Математический папирус Ринда

Математический папирус Ринда
Британский музей , Лондон
Часть папируса Ринда
Дата	Второй промежуточный период Египта
Место происхождения	Фивы
Язык(и)	Египетский ( Иератический )
Размер	Первый раздел ( BM 10057 ): · Длина: 295,5 см (116,3 дюйма) · Ширина: 32 см (13 дюймов) Второй раздел ( BM 10058 ): · Длина: 199,5 см (78,5 дюйма) · Ширина: 32 см (13 дюймов)

( Математический папирус Ринда RMP ; также обозначаемый как папирус Британского музея 10057 и pBM 10058) является одним из самых известных примеров древнеегипетской математики . Он назван в честь Александра Генри Райнда , шотландского антиквара, который приобрел папирус в 1858 году в Луксоре, Египет ; очевидно, он был найден во время незаконных раскопок в Рамессеуме или рядом с ним . Оно датируется примерно 1550 годом до нашей эры. Британский музей, где сейчас хранится большая часть папируса, приобрел его в 1865 году вместе с Египетским математическим кожаным свитком , также принадлежавшим Генри Райну. Несколько небольших фрагментов хранятся в Бруклинском музее в Нью-Йорке. отсутствует центральная часть шириной 18 см (7,1 дюйма). Это один из двух известных математических папирусов наряду с Московским математическим папирусом . Папирус Ринда крупнее Московского математического папируса, а последний старше.

Математический папирус Ринда датируется вторым промежуточным Египта периодом . Он был скопирован писцом Ахмесом (т. е. Яхмосом; Ахмес — более старая транскрипция , предпочитаемая историками математики) из ныне утерянного текста времен правления царя Аменемхета III ( 12-я династия ). Написанная иератическим письмом, эта египетская рукопись имеет высоту 33 см (13 дюймов) и состоит из нескольких частей, общая длина которой составляет более 5 м (16 футов). Папирус начали транслитерировать и математически переводить в конце 19 века. Аспект математического перевода остается незавершенным в нескольких отношениях. Документ датирован 33-м годом правления гиксосского царя Апофиса , а также содержит отдельную более позднюю историческую заметку на его оборотной стороне , вероятно, датируемую периодом («11-м годом») его преемника Хамуди .

В первых абзацах папируса Ахмес представляет папирус как дающий «точный расчет для исследования вещей и знание всех вещей, тайн ... всех тайн». Он продолжает:

Эта книга была скопирована в 33-й год правления, 4-й месяц Ахета , при величии царя Верхнего и Нижнего Египта Авсерра, обретшего жизнь, с древней копии, сделанной во времена царя Верхнего и Нижнего Египта Нимаатра. Эту копию пишет писец Яхмос.

Было опубликовано несколько книг и статей о Математическом папирусе Ринда, и некоторые из них выделяются среди других. Папирус Ринда был опубликован в 1923 году Питом и содержит обсуждение текста, который следовал плану Книг I, II и III Гриффита. Чейс опубликовал сборник в 1927–29 годах, который включал фотографии текста. Более поздний обзор папируса Ринда был опубликован в 1987 году Робинсом и Шутом.

Книга I – Арифметика и алгебра

Основные статьи: Таблица Rhind Mathematical Papyrus 2/n и египетская дробь

Первая часть папируса Ринда состоит из справочных таблиц и сборника из 21 арифметической и 20 алгебраических задач. Задачи начинаются с простых дробных выражений, за которыми следуют задачи завершения ( секем ) и более сложные линейные уравнения ( ага- задачи ).

Первую часть папируса занимает 2/ n таблица . Дроби 2/ n для нечетных n в диапазоне от 3 до 101 выражаются как суммы единичных дробей . Например, $2/15=1/10+1/30$. Разложение 2/ n на единичные дроби никогда не превышает 4 членов по длине, как, например, в $2/101=1/101+1/202+1/303+1/606$.

За этой таблицей следует гораздо меньшая, крошечная таблица дробных выражений для чисел от 1 до 9, разделенных на 10. Например, деление 7 на 10 записывается как:

7 разделить на 10 дает 2/3 + 1/30.

После этих двух таблиц в папирусе записана всего 91 задача, которые современники обозначили как задачи (или номера) 1–87, включая четыре других вопроса, которые были обозначены как задачи 7B, 59B, 61B и 82B. Задачи 1–7, 7Б и 8–40 связаны с арифметикой и элементарной алгеброй.

