IM67118

IM67118
Табличка глиняная, IM 67118, математическая, геометро-алгебраическая, подобная теореме Пифагора. Из Телль-ад-Даббаи, Ирак. 2003–1595 гг. до н.э. Музей Ирака
Высота	11,5 см
Ширина	6,8 см
Созданный	в. 1770 г. до н.э.
Обнаруженный	1962 Багдад , провинция Багдад , Ирак
Текущее местоположение	Багдад , провинция Багдад , Ирак
Язык	аккадский

IM 67118 , также известная как Db _2-146 , , представляет собой древневавилонскую глиняную табличку из коллекции Музея Ирака которая содержит решение задачи плоской геометрии относительно прямоугольника с заданной площадью и диагональю. В последней части текста правильность решения доказывается с помощью теоремы Пифагора . Считается, что этапы решения представляют собой геометрические операции вырезания и вставки, включающие диаграмму, из которой, как предполагалось, древние месопотамцы могли в более раннее время вывести теорему Пифагора.

Описание

Табличка была раскопана в 1962 году в Телль-эд-Дхибаи , древневавилонском поселении недалеко от современного Багдада, которое когда-то было частью королевства Эшнунна , и была опубликована Таха Бакиром в том же году. Оно датируется примерно 1770 годом до нашей эры (по средней хронологии ), во время правления Ибал-пи-эля II , который правил Эшнунной в то же время, когда Хаммурапи правил Вавилоном . Размеры планшета 11,5×6,8×3,3 см (4½ x 2¾ x 1¼ дюйма). Его язык — аккадский , написанный клинописью . На лицевой стороне планшета 19 строк текста, на оборотной — шесть. На реверсе также находится диаграмма, состоящая из прямоугольника задачи и одной из ее диагоналей. Вдоль этой диагонали записана ее длина в шестидесятеричной системе счисления; площадь прямоугольника записывается в треугольной области ниже диагонали.

Проблема и ее решение

Табличка глиняная IM 67118, реверс

Выражаясь современным математическим языком, задача, поставленная на планшете, такова: прямоугольник имеет площадь А = 0,75 и диагональ с = 1,25. Каковы длины a и b сторон прямоугольника?

Решение можно понимать как протекающее в два этапа: на этапе 1 количество ${\sqrt {c^{2}-2A}}$ рассчитано как 0,25. На этапе 2 хорошо зарекомендовавший себя древневавилонский метод заполнения квадрата используется для решения того, что фактически представляет собой систему уравнений b - a = 0,25, ab = 0,75. Геометрически это проблема вычисления длин сторон прямоугольника, площадь которого A и разность длин сторон b - a известны, что было повторяющейся проблемой в древневавилонской математике. В этом случае оказывается, что b = 1 и a = 0,75. Метод решения предполагает, что тот, кто придумал решение, использовал свойство c ² − 2 А = с ² - 2 аб знак равно ( б - а ) ² . Однако следует подчеркнуть, что о современных обозначениях уравнений и о практике обозначения параметров и неизвестных буквами в древние времена ничего не слышно. В настоящее время в результате Йенсом Хойрупом обширного анализа словаря древневавилонской математики, проведенного , широко признано, что в основе процедур в таких текстах, как IM 67118, лежал набор стандартных геометрических операций вырезания и вставки, а не символическая алгебра. .

Возможная геометрическая основа решения IM 67118. Сплошные линии на рисунке показывают стадию 1; пунктирные линии и штриховка показывают этап 2. Центральный квадрат имеет сторону b − a . Светло-серая область — это гномон области A = ab . Темно-серый квадрат (со стороной ( b − a )/2) дополняет гномон до квадрата со стороной ( b + a )/2. Прибавление ( b − a )/2 к горизонтальному размеру завершенного квадрата и вычитание его из вертикального размера дает желаемый прямоугольник.

Из словаря решения Хойруп заключает, что c ² Под квадратом диагонали следует понимать геометрический квадрат, от которого нужно «отрезать», то есть удалить, оставить квадрат со стороной b − a . Хойруп предполагает, что квадрат по диагонали, возможно, был сформирован путем создания четырех копий прямоугольника, каждая из которых была повернута на 90 °, и что площадь 2 A была площадью четырех прямоугольных треугольников, содержащихся в квадрате по диагонали. Остаток — это маленький квадрат в центре фигуры.

Геометрическая процедура вычисления длин сторон прямоугольника заданной площади A и разности длин сторон b − a заключалась в преобразовании прямоугольника в гномон площади A путём отрезания прямоугольного куска размеров a × ½( b − а ) и приклеиваем этот кусок на сторону прямоугольника. Затем гномон превратили в квадрат, добавив к нему меньший квадрат со стороной ½( b − a ). В этой задаче сторона завершенного квадрата вычисляется как ${\sqrt {A+{\tfrac {1}{4}}(b-a)^{2}}}={\sqrt {0.75+0.015625}}=0.875$. Затем величина ½( b − a )=0,125 прибавляется к горизонтальной стороне квадрата и вычитается из вертикальной стороны. Полученные отрезки линий являются сторонами искомого прямоугольника.

