что имеется в виду линейный размер или сегмент линии». Neugebauer & Sachs (1945) (стр. 35, 39), с другой стороны, приводят примеры, когда этот термин относится к результатам широкого спектра различных математических операций, и предлагают перевод: «решающее число ширины (или диагонали) ).'» Точно так же Фриберг (1981) (стр. 300) предлагает перевод «корень».

В графе 1 повреждены первые части обеих строк заголовка. Нойгебауэр и Сакс (1945) реконструировали первое слово как takilti (форма takiltum ), прочтение, которое было принято большинством последующих исследователей. Заголовок обычно считался непереводимым, пока Робсон (2001) не предложил вставить цифру 1 в оборванную часть строки 2 и не сумел расшифровать неразборчивое последнее слово, получив прочтение, приведенное в таблице выше. На основе детального лингвистического анализа Робсон предлагает переводить такилтум как «держаться на равных».

Бриттон, Пруст и Шнайдер (2011) исследуют относительно небольшое количество известных случаев появления этого слова в древневавилонской математике. Хотя они отмечают, что почти во всех случаях он относится к линейному размеру вспомогательного квадрата, добавляемого к фигуре в процессе построения квадрата, и представляет собой величину, вычитаемую на последнем этапе решения квадратного уравнения, они соглашаются с Робсоном. что в данном случае это следует понимать как относящееся к площади квадрата. Фриберг (2007) , с другой стороны, предполагает, что в оборванной части заголовка такилтуму мог предшествовать а-ша («площадь»). В настоящее время широко распространено мнение, что заголовок описывает соотношение между квадратами по ширине (короткая сторона) и диагонали прямоугольника с длиной (длинная сторона) 1: вычитание («вырывание») площади 1 из квадрата на диагональных листах. площадь квадрата по ширине.

Ошибки

Как указано в таблице выше, большинство ученых считают, что таблица содержит шесть ошибок, и, за исключением двух возможных исправлений в строке 15, существует широко распространенное согласие относительно того, какими должны быть правильные значения. Меньше согласия относительно того, как возникли ошибки и что они означают в отношении метода вычислений планшета. Ниже приводится сводка ошибок.

Ошибки в строке 2, столбец 1 (пренебрежение пробелами между 50 и 6 для отсутствующих единиц и 10) и строке 9, столбец 2 (запись 9 вместо 8) повсеместно считаются незначительными ошибками при копировании с рабочего планшета (или, возможно, из более ранней копии таблицы). Ошибка в строке 8, столбце 1 (замена двух шестидесятеричных цифр 45 14 их суммой 59), похоже, не была замечена в некоторых ранних статьях, посвященных табличке. Иногда это рассматривалось (например, у Робсона (2001) ) как простая ошибка, допущенная писцом в процессе копирования с рабочего планшета.

Однако, как обсуждалось в Britton, Proust & Shnider (2011) , ряд ученых предположили, что эту ошибку гораздо более правдоподобно объяснить как ошибку в расчете, ведущем к числу, например, когда писец упускает из виду средний ноль ( пробел, обозначающий нулевую цифру) при выполнении умножения. Такое объяснение ошибки совместимо с обоими основными предложениями о методе построения таблицы. (См. ниже.)

Остальные три ошибки имеют значение для способа расчета таблички. Число 7 12 1 в строке 13, столбце 2 представляет собой квадрат правильного значения 2 41. Предполагая, что либо длины в столбце 2 были вычислены путем извлечения квадратного корня из площади соответствующего квадрата, либо что длина и площади были вычислены вместе, эту ошибку можно объяснить либо пренебрежением извлечением квадратного корня, либо копированием неправильного числа с рабочего планшета.

Если под ошибкой в ​​строке 15 понимать запись 56 вместо 28 в графе 2, то ошибку можно объяснить неправильным применением алгоритма замыкающей части, который необходим, если таблица вычислялась с помощью обратных пар. как описано ниже. Эта ошибка заключается в применении итеративной процедуры удаления регулярных множителей, общих для чисел в столбцах 2 и 3, неправильное количество раз в одном из столбцов.