Задачи 1–6 вычисляют разделение определенного количества буханок хлеба на 10 человек и записывают результат в долях единицы. Задачи 7–20 показывают, как умножать выражения 1 + 1/2 + 1/4 = 7/4 и 1 + 2/3 + 1/3 = 2 на разные дроби. Задачи 21–23 — это задачи на завершение, которые в современных обозначениях представляют собой просто задачи на вычитание. Задачи 24–34 — это задачи «ага»; это линейные уравнения . Например, задача 32 соответствует (в современных обозначениях) решению x + 1/3 x + 1/4 x = 2 для x. Задачи 35–38 связаны с делением хеката — древнеегипетской единицы объема. Начиная с этого момента, различные единицы измерения становятся гораздо более важными на протяжении всей оставшейся части папируса, и действительно, основным соображением на протяжении всей остальной части папируса является размерный анализ . В задачах 39 и 40 вычисляется деление буханок и используются арифметические прогрессии .

Книга II – Геометрия

Часть папируса Ринда

Вторая часть папируса Ринда, задачи 41–59, 59B и 60, состоит из задач по геометрии . Пит назвал эти проблемы «проблемами измерения».

Тома

Задачи 41–46 показывают, как найти объем как цилиндрического, так и прямоугольного зернохранилища. В задаче 41 Ахмес вычисляет объём цилиндрического зернохранилища. Учитывая диаметр d и высоту h, объем V определяется по формуле:

$V=\left[\right(1-1/9\left)d\right]^{2}h$

В современных математических обозначениях (и использовании d = 2r) это дает $V=(8/9)^{2}d^{2}h=(256/81)r^{2}h$. Дробный член 256/81 приближает значение π к 3,1605..., ошибка менее одного процента.

Задача 47 представляет собой таблицу с дробными равенствами, которые представляют десять ситуаций, когда количество физического объема «100 четверных гекатов» делится на каждое из кратных десяти, от десяти до ста. Частные выражаются в долях глаза Гора , иногда также с использованием гораздо меньшей единицы объема, известной как «четверное ро». Четверной гекат и четверной ро — это единицы объема, производные от более простых гекат и ро, так что эти четыре единицы объема удовлетворяют следующим соотношениям: 1 четверной гекат = 4 гекат = 1280 ро = 320 четверной ро. Таким образом,

100/10 четверных гекатов = 10 четверных гекатов

100/20 четверного геката = 5 четверного геката

100/30 четверной гекат = (3 + 1/4 + 1/16 + 1/64) четверной гекат + (1 + 2/3) четверной ро

100/40 четверной гекат = (2 + 1/2) четверной гекат

100/50 четверной гекат = 2 четверной гекат

100/60 четверной гекат = (1 + 1/2 + 1/8 + 1/32) четверной гекат + (3 + 1/3) четверной ро

100/70 четверной гекат = (1 + 1/4 + 1/8 + 1/32 + 1/64) четверной гекат + (2 + 1/14 + 1/21 + 1/42) четверной ро

100/80 четверной гекат = (1 + 1/4) четверной гекат

100/90 четверной гекат = (1 + 1/16 + 1/32 + 1/64) четверной гекат + (1/2 + 1/18) четверной ро

100/100 четверной гекат = 1 четверной гекат

Районы

Задачи 48–55 показывают, как вычислить набор площадей . Задача 48 примечательна тем, что она кратко вычисляет площадь круга путем аппроксимации π . В частности, задача 48 явно подкрепляет соглашение (используемое в разделе геометрии) о том, что «площадь круга равна площади описывающего его квадрата в соотношении 64/81». Эквивалентно, папирус приближает π как 256/81, как уже отмечалось выше при объяснении задачи 41.

Другие задачи показывают, как найти площадь прямоугольников, треугольников и трапеций.

Пирамиды

Последние шесть задач связаны со склонами пирамид . О возникшей проблеме сообщается следующим образом:

Если высота пирамиды 250 локтей, а длина стороны ее основания 360 локтей, каков ее секек ?»

Решение задачи определяется как отношение половины стороны основания пирамиды к ее высоте, или отношение высоты ее грани к высоте. Другими словами, найденная величина для секеда — это котангенс угла к основанию пирамиды и ее грани.