Одна из трудностей при восстановлении древневавилонских геометрических диаграмм заключается в том, что известные таблички никогда не включают диаграммы в решения - даже в геометрические решения, где явные конструкции описаны в тексте, - хотя диаграммы часто включаются в формулировки задач. Хойруп утверждает, что геометрия вырезания и вставки выполнялась не на глине, а на каком-то другом носителе, возможно, на песке или на «пылевых счетах», по крайней мере, на ранних стадиях обучения писца, до того, как умственные способности к геометрическим расчетам были развиты. развитый.

Фриберг действительно описывает некоторые таблички, содержащие рисунки «фигур внутри фигур», в том числе MS 2192, в которых полоса, разделяющая два концентрических равносторонних треугольника, разделена на три трапеции. Он пишет: « вычисления площади треугольной полосы как площади цепочки трапеций представляет собой вариацию идеи вычисления площади квадратной полосы как площади цепочки из четырех прямоугольников. Идея идея, и вполне вероятно, что она была известна древневавилонским математикам, хотя до сих пор не обнаружено ни одного клинописного математического текста, в котором эта идея в явном виде фигурирует». Он утверждает, что эта идея заложена в тексте IM 67118. Он также предлагает провести сравнение со схемой YBC 7329, на которой показаны два концентрических квадрата. Полоса, разделяющая квадраты, на этой табличке не разделена на четыре прямоугольника, но рядом с рисунком фигурирует числовое значение площади одного из прямоугольников.

Проверка решения

Правильность решения b = 1, a = 0,75 доказывается вычислением площадей квадратов с соответствующими длинами сторон, сложением этих площадей и вычислением длины стороны квадрата с полученной площадью, т. е. взятием квадрата корень. Это применение теоремы Пифагора. $c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$, и результат согласуется с заданным значением c = 1,25. То, что площадь также верна, подтверждается вычислением произведения ab .

Перевод

Следующий перевод сделан Бриттоном, Прустом и Шнайдером и основан на переводе Хойрупа: который, в свою очередь, основан на ручной копии и транслитерации Бакира, с небольшими исправлениями. Вавилонские шестидесятеричные числа переводятся в десятичную систему счисления, где цифры по основанию 60 разделены запятыми. Следовательно, 1,15 означает 1 + 15/60 = 5/4 = 1,25. Обратите внимание, что в вавилонской системе не было «шестидесятеричной точки», поэтому общую мощность умножения числа 60 нужно было выводить из контекста. Перевод является «конформным», который, как описала Элеонора Робсон , «включает последовательный перевод вавилонских технических терминов с существующими английскими словами или неологизмами, которые максимально точно соответствуют исходным значениям»; он также сохраняет аккадский порядок слов. Древневавилонская математика использовала разные слова для умножения в зависимости от основного геометрического контекста, а также для других арифметических операций.

Лицевой

1. Если о (прямоугольнике с) диагональю (кто-то) спросит вас
2. таким образом, 1,15 диагональ, 45 поверхность;
3. длина и ширина соответствуют чему? Вы, своим поступком,
4. 1,15, ваша диагональ, ее аналог сложите:
5. заставьте их держаться: выпадет 1,33,45,
6. 1,33,45 может (?) твою (?) руку держать (?)
7. 45 вашей поверхности на двоих подведите: вылезет 1,30.
8. От 1,33,45 отрезано: 3,45 остаток.
9. Равная сторона 3,45: выпадает 15. Его половинка,
10. Выпадает 7,30, поднимаем до 7,30: выпадает 56,15
11. 56,15 ваша рука. 45 твоя поверхность над твоей рукой,
12. Выходит 45,56,15. Равную сторону 45,56,15 возьмем:
13. 52,30 поднимается, 52,30 его аналог ложится,
14. 7,30, который ты взял за один
15. добавить: из одного
16. отрезать. 1 ваша длина, 45 ширина. Если 1 длина,
17. 45 ширина, поверхность и диагональ соответствуют чему?
18. (Вы по вашему) делаете, длина держится:
19. (1 подходит...) пусть твоя голова держится.

Обеспечить регресс

20. [...]: 45, ширина, удерживайте:
21. Выходит 33,45. К вашей длине добавьте:
22. Выпадает 1,33,45. Равную сторону 1,33,45 возьмем:
23. Выходит 1,15. 1,15 вашей диагонали. Ваша длина
24. на ширину поднимите, 45 ваша поверхность.
25. Итак, процедура.