Число в строке 2 столбца 3 не имеет очевидной связи с правильным числом, и все объяснения того, как это число было получено, постулируют множественные ошибки. Брюинз (1957) заметил, что 3 12 01 могло быть простой опечаткой 3 13. Если бы это было так, то объяснение неправильного числа 3 13 аналогично объяснению ошибки в строке 15.

Исключением из общего мнения является Фриберг (2007) , где, в отличие от более раннего анализа того же автора ( Фриберг (1981) ), выдвигается гипотеза, что числа в строке 15 не являются ошибочными, а были записаны как предполагалось, и что единственной ошибкой в ​​строке 2 и столбце 3 было неправильное написание 3 13 как 3 12 01. Согласно этой гипотезе, необходимо переинтерпретировать столбцы 2 и 3 как «ядра передней и диагональной части с уменьшенным коэффициентом». Ядро числа с уменьшенным коэффициентом - это число, из которого удалены правильные квадратичные множители; Вычисление ядра с уменьшенным коэффициентом было частью процесса вычисления квадратных корней в древневавилонской математике. По мнению Фриберга, «автор Plimpton 322 никогда не собирался сводить свою серию нормализованных диагональных троек (с длиной, равной 1 в каждой тройке) к соответствующей серии примитивных диагональных троек (с передней стороной, длиной и диагональ равна целым числам без общих делителей)».

Конструкция стола

Ученые до сих пор расходятся во мнениях относительно того, как были получены эти цифры. Бак (1980) и Робсон (2001) выделяют два основных предложения по методу построения таблицы: метод генерации пар, предложенный Neugebauer & Sachs (1945) , и метод обратных пар, предложенный Брюинсом. и развитый Войлсом, Шмидт (1980) и Фриберг.

Генерация пар

Используя современную терминологию, если p и q — натуральные числа такие, что p > q , то ( p ² − q ² , 2 шт , п ² + д ² ) образует пифагорову тройку. Тройка примитивна, то есть три стороны треугольника не имеют общего делителя, если p и q , взаимно просты а не оба нечетны. Нойгебауэр и Сакс предполагают, что табличка была создана путем выбора p и q как взаимно простых регулярных чисел (но оба могут быть нечетными — см. строку 15) и вычисления d = p. ² + д ² , s = п ² − q ² , и l = 2 pq (так что l тоже регулярное число).

Например, строка 1 будет создана, если установить p = 12 и q = 5. Бак и Робсон отмечают, что присутствие столбца 1 в этом предложении загадочно, поскольку оно не играет никакой роли в построении, и что предложение не объясните, почему строки таблицы упорядочены так, как есть, а не, скажем, по значению $p$ или $q$, которые, согласно этой гипотезе, могли быть указаны в столбцах слева в обломанной части таблички. Робсон также утверждает, что это предложение не объясняет, как могли возникнуть ошибки в таблице, и не соответствует математической культуре того времени.

Взаимные пары

В предложении обратных пар отправной точкой является одна правильная шестидесятеричная дробь x вместе с ее обратной величиной 1/ x . «Правильная шестидесятеричная дробь» означает, что x является произведением (возможно, отрицательных) степеней 2, 3 и 5. Тогда величины ( x −1/ x )/2, 1 и ( x +1/ x )/2 тогда образуют то, что сейчас назвали бы рациональной пифагоровой тройкой. Более того, все три стороны имеют конечные шестидесятеричные представления.