Книга III – Сборник

Третья часть папируса Ринда состоит из оставшейся части 91 задачи, а именно 61, 61B, 62–82, 82B, 83–84 и «числа» 85–87, которые не являются элементами, не имеющими математического характера. Этот последний раздел содержит более сложные таблицы данных (которые часто включают в себя фракции глаз Гора), несколько задач пефсу , которые представляют собой элементарные алгебраические задачи, касающиеся приготовления пищи, и даже забавную задачу (79), которая наводит на мысль о геометрических прогрессиях, геометрических рядах и некоторых более поздние проблемы и загадки истории. В задаче 79 прямо упоминается: «семь домов, 49 кошек, 343 мыши, 2401 початок полбы, 16807 гекат». В частности, задача 79 касается ситуации, когда в каждом из 7 домов живут по семь кошек, все они едят семь мышей, каждая из которых съела бы семь колосьев, каждая из которых дала бы семь мер зерна. Таким образом, третья часть папируса Ринда представляет собой своего рода сборник, основанный на уже представленном. Задача 61 связана с умножением дробей. Тем временем задача 61B дает общее выражение для вычисления 2/3 от 1/n, где n нечетно. В современных обозначениях приведенная формула имеет вид

${\frac {2}{3n}}={\frac {1}{2n}}+{\frac {1}{6n}}$

Методика, приведенная в 61B, тесно связана с выводом таблицы 2/n.

Задачи 62–68 являются общими задачами алгебраического характера. Все задачи 69–78 pefsu в той или иной форме являются задачами . Они включают в себя расчеты крепости хлеба и пива в зависимости от определенного сырья, используемого при их производстве.

Задача 79 суммирует пять членов геометрической прогрессии . Его язык сильно напоминает более современную загадку и детский стишок « Как я собирался в Сент-Айвс ». В задачах 80 и 81 вычисляются глазу Гора доли хину (или хекатов) в . Последние четыре математических элемента, задачи 82, 82Б и 83–84, вычисляют количество корма, необходимого различным животным, например птицам и быкам. Однако эти проблемы, особенно 84, страдают от повсеместной двусмысленности, путаницы и простой неточности.

Последние три элемента папируса Ринда обозначены как «цифры» 85–87, а не «проблемы», и они широко разбросаны по обратной стороне папируса или оборотной стороне. Это, соответственно, небольшая фраза, завершающая документ (и имеющая несколько вариантов перевода, приведенных ниже), кусок макулатуры, не связанный с основной частью документа, используемый для его скрепления (но содержащий слова и египетские дроби). которые теперь знакомы читателю документа), а также небольшую историческую заметку, которая, как полагают, была написана через некоторое время после завершения написания основной части папируса. Считается, что эта записка описывает события во время « господства гиксосов », периода внешнего перерыва в древнеегипетском обществе, который тесно связан со вторым промежуточным периодом. С этими нематематическими, но интересными с исторической и филологической точки зрения опечатками написание папируса подходит к концу.

Согласование единиц

Большая часть материала Папируса Ринда связана с древнеегипетскими единицами измерения и особенно с анализом размеров, используемым для преобразования между ними. Соответствие единиц измерения, использованных в папирусе, приведено на изображении.

Единицы измерения, используемые в папирусе Ринда.

Содержание

В этой таблице суммировано содержание Папируса Ринда посредством краткого современного пересказа. Он основан на двухтомном изложении папируса, опубликованном Арнольдом Баффумом Чейсом в 1927 и 1929 годах. В целом папирус состоит из четырех разделов: титульного листа, таблицы 2/n, крошечной «таблицы 1–9/10» и 91 задачи, или «цифры». Последние пронумерованы от 1 до 87 и включают в себя четыре математических задания, которые современники обозначили как задачи 7Б, 59Б, 61Б и 82Б. Числа 85–87, между тем, не являются математическими элементами, составляющими часть основной части документа, а представляют собой, соответственно, небольшую фразу, завершающую документ, кусок «макулатуры», используемый для скрепления документа (уже содержащий несвязанное письмо) и историческую заметку, которая, как полагают, описывает период времени вскоре после завершения основной части папируса. (задней стороны) папируса Эти три последних пункта написаны на разных участках оборотной стороны , вдали от математического содержания. Поэтому Чейс различает их, оформляя как числа , а не как задачи , как и другие 88 пронумерованных пунктов.