Постановка задачи приведена в строках 1–3, 1 этап решения – в строках 3–9, 2 этап решения – в строках 9–16, проверка решения – в строках 16–24. Обратите внимание, что «1,15 вашей диагонали, ее аналог сложить: заставить их держаться» означает сформировать квадрат путем укладки перпендикулярных копий диагонали, «равная сторона» - это сторона квадрата или квадратный корень из его площади. «Пусть твоя голова держит» означает «помнить», а «твоя рука» может относиться к «планшету или устройству для вычислений».

Связь с другими текстами

Задача 2 на планшете MS 3971 из коллекции Schøyen , опубликованной Фрибергом, идентична задаче на IM 67118. Решение очень похоже, но осуществляется добавлением 2 A к c. ² , а не вычитать его. Сторона полученного квадрата в данном случае равна b + a = 1,75. Система уравнений b + a =1,75, ab =0,75 снова решается путем заполнения квадрата. MS 3971 не содержит диаграммы и не выполняет этап проверки. Его язык «краток» и использует множество шумерских логограмм по сравнению с «многословным» IM 67118, написанным на слоговом аккадском языке. Фриберг полагает, что этот текст пришел из Урука на юге Ирака и датирует его 1795 годом до нашей эры.

Фриберг указывает на аналогичную проблему в египетском демотическом папирусе III века до нашей эры, P. Cairo , задачи 34 и 35, опубликованном Паркером в 1972 году. Фриберг также видит возможную связь с объяснением А. А. Ваймана записи в древневавилонской таблице констант TMS 3, которая гласит: «57 36, константа шара». Вайман отмечает, что клинописный знак шара напоминает цепочку из четырех прямоугольных треугольников, расположенных в виде квадрата, как на предложенном рисунке. Площадь такой цепочки равна 24/25 (равна 57 36 в шестидесятеричной системе счисления), если предположить 3-4-5 прямоугольных треугольников с гипотенузой, нормированной на длину 1. Хёйруп пишет, что проблема IM 67118 «встречается, решенная точно таким же образом, в руководстве на иврите от 1116 г. н. э.».

Значение

Хотя задача IM 67118 касается конкретного прямоугольника, стороны и диагональ которого образуют масштабированную версию прямоугольного треугольника 3-4-5, язык решения является общим, обычно с указанием функциональной роли каждого числа в том виде, в котором оно есть. использовал. В дальнейшей части текста местами просматривается абстрактная формулировка, не имеющая привязки к конкретным значениям («длину удержать», «Вашу длину к ширине поднять»). Хойруп видит в этом «безошибочный след «правила Пифагора» в абстрактной формулировке».

Способ открытия правила Пифагора неизвестен, но некоторые ученые видят возможный путь в методе решения, использованном в IM 67118. Наблюдение о том, что вычитание 2 А из c ² дает ( б - а ) ² необходимо лишь дополнить геометрической перестановкой областей, соответствующих ² , б ² и -2 A = -2 ab , чтобы получить доказательство правила с перестановкой, которое хорошо известно в наше время и которое также предлагается в третьем веке нашей эры в комментарии Чжао Шуана к древнему китайскому Чжоуби Суаньцзин ( Гномон Чжоу ). Формулировка решения в MS 3971, задача 2, не имеющая вычитаемых площадей, обеспечивает, возможно, еще более простой вывод.

Хойруп выдвигает гипотезу, частично основанную на сходстве текстовых задач, возникающих в широком диапазоне времени и мест, а также на языке и числовом содержании таких задач, что большая часть древневавилонского математического материала писцов была импортирована из практической геодезической традиции. , где решение задач-загадок использовалось как знак профессионального мастерства. Хойруп считает, что эта геодезическая культура пережила упадок старовавилонской культуры писцов, последовавший за хеттским завоеванием Месопотамии в начале 16 века до нашей эры, и что она повлияла на математику Древней Греции, Вавилона в период Селевкидов, Исламской империи, и средневековой Европы. Среди задач, которые Хойруп приписывает этой практической землемерной традиции, есть несколько задач о прямоугольнике, требующих завершения квадрата, включая задачу IM 67118. На основании того, что никаких упоминаний о правиле Пифагора в третьем тысячелетии до нашей эры не известно и что формулировка IM 67118 уже адаптирована к культуре писцов, Хойруп пишет: « Если судить только по этим свидетельствам, то вполне вероятно, что правило Пифагора был обнаружен среди непрофессионалов-геодезистов, возможно, как побочный результат проблемы, рассмотренной в Db _2-146 , где-то между 2300 и 1825 годами до нашей эры». Таким образом, правило, названное в честь Пифагора , который родился около 570 г. до н. э. и умер около 495 г. до н. э., Показано, что он был обнаружен примерно за 12 веков до его рождения.