Сторонники этого предложения отмечают, что правильные обратные пары ( x ,1/ x ) появляются в другой задаче, возникшей примерно в то же время и в том же месте, что и Плимптон 322, а именно в задаче нахождения сторон прямоугольника площади 1, длинная сторона которого превышает свою короткую сторону на заданную длину c (которая в настоящее время может быть вычислена как решение квадратного уравнения ${\textstyle x-{\tfrac {1}{x}}=c}$). Робсон (2002) анализирует табличку YBC 6967, в которой такая задача решается путем вычисления последовательности промежуточных значений v ₁ = c /2, v ₂ = v _1. ² , v ₃ = 1 + v ₂ и v ₄ = v ₃ ^1/2 , из которого можно вычислить x = v ₄ + v ₁ и 1/ x = v ₄ − v ₁ .

Хотя необходимость вычислить квадратный корень из v ₃ , как правило, приводит к ответам, которые не имеют конечного шестидесятеричного представления, задача YBC 6967 была поставлена ​​(это означает, что значение c было выбрано подходящим образом) для получения хорошего ответа. Фактически, это является источником приведенного выше указания, что x является правильной шестидесятеричной дробью: выбор x таким образом гарантирует, что и x , и 1/ x имеют конечные шестидесятеричные представления. Чтобы спроектировать задачу с хорошим ответом, ставителю задачи нужно будет просто выбрать такой x и позволить исходному элементу c равняться x − 1/ x . В качестве побочного эффекта это дает рациональную пифагорову тройку с катетами v ₁ и 1 и гипотенузой v ₄ .

Следует отметить, что задача YBC 6967 фактически решает уравнение ${\textstyle x-{\tfrac {1\ 00}{x}}=x-{\tfrac {60}{x}}=c}$, что влечет за собой замену выражения для v ₃ выше на v ₃ = 60 + v ₂ . Таким образом, побочный эффект получения рациональной тройки теряется, поскольку стороны становятся v ₁ , ${\sqrt {60}}$, и v ₄ . В этом предложении следует предположить, что вавилонянам были знакомы оба варианта проблемы.

Робсон утверждает, что колонки Plimpton 322 можно интерпретировать как:

v ₃ = (( x + 1/ x )/2) ² = 1 + ( с /2) ² в первом столбце,

a · v ₁ = a ·( x − 1/ x )/2 для подходящего множителя a во втором столбце, и

a · v ₄ = a ·( x + 1/ x )/2 в третьем столбце.

В этой интерпретации x и 1/ x (или, возможно, v ₁ и v ₄ ) появились бы на табличке в обломанной части слева от первого столбца. Таким образом, наличие столбца 1 объясняется как промежуточный шаг в расчете, а порядок строк определяется по убыванию значений x (или v ₁ ). Множитель a , используемый для вычисления значений в столбцах 2 и 3, который можно рассматривать как изменение масштаба длин сторон, возникает в результате применения «алгоритма конечной части», в котором оба значения многократно умножаются на обратную величину любого обычный множитель, общий для последних шестидесятеричных цифр обоих, до тех пор, пока такого общего множителя не останется.

Как обсуждалось выше, все ошибки в таблице имеют естественные объяснения в предложении взаимной пары. С другой стороны, Робсон указывает, что роль столбцов 2 и 3 и необходимость множителя а остаются необъяснимыми этим предложением, и предполагает, что целью автора таблички было предоставить параметры не для квадратных задач типа, решаемых на YBC 6967, а скорее "для каких-то задач с прямоугольным треугольником". Она также отмечает, что метод, использованный для создания таблицы, и ее предназначение не обязательно должны совпадать.

Сильное дополнительное подтверждение идеи о том, что числа на табличке были сгенерированы с использованием взаимных пар, получено из двух табличек, MS 3052 и MS 3971, из коллекции Шойена . Йоран Фриберг перевел и проанализировал две таблички и обнаружил, что обе содержат примеры расчета диагонали и длин сторон прямоугольника с использованием взаимных пар в качестве отправной точки. Обе таблички — древневавилонские, примерно того же возраста, что и Плимптон 322, и обе, как полагают, происходят из Урука, недалеко от Ларсы.