Номера разделов или задач	Постановка проблемы или описание	Решение или описание	Примечания
Титульная страница	Ахмес идентифицирует себя и свои исторические обстоятельства.	«Точный расчет. Вход в познание всех существующих вещей и всех сокровенных тайн. Эта книга была переписана в 33 году, в четвертом месяце сезона наводнений, под величием царя Верхнего и Нижнего Египта 'А -пользователь-Ре', наделенный жизнью, по подобию древних писаний, созданных во времена царя Верхнего и Нижнего Египта Не-маэт-Ре'. Это письмо переписывает писец Ахмес».	Из титульного листа ясно, что Ахмес идентифицирует как свой собственный период, так и период более старого текста или текстов, из которых он предположительно скопировал, тем самым создав Папирус Ринда. Материал папируса написан на обеих сторонах, то есть на лицевой и оборотной сторонах . Подробности смотрите на картинке.
2/n Таблица	Выразите каждое частное от 2/3 до 2/101 (где знаменатель всегда нечетный) в виде египетских дробей .	см . в табличной статье Rhind Mathematical Papyrus 2/n . Краткое изложение и решения этого раздела	На протяжении всего папируса большинство решений даны в виде конкретных египетских дробных представлений данного действительного числа. Однако, поскольку каждое положительное рациональное число имеет бесконечное множество представлений в виде египетской дроби, эти решения не уникальны. Также имейте в виду, что дробь 2/3 является единственным исключением, используемым в дополнение к целым числам, которое Ахмес использует вместе со всеми (положительными) рациональными дробями для выражения египетских дробей. Можно сказать, что таблица 2/n частично соответствует алгоритму (см. задачу 61B) для выражения 2/n как египетской дроби из 2 членов, когда n является составным. Однако этот молодой алгоритм отбрасывается во многих ситуациях, когда n простое. Таким образом, метод решения таблицы 2/n также предполагает начало теории чисел , а не просто арифметики .
Таблица 1–9/10	Запишите частные от 1/10 до 9/10 в виде египетских дробей.	${\frac {1}{10}}={\frac {1}{10}}\;\;\;;\;\;\;{\frac {2}{10}}={\frac {1}{5}}\;\;\;;\;\;\;{\frac {3}{10}}={\frac {1}{5}}+{\frac {1}{10}}$ ${\frac {4}{10}}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{15}}\;\;\;;\;\;\;{\frac {5}{10}}={\frac {1}{2}}\;\;\;;\;\;\;{\frac {6}{10}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{10}}$ ${\frac {7}{10}}={\frac {2}{3}}+{\frac {1}{30}}\;\;\;;\;\;\;{\frac {8}{10}}={\frac {2}{3}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{30}}\;\;\;;\;\;\;{\frac {9}{10}}={\frac {2}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{30}}$
Задачи 1–6	1, 2, 6, 7, 8 и 9 буханок хлеба (соответственно в каждой задаче) распределяются между 10 мужчинами. В каждом случае представьте долю хлеба каждого человека в виде египетской дроби.	${\frac {1}{10}}={\frac {1}{10}}\;\;\;;\;\;\;{\frac {2}{10}}={\frac {1}{5}}$ ${\frac {6}{10}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{10}}\;\;\;;\;\;\;{\frac {7}{10}}={\frac {2}{3}}+{\frac {1}{30}}$ ${\frac {8}{10}}={\frac {2}{3}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{30}}\;\;\;;\;\;\;{\frac {9}{10}}={\frac {2}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{30}}$	Первые шесть задач папируса представляют собой простое повторение информации, уже записанной в таблице 1–9/10, теперь в контексте сюжетных задач.
7, 7Б, 8–20	Позволять $S=1+1/2+1/4={\frac {7}{4}}$ и $T=1+2/3+1/3=2$. Затем для следующих умножений запишите произведение в виде египетской дроби.	