См. также

• Плимптон 322
• YBC 7289

Ссылки

• Бакир, Таха (1962). «Скажи Дибаи: Новые математические тексты». Шумер . 18 : 11–14, пл. 1–3.
• Бакир, Таха (2019). «Р254557» . Инициатива по цифровой библиотеке клинописи . Проверено 6 августа 2019 г.
• Бриттон, Джон П.; Пруст, Кристина ; Шнайдер, Стив (2011). «Плимптон 322: обзор и другая точка зрения». Архив истории точных наук . 65 (5): 519–566. дои : 10.1007/s00407-011-0083-4 . S2CID   120417550 .
• Фриберг, Йоран (2007), Замечательная коллекция вавилонских математических текстов: рукописи в коллекции Шойена, Клинописные тексты I , Источники и исследования по истории математики и физических наук, Берлин: Springer, ISBN  978-0-387-48977-3
• Гатри, Уильям Кейт Чемберс (1978). История греческой философии, Том 1: Ранние досократики и пифагорейцы . Издательство Кембриджского университета. п. 173. ИСБН  978-0-521-29420-1 . Даты жизни [Пифагора] точно установить невозможно, но, допуская приблизительную правильность утверждения Аристоксена (ап. Порф. VP 9) о том, что он покинул Самос, спасаясь от тирании Поликрата, в возрасте сорока лет, мы можем положить его рождение около 570 г. до н.э., или несколькими годами ранее. Продолжительность его жизни в древности оценивалась по-разному, но все согласны с тем, что он дожил до довольно глубокой старости и, скорее всего, умер примерно в семьдесят пять или восемьдесят лет.
• Хойруп, Йенс (1990). «Алгебра и наивная геометрия: исследование некоторых основных аспектов древневавилонской математической мысли II». Altorientalische Forschungen . 17 (1–2): 262–354. дои : 10.1524/aofo.1990.17.12.262 . S2CID   201669080 .
• Хойруп, Йенс (1998). «Пифагорейское «Правило» и «Теорема» - зеркало связи между вавилонской и греческой математикой». В Ренгере, Йоханнес (ред.). Вавилон: фокус истории Месопотамии, колыбель ранней науки, миф в наше время. 2-й международный коллоквиум Немецкого восточного общества 24-26. Март 1998 г. в Берлине (PDF) . Берлин: Немецкое общество Востока / Саарбрюккен: Типография и издательство SDV Saarbrücker. стр. 393–407.
• Хойруп, Йенс (2002). Длины, ширины и поверхности. Портрет старой вавилонской алгебры и ей подобных . Источники и исследования по истории математики и физических наук. Спрингер. дои : 10.1007/978-1-4757-3685-4 . ISBN  978-1-4419-2945-7 .
• Хойруп, Йенс (2016). «Селевкидская, демотическая и средиземноморская математика в сравнении с главами VIII и IX из девяти глав : случайные или значительные сходства?» (PDF) . Исследования по истории естественных наук . 35 (4): 463–476.
• Хойруп, Йенс (2017). Алгебра клинописью: введение в древневавилонскую геометрическую технику . Издание открытого доступа. ISBN  978-3-945561-15-7 .
• Исмаэль, Халид Салим; Робсон, Элеонора (2010). «Арифметические таблички из иракских раскопок в Дияле». В Бейкере, HD; Робсон, Э.; Золёми, Г.Г. (ред.). Ваша похвала сладка: мемориальный том Джереми Блэка от студентов, коллег и друзей . Лондон: Британский институт изучения Ирака. стр. 151–164. ISBN  978-0-903472-28-9 .
• Робсон, Элеонора (22 мая 2002 г.). «Обзор MAA: длины, ширины, поверхности: портрет старой вавилонской алгебры и ее родственников » . Математическая ассоциация Америки.
• Верр, Ламия Аль-Гайлани (2005). «Глава 1: Рождение музея». В Полке, Милбри; Шустер, Анджела М.Х. (ред.). Разграбление Иракского музея в Багдаде: утраченное наследие древней Месопотамии . Нью-Йорк: Гарри Н. Абрамс. стр. 27–33 . ISBN  9780810958722 .

Внешние ссылки

• В каталоге Cuneiform Digital Library Initiative (CDLI) есть записи для планшетов, обсуждаемых в этой статье:
  • Запись IM 67118 включает копию планшета, сделанную Таха Бакиром, и фотографии планшета.
  • МС 3179
  • МС 2192
• MS 2192 из коллекции Шойена.
• YBC 7359 из Йельской вавилонской коллекции .
• Lion de Tell Harmal (IM 52560), дебют IIe millénaire , содержащий фотографию обратной стороны таблички и фотографии артефактов из близлежащих мест.