Дальнейший анализ двух таблеток был проведен Бриттоном, Прустом и Шнайдером (2011) . MS 3971 содержит список из пяти задач, третья из которых начинается со слов «Чтобы вы увидели пять диагоналей» и заканчивается словами «пять диагоналей». Приведенные данные для каждой из пяти частей задачи состоят из обратной пары. Для каждой части вычисляются длины диагонали и ширины (короткой стороны) прямоугольника. Длина (длинная сторона) не указывается, но расчет подразумевает, что она принимается равной 1. В современных терминах расчет происходит следующим образом: по заданным x и 1/ x сначала вычисляется ( x +1/ x )/2, диагональ. Затем вычислите

${\sqrt {\left[{\frac {1}{2}}\left(x+{\frac {1}{x}}\right)\right]^{2}-1}},$

ширина. Из-за повреждения части планшета, содержащей первую из пяти частей, постановка задачи для этой части, кроме следов исходных данных, и решение утеряны. Остальные четыре части по большей части сохранились и содержат очень похожий текст. Причина, по которой диагональ была принята равной половине суммы обратной пары, в исходном тексте не указана. Вычисление ширины эквивалентно ( x −1/ x )/2, но этот более прямой метод вычисления не использовался, а правило, связывающее квадрат диагонали с суммой квадратов сторон, было использовано. предпочтительнее.

Текст второй задачи MS 3052 также сильно поврежден, но то, что осталось, структурировано аналогично пяти частям MS 3971, Задача 3. Задача содержит фигуру, которая, по мнению Фриберга, скорее всего, представляет собой «прямоугольник без любые диагонали». Бриттон, Пруст и Шнайдер (2011) подчеркивают, что сохранившиеся части текста явно указывают длину как 1 и явно вычисляют 1, которая вычитается из квадрата диагонали в процессе вычисления ширины как квадрата длины. . Исходные данные, а также рассчитанные ширина и диагональ для шести задач на двух планшетах приведены в таблице ниже.

Проблема	Икс	1/ х	ширина	длина	диагональ
МС 3052 § 2	2	1/2	3/4	1	5/4
MS 3971 § 3а	16/15(?)	15/16(?)	31/480(?)	1	481/480(?)
MS 3971 § 3б	5/3	3/5	8/15	1	17/15
MS 3971 § 3c	3/2	2/3	5/12	1	13/12
MS 3971 § 3д	4/3	3/4	7/24	1	25/24
MS 3971 § 3e	6/5	5/6	11/60	1	61/60

Параметры MS 3971 § 3а неопределенны из-за повреждения планшета. Параметры задачи из MS 3052 соответствуют масштабированию стандартного (3,4,5) прямоугольного треугольника, который появляется как строка 11 в Plimpton 322. Ни один из параметров в задачах из MS 3971 не соответствует ни одной из строк Plimpton 322. Как обсуждается ниже, все строки Plimpton 322 имеют x ≥9/5, тогда как все задачи в MS 3971 имеют x <9/5. Однако все параметры MS 3971 соответствуют строкам предложенного де Солла Прайсом расширения таблицы Plimpton 322, также обсуждаемого ниже.

Следует подчеркнуть, что роль обратной пары в задаче на YBC 6967 иная, чем на MS 3052 и MS 3971 (и, соответственно, на Plimpton 322). В задаче YBC 6967 членами обратной пары являются длины сторон прямоугольника площади 1. Геометрический смысл x и 1/ x не изложен в сохранившемся тексте задач на MS 3052 и MS. 3971. Судя по всему, целью было применить известную процедуру создания прямоугольников с конечной шестидесятеричной шириной и диагональю. Следует также отметить, что алгоритм конечной точки не использовался для изменения масштаба длин сторон в этих задачах.