$7:{\bigg (}{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{28}}{\bigg )}S={\frac {1}{2}}\;\;\;;\;\;\;7B:{\bigg (}{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{28}}{\bigg )}S={\frac {1}{2}}\;\;\;;\;\;\;8:{\frac {1}{4}}T={\frac {1}{2}}$ $9:{\bigg (}{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{14}}{\bigg )}S=1\;\;\;;\;\;\;10:{\bigg (}{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{28}}{\bigg )}S={\frac {1}{2}}\;\;\;;\;\;\;11:{\frac {1}{7}}S={\frac {1}{4}}$ $12:{\frac {1}{14}}S={\frac {1}{8}}\;\;\;;\;\;\;13:{\bigg (}{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{112}}{\bigg )}S={\frac {1}{8}}\;\;\;;\;\;\;14:{\frac {1}{28}}S={\frac {1}{16}}$ $15:{\bigg (}{\frac {1}{32}}+{\frac {1}{224}}{\bigg )}S={\frac {1}{16}}\;\;\;;\;\;\;16:{\frac {1}{2}}T=1\;\;\;;\;\;\;17:{\frac {1}{3}}T={\frac {2}{3}}$ $18:{\frac {1}{6}}T={\frac {1}{3}}\;\;\;;\;\;\;19:{\frac {1}{12}}T={\frac {1}{6}}\;\;\;;\;\;\;20:{\frac {1}{24}}T={\frac {1}{12}}$	В этих задачах постоянно используются одни и те же два множителя (здесь они обозначены как S и T). Ахмес фактически записывает одну и ту же задачу трижды (7, 7B, 10), иногда подходя к одной и той же задаче с разными арифметическими действиями.
21–38	Для каждого из следующих линейных уравнений с переменной $x$, решить для $x$ и выразить $x$ как египетская дробь.	$21:{\bigg (}{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{15}}{\bigg )}+x=1\;\;\;\rightarrow \;\;\;x={\frac {1}{5}}+{\frac {1}{15}}$ $22:{\bigg (}{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{30}}{\bigg )}+x=1\;\;\;\rightarrow \;\;\;x={\frac {1}{5}}+{\frac {1}{10}}$ $23:{\bigg (}{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{30}}+{\frac {1}{45}}{\bigg )}+x={\frac {2}{3}}\;\;\;\rightarrow \;\;\;x={\frac {1}{9}}+{\frac {1}{40}}$ $24:x+{\frac {1}{7}}x=19\;\;\;\rightarrow \;\;\;x=16+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{8}}$ $25:x+{\frac {1}{2}}x=16\;\;\;\rightarrow \;\;\;x=10+{\frac {2}{3}}$ $26:x+{\frac {1}{4}}x=15\;\;\;\rightarrow \;\;\;x=12$ $27:x+{\frac {1}{5}}x=21\;\;\;\rightarrow \;\;\;x=17+{\frac {1}{2}}$ $28:{\bigg (}x+{\frac {2}{3}}x{\bigg )}-{\frac {1}{3}}{\bigg (}x+{\frac {2}{3}}x{\bigg )}=10\;\;\;\rightarrow \;\;\;x=9$ $29:{\frac {1}{3}}{\Bigg (}{\bigg (}x+{\frac {2}{3}}x{\bigg )}+{\frac {1}{3}}{\bigg (}x+{\frac {2}{3}}x{\bigg )}{\Bigg )}=10\;\;\;\rightarrow \;\;\;x=13+{\frac {1}{2}}$ $30:{\bigg (}{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{10}}{\bigg )}x=10\;\;\;\rightarrow \;\;\;x=13+{\frac {1}{23}}$ $31:x+{\frac {2}{3}}x+{\frac {1}{2}}x+{\frac {1}{7}}x=33\;\;\;\rightarrow$ $x=14+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{56}}+{\frac {1}{97}}+{\frac {1}{194}}+{\frac {1}{388}}+{\frac {1}{679}}+{\frac {1}{776}}$ $32:x+{\frac {1}{3}}x+{\frac {1}{4}}x=2\;\;\;\rightarrow \;\;\;x=1+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{12}}+{\frac {1}{114}}+{\frac {1}{228}}$ $33:x+{\frac {2}{3}}x+{\frac {1}{2}}x+{\frac {1}{7}}x=37\;\;\;\rightarrow \;\;\;x=16+{\frac {1}{56}}+{\frac {1}{679}}+{\frac {1}{776}}$ $34:x+{\frac {1}{2}}x+{\frac {1}{4}}x=10\;\;\;\rightarrow \;\;\;x=5+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{14}}$ $35:{\bigg (}3+{\frac {1}{3}}{\bigg )}x=1\;\;\;\rightarrow \;\;\;x={\frac {1}{5}}+{\frac {1}{10}}$ $36:{\bigg (}3+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}{\bigg )}x=1\;\;\;\rightarrow \;\;\;x={\frac {1}{4}}+{\frac {1}{53}}+{\frac {1}{106}}+{\frac {1}{212}}$ $37:{\bigg (}3+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}\cdot {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{9}}{\bigg )}x=1\;\;\;\rightarrow \;\;\;x={\frac {1}{4}}+{\frac {1}{32}}$ $38:{\bigg (}3+{\frac {1}{7}}{\bigg )}x=1\;\;\;\rightarrow \;\;\;x={\frac {1}{6}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{22}}+{\frac {1}{66}}$	Задача 31 имеет особенно трудное решение. Хотя постановка задач 21–38 иногда может показаться сложной (особенно в прозе Ахмеса), каждая задача в конечном итоге сводится к простому линейному уравнению. В некоторых случаях какая-то единица измерения была опущена, поскольку для этих задач она была излишней. Эти случаи представляют собой задачи 35–38, в формулировках и «работе» которых впервые упоминаются единицы объема, известные как хекат и ро (где 1 гекат = 320 ро), которые будут занимать видное место в остальной части папируса. Однако на данный момент их буквальное упоминание и использование в 35–38 носит косметический характер.
39	100 буханок хлеба будут распределены поровну между 10 мужчинами. 50 хлебов поровну разделят между четырьмя мужчинами так, чтобы каждому из этих четырех досталась равная доля. $y$, а остальные 50 хлебов будут разделены поровну между остальными 6 мужчинами, так что каждый из этих 6 получит равную долю. $x$. Найдите разницу этих двух долей $y-x$ и выразить то же самое, что и египетскую дробь.	$y-x=4+{\frac {1}{6}}$	В задаче 39 папирус начинает рассматривать ситуации с более чем одной переменной.
40	100 буханок хлеба нужно разделить между пятью мужчинами. Пять мужских долей хлеба должны быть в арифметической прогрессии , так чтобы последовательные доли всегда отличались на фиксированную разницу, или $\Delta$. При этом сумма трех крупнейших акций должна быть равна семикратной сумме двух наименьших акций. Находить $\Delta$ и запишите это как египетскую дробь.	$\Delta =9+{\frac {1}{6}}$	Задача 40 завершает арифметико-алгебраический раздел папируса, за которым следует раздел геометрии. После задачи 40 на папирусе даже есть большой участок пустого места, что визуально указывает на конец раздела. Что касается самой проблемы 40, Ахмес находит свое решение, сначала рассматривая аналогичный случай, когда количество буханок равно 60, а не 100. Затем он утверждает, что в этом случае разница составляет 5 1/2 и что наименьшая доля равна до одного, перечисляет остальные, а затем масштабирует свою работу обратно до 100, чтобы получить результат. Хотя Ахмес не формулирует само решение в том виде, в котором оно было дано здесь, количество становится неявно ясным, как только он перемасштабирует свой первый шаг путем умножения 5/3 x 11/2, чтобы перечислить пять долей (что он и делает). . Следует отметить, что эту задачу можно рассматривать как имеющую четыре условия: а) сумма пяти акций равна 100, б) доли варьируются от наименьшей к наибольшей, в) последовательные доли имеют постоянную разницу и г) сумма трех больших акций акций равна семикратной сумме двух меньших акций. Начав только с первых трех условий, можно использовать элементарную алгебру, а затем посмотреть, даст ли добавление четвертого условия согласованный результат. Бывает, что если соблюдены все четыре условия, решение будет единственным. Таким образом, проблема представляет собой более сложный случай решения линейных уравнений, чем тот, который был рассмотрен ранее, граничащий с линейная алгебра .
41	Используйте формулу объема $V={\bigg (}d-{\frac {1}{9}}d{\bigg )}^{2}h$ $={\frac {64}{81}}d^{2}h$ рассчитать объем цилиндрического зернохранилища диаметром 9 локтей и высотой 10 локтей. Ответ дайте в кубических кубитах. Кроме того, учитывая следующие равенства между другими единицами объема: 1 кубический локоть = 3/2 хара = 30 гекатов = 15/2 четверных гекатов, также выражайте ответ в терминах харов и четверных гекатов.	$V=640\;\;\;cubit^{3}$ $=960\;\;\;khar$ $=4800\;\;\;quadruple\;\;\;heqat$	папируса Эта задача открывает раздел геометрии , а также дает первый фактически неверный результат (хотя и с очень хорошим приближением $\pi$(с разницей менее одного процента). Другие древнеегипетские единицы объема , такие как четверной гекат и хар, позже упоминаются в этой задаче посредством преобразования единиц. Таким образом, задача 41 также является первой задачей, серьезно рассматривающей анализ размерностей .
42	Повторно используйте формулу объема и информацию о единицах измерения, приведенную в пункте 41, для расчета объема цилиндрического зернохранилища диаметром 10 локтей и высотой 10 локтей. Дайте ответ в кубических локтях, харах и сотнях четверных гекатов, где 400 гекатов = 100 четверных гекатов = 1 сточетверным гекатам, все в египетских дробях.	$V={\bigg (}790+{\frac {1}{18}}+{\frac {1}{27}}+{\frac {1}{54}}+{\frac {1}{81}}{\bigg )}\;\;\;cubit^{3}$ $={\bigg (}1185+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{54}}{\bigg )}\;\;\;khar$ $={\bigg (}59+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{108}}{\bigg )}\;\;\;hundred\;\;\;quadruple\;\;\;heqat$	Задача 42 по сути является повторением задачи 41 с аналогичными преобразованиями единиц в конце. Однако, хотя проблема действительно начинается так, как указано, арифметика значительно сложнее, и некоторые из приведенных последних дробных членов фактически не присутствуют в исходном документе. Однако контекста достаточно, чтобы заполнить пробелы, и поэтому Чейс взял на себя лицензию на добавление определенных дробных членов в свой математический перевод (повторяется здесь), которые приводят к внутренне непротиворечивому решению.