Сравнение предложений

Величина x в предложении взаимной пары соответствует отношению p / q в предложении порождающей пары. Действительно, хотя эти два предложения различаются методом расчета, математическая разница между результатами невелика, поскольку оба дают одни и те же тройки, за исключением общего коэффициента 2 в случае, когда p и q оба нечетны. (К сожалению, единственное место, где это встречается в таблице, — это строка 15, которая содержит ошибку и поэтому не может быть использована для различения предложений.) Сторонники предложения взаимных пар расходятся во мнениях относительно того, было ли x вычислено на основе базового p. и q , но только с комбинациями p / q и q / p , используемыми в табличных вычислениях. или было ли x получено непосредственно из других источников, таких как обратные таблицы.

Одна из трудностей с последней гипотезой заключается в том, что некоторые из необходимых значений x или 1/ x представляют собой четырехзначные шестидесятеричные числа, а четырехзначные обратные таблицы неизвестны. Фактически, Нойгебауэр и Сакс отметили возможность использования взаимных пар в своей оригинальной работе и по этой причине отвергли ее. Робсон, однако, утверждает, что известные источники и вычислительные методы древневавилонского периода могут объяснить все используемые значения x .

Подбор пар

Нойгебауэр и Сакс отмечают, что размеры треугольника на табличке варьируются от размеров почти равнобедренного прямоугольного треугольника (с коротким отрезком 119, почти равным длинному отрезку 120) до размеров прямоугольного треугольника с острыми углами, близкими к 30° и 60°. °, и что угол уменьшается достаточно равномерно с шагом примерно 1°. Они предполагают, что пары p , q были выбраны намеренно с этой целью.

, работая в рамках модели порождающей пары, заметил Де Солла Прайс (1964) , что каждая строка таблицы генерируется q , удовлетворяющим условию 1 ≤ q <60, то есть q всегда является однозначным шестидесятеричным числом. число. Отношение p / q принимает наибольшее значение 12/5=2,4 в первой строке таблицы и поэтому всегда меньше ${\sqrt {2}}+1\approx 2.414$, условие, гарантирующее, что p ² − q ² — длинный катет, а 2 pq — короткий катет треугольника, что, выражаясь современным языком, означает, что угол, лежащий против катета длины p ² − q ² составляет менее 45°.

Наименьшее это соотношение в ряду 15, где p / q =9/5 для угла около 31,9°. Более того, существует ровно 15 правильных отношений между 9/5 и 12/5 включительно, для которых q представляет собой однозначное шестидесятеричное число, и они находятся во взаимно однозначном соответствии со строками таблички. Он также указывает, что равномерное расстояние между числами могло быть непреднамеренным: оно также могло возникнуть просто из-за плотности отношений регулярных чисел в диапазоне чисел, рассмотренных в таблице.

Де Солла Прайс утверждал, что естественная нижняя граница отношения будет равна 1, что соответствует углу 0 °. Он обнаружил, что, сохраняя требование, чтобы q было однозначным шестидесятеричным числом, в дополнение к тем, что представлены на табличке, существует 23 пары, всего 38 пар. Он отмечает, что вертикальная насечка между колонками на табличке была продолжена и на оборотной стороне, что позволяет предположить, что писец, возможно, намеревался расширить таблицу. Он утверждает, что на доступном пространстве можно разместить 23 дополнительных ряда. Сторонники предложения взаимной пары также поддерживают эту схему.

Робсон (2001) не рассматривает это предложение напрямую, но согласен с тем, что таблица не была «полной». Она отмечает, что в предложении обратных пар каждый x , представленный в таблице, представляет собой не более четырехзначного шестидесятеричного числа с не более чем четырехзначным обратным числом, и что общее количество мест в x и 1/ x вместе никогда не равно более 7. Если эти свойства принять в качестве требований, то в таблице «отсутствуют» ровно три значения x , которые, как она утверждает, могли быть опущены, поскольку они непривлекательны по разным причинам. Она признает "шокирующе ad hoc " характер этой схемы, которая служит главным образом риторическим приемом для критики всех попыток угадать критерии отбора автора таблички.

Цель и авторство

Отто Э. Нойгебауэр ( 1957 ) выступал за теоретико-числовую интерпретацию, но также считал, что записи в таблице были результатом преднамеренного процесса отбора, направленного на достижение довольно регулярного уменьшения значений в столбце 1 в некоторых заданных пределах.

Бак (1980) и Робсон (2002) упоминают о существовании тригонометрического объяснения, которое Робсон приписывает авторам различных всеобщих исторических работ и неопубликованных работ, но которое может быть выведено из наблюдения Neugebauer & Sachs (1945), что значения первый столбец можно интерпретировать как квадрат секущего или тангенса (в зависимости от пропущенной цифры) угла, противоположного короткой стороне прямоугольного треугольника, описываемого каждой строкой, и строки сортируются по этим углам с шагом примерно в один градус.

Другими словами, если вы возьмете число в первом столбце, не считая (1), и получите из него квадратный корень, а затем разделите его на число во втором столбце, результатом будет длина длинной стороны треугольника. . Следовательно, квадратный корень из числа (минус единица) в первом столбце — это то, что мы сегодня назвали бы тангенсом угла , противоположного короткой стороне. Если (1) включено, квадратный корень из этого числа является секущим .

В отличие от этих более ранних объяснений таблички, Робсон (2002) утверждает, что исторические, культурные и лингвистические данные показывают, что табличка, скорее всего, была составлена ​​из «списка регулярных взаимных пар ». Робсон на лингвистических основаниях утверждает, что тригонометрическая теория «концептуально анахронична»: она зависит от слишком многих других идей, отсутствующих в записях вавилонской математики того времени. В 2003 году MAA наградило Робсон премией Лестера Р. Форда за ее работу, заявив, что «маловероятно, что автор Plimpton 322 был профессиональным математиком или математиком-любителем. Скорее всего, он был учителем, а Plimpton 322 — математиком». комплекс упражнений». Робсон придерживается подхода, который в современных терминах можно было бы охарактеризовать как алгебраический , хотя она описывает его в конкретных геометрических терминах и утверждает, что вавилоняне также интерпретировали бы этот подход геометрически.

Таким образом, табличку можно интерпретировать как последовательность отработанных упражнений. В нем используются математические методы, типичные для школ писцов того времени, и он написан в формате документа, используемом администраторами того периода. Поэтому Робсон утверждает, что автором, вероятно, был писец, бюрократ из Ларсы. Повторяющаяся математическая настройка планшета и подобных планшетов, таких как BM 80209, была бы полезна, поскольку позволила бы учителю ставить задачи в том же формате, что и другие, но с разными данными.

См. также

• IM67118
• Московский математический папирус
• Математический папирус Ринда
• YBC 7289