43	Используйте формулу объема $V={\frac {2}{3}}{\Bigg (}{\bigg (}d-{\frac {1}{9}}d{\bigg )}+{\frac {1}{3}}{\bigg (}d-{\frac {1}{9}}d{\bigg )}{\Bigg )}^{2}h$ $={\frac {2048}{2187}}d^{2}h$ рассчитать объем цилиндрического зернохранилища диаметром 9 локтей и высотой 6 локтей, непосредственно найдя ответ в египетских дробных единицах хар, а затем в египетских дробных единицах четверных гекатов и четверных ро, где 1 четверной гекат = 4 гекат = 1280 ро = 320 четверных ро.	$V={\bigg (}455+{\frac {1}{9}}{\bigg )}\;\;\;khar$ $={\bigg (}2275+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{32}}+{\frac {1}{64}}{\bigg )}\;\;\;quadruple\;\;\;heqat$ $+{\bigg (}2+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{36}}{\bigg )}\;\;\;quadruple\;\;\;ro$	Задача 43 представляет собой первую серьезную математическую ошибку в папирусе. Ахмес (или источник, из которого он, возможно, скопировал) попытался сократить путь, чтобы выполнить как расчет объема, так и преобразование единиц измерения из кубических локтей в хар за один шаг, чтобы избежать необходимости использовать кубические локти в начальном этапе. результат. Однако эта попытка (которая потерпела неудачу из-за того, что часть процесса, использованного в 41 и 42, перепуталась с той, которая, вероятно, предназначалась для использования в 43, давая согласующиеся результаты другим методом) вместо этого привела к новой формуле объема, которая несовместима с (и хуже) приближения, использованного в 41 и 42.
44, 45	Один кубический локоть равен 15/2 четверного геката. Рассмотрим (44) зернохранилище кубической формы с длиной каждого края 10 локтей. Выразите его объем $V$в пересчете на четверные гекаты. С другой стороны, (45) рассмотрим зернохранилище кубической формы объемом 7500 четверных гекатов и выразим длину его ребра $l$ в локтях.	$V=7500\;\;\;quadruple\;\;heqat$ $l=10\;\;\;cubit$	Задача 45 является точным обращением задачи 44, поэтому здесь они представлены вместе.
46	Прямоугольный призменный зернохранилище имеет объем 2500 четверных гекатов. Опишите его три измерения. $l_{1},l_{2},l_{3}$ в локтях.	$l_{1}=l_{2}=10\;\;\;cubit$ $l_{3}=3+{\frac {1}{3}}\;\;\;cubit$	Эта задача, как указано, имеет бесконечно много решений, но делается простой выбор решения, тесно связанный с членами 44 и 45.
47	Разделите физический объем 100 четверных гекатов на каждое из чисел, кратных 10, от 10 до 100. Выразите результаты в египетских дробных числах четверных гекатов и четверных ро и представьте результаты в таблице.	${\begin{bmatrix}{\frac {100}{10}}&q.\;heqat&=&10&q.\;heqat\\{\frac {100}{20}}&q.\;heqat&=&5&q.\;heqat\\{\frac {100}{30}}&q.\;heqat&=&(3+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{64}})&q.\;heqat\\&&+&(1+{\frac {2}{3}})&q.\;ro\\{\frac {100}{40}}&q.\;heqat&=&(2+{\frac {1}{2}})&q.\;heqat\\{\frac {100}{50}}&q.\;heqat&=&2&q.\;heqat\\{\frac {100}{60}}&q.\;heqat&=&(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{32}})&q.\;heqat\\&&+&(3+{\frac {1}{3}})&q.\;ro\\{\frac {100}{70}}&q.\;heqat&=&(1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{32}}+{\frac {1}{64}})&q.\;heqat\\&&+&(2+{\frac {1}{14}}+{\frac {1}{21}}+{\frac {1}{42}})&q.\;ro\\{\frac {100}{80}}&q.\;heqat&=&(1+{\frac {1}{4}})&q.\;heqat\\{\frac {100}{90}}&q.\;heqat&=&(1+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{32}}+{\frac {1}{64}})&q.\;heqat\\&&+&({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{18}})&q.\;ro\\{\frac {100}{100}}&q.\;heqat&=&1&q.\;heqat\\\end{bmatrix}}$	В задаче 47 Ахмес особенно настаивает на представлении более сложных цепочек дробей в виде дробей глаза Гора , насколько это возможно. Сравните задачи 64 и 80 на предмет схожего предпочтения представления. Для экономии места слово «четверной» было сокращено до «q». в любом случае.