Ссылки

• Бриттон, Джон П.; Пруст, Кристина ; Шнайдер, Стив (2011), «Плимптон 322: обзор и другая точка зрения», Архив истории точных наук , 65 (5): 519–566, doi : 10.1007/s00407-011-0083-4 , S2CID   120417550
• Брюинз, Эверт М. (1949), «О Плимптоне 322, числа Пифагора в вавилонской математике», Труды Королевской Нидерландской академии искусств и наук , 52 : 629–632.
• Брюинз, Эверт М. (1951), «Пифагорейские триады в вавилонской математике: ошибки в Плимптоне 322», Шумер , 11 : 117–121.
• Брюинз, Э.М. (1957), «Пифагорейские триады в вавилонской математике», The Mathematical Gazette , 41 (335): 25–28, doi : 10.2307/3611533 , JSTOR   3611533 , S2CID   126382606
• Бак, Р. Крейтон (1980), «Шерлок Холмс в Вавилоне» (PDF) , American Mathematical Monthly , 87 (5), Математическая ассоциация Америки: 335–345, doi : 10.2307/2321200 , JSTOR   2321200
• Конвей, Джон Х .; Гай, Ричард К. (1996), Книга чисел , Коперник, стр. 172–176, ISBN  0-387-97993-Х
• Фриберг, Йоран (1981), «Методы и традиции вавилонской математики: Плимптон 322. Пифагоровы тройки и уравнения параметров вавилонского треугольника», Historia Mathematica , 8 : 277–318, doi : 10.1016/0315-0860(81)90069-0
• Фриберг, Йоран (2007), Замечательное собрание вавилонских математических текстов: рукописи в коллекции Шойена, Клинописные тексты I , Источники и исследования по истории математики и физических наук, Берлин: Springer
• Нойгебауэр, Отто (1957), «Точные науки в древности» , Исторический журнал естественных и медицинских наук , 9 , Дуврские публикации: 36–40, ISBN  978-0-486-22332-2 , PMID   14884919
• Нойгебауэр, О. ; Сакс, AJ (1945), Математические клинописные тексты , Американская восточная серия, том. 29, Нью-Хейвен: Американское восточное общество и американские школы восточных исследований, стр. 38–41.
• Робсон, Элеонора (август 2001 г.), «Ни Шерлок Холмс, ни Вавилон: переоценка Плимптона 322» , Historia Math. , 28 (3): 167–206, doi : 10.1006/хмат.2001.2317 , МР   1849797
• Робсон, Элеонора (февраль 2002 г.), «Слова и изображения: новый свет на Плимптон 322» (PDF) , American Mathematical Monthly , 109 (2), Mathematical Association of America: 105–120, doi : 10.2307/2695324 , JSTOR   2695324 , МР   1903149
• де Солла Прайс, Дерек Дж. (сентябрь 1964 г.), «Вавилонская табличка «Пифагорейский треугольник», Centaurus , 10 (1): 1–13, Бибкод : 1964Cent...10....1D , doi : 10.1111/ j.1600-0498.1964.tb00385.x , МР   0172779
• Шмидт, Олаф (1980), «О Плимптоне 322. Пифагоровы числа в вавилонской математике», Centaurus , 24 (1): 4–13, Бибкод : 1980Cent...24....4S , doi : 10.1111/j.1600 -0498.1980.tb00363.x

Дальнейшее чтение

• Абдулазиз, Абдулрахман Али (2010), Табличка Plimpton 322 и вавилонский метод создания троек Пифагора , arXiv : 1004.0025 , Bibcode : 2010arXiv1004.0025A
• Кассельман, Билл (2003), Вавилонская табличка Plimpton 322 , Университет Британской Колумбии
• Кирби, Лоуренс (2011), Плимптон 322: Древние корни современной математики (получасовой документальный видеофильм) , Колледж Баруха , Городской университет Нью-Йорка
• [1] Йенс Клеб, «270 действительных троек ниже, между и над строками 1–15 из Plimpton 322», CDLN 2023:5, Примечания цифровой библиотеки клинописи, 22 февраля 2023 г. ISSN: 1546-6566

Выставки

• «До Пифагора: культура древневавилонской математики» , Институт изучения древнего мира , Нью-Йоркский университет , 12 ноября — 17 декабря 2010 г. Включает фото и описание Plimpton 322 ).
• Ротштейн, Эдвард (27 ноября 2010 г.). «Мастера математики из Старого Вавилона» . Газета "Нью-Йорк Таймс . Проверено 28 ноября 2010 г. . Обзор выставки «До Пифагора», в которой упоминается разногласия по поводу Plimpton 322.
• «Драгоценности в ее короне: сокровища из особых коллекций библиотек Колумбии» , Библиотека редких книг и рукописей, Колумбийский университет , 8 октября 2004 г. - 28 января 2005 г. Фотография и описание предмета 158: Plimpton Cuneiform 322.

Внешние ссылки

• Каталог Cuneiform Digital Library Initiative (CDLI), включая высококачественные цифровые изображения:
  • Plimpton 322 , вики-статья CDLI
  • YBC 6967
  • МС 3052
  • МС 3971