48	Сравните площадь круга диаметром 9 с площадью описывающего его квадрата, длина стороны которого также равна 9. Каково отношение площади круга к площади квадрата?	${\frac {64}{81}}$	Постановка и решение задачи 48 явно проясняют этот предпочтительный метод аппроксимации площади круга, использовавшийся ранее в задачах 41–43. Однако это ошибочно . Исходная постановка задачи 48 предполагает использование единицы площади, известной как сетат, которая вскоре получит дополнительный контекст в будущих задачах. На данный момент это косметический вариант.
49	Один хет – единица длины, равная 100 локтям. Кроме того, «локотевая полоса» представляет собой прямоугольную полосу измерения площади размером 1 локоть на 100 локтей, или 100 квадратных локтей (или физическую величину равной площади). Рассмотрим прямоугольный участок земли размером 10 хет на 1 хет. Выразите его площадь $A$ в локтевых полосах.	$A=1000\;\;\;cubit\;\;\;strip$	-
50	Один квадратный хет — единица площади, равная одному сетату. Рассмотрим круг диаметром 9 хет. Выразите его площадь $A$ с точки зрения сетат.	$A=64\;\;\;setat$	Задача 50 фактически является усилением правила 64/81 из 48 для площади круга, которым пронизан папирус.
51	Треугольный участок земли имеет основание 4 хета и высоту 10 хет. Найдите его площадь $A$ с точки зрения сетат.	$A=20\;\;\;setat$	Построение и решение уравнения 51 напоминают знакомую формулу для вычисления площади треугольника, и, по мнению Чейса, она перефразируется именно так. Однако треугольная диаграмма папируса, предыдущие ошибки и проблемы перевода создают неясность относительно того, является ли рассматриваемый треугольник прямоугольным или действительно ли Ахмес действительно понимал условия, при которых заявленный ответ является правильным. В частности, неясно, подразумевалось ли измерение 10 кхет как высоту ( в этом случае задача решается правильно, как указано) или же «10 кхет» просто относится к стороне треугольника, и в этом случае цифра будет иметь вид быть прямоугольным треугольником, чтобы ответ был фактически правильным и правильно обработанным, как это было сделано. Эти проблемы и путаница сохраняются на протяжении 51–53 годов до такой степени, что Ахмес, кажется, теряет понимание того, что он делает, особенно в 53 году.
52	Трапециевидный участок земли имеет два основания: 6 хет и 4 хет. Его высота 20 хет. Найдите его площадь $A$ с точки зрения сетат.	$A=100\;\;\;setat$	Проблемы задачи 52 во многом такие же, как и задачи 51. Метод решения знаком современникам, однако обстоятельства, подобные тем, что были в задаче 51, заставляют усомниться в том, насколько хорошо Ахмес или его источник понимали, что они делают.
53	Равнобедренный треугольник (скажем, участок земли) имеет основание, равное 4 1/2 кхета, и высоту, равную 14 кхет. Два отрезка, параллельные основанию, далее делят треугольник на три сектора: нижнюю трапецию, среднюю трапецию и верхний (похожий) треугольник меньшего размера. Отрезки прямой разрезают высоту треугольника в его средней точке (7) и далее на четверть точки (3 1/2) ближе к основанию, так что каждая трапеция имеет высоту 3 1/2 кхет, а меньший аналогичный треугольник имеет высоту 7 хет. Найдите длины $l_{1},l_{2}$двух отрезков линии, где они являются более короткими и более длинными отрезками соответственно, и выражают их в египетских дробных единицах кхет. Кроме того, найдите площади $A_{1},A_{2},A_{3}$из трех секторов, где они представляют собой большую трапецию, среднюю трапецию и малый треугольник соответственно, и выражают их в египетских дробных единицах щетинок и локтей. Для преобразования единиц используйте тот факт, что 1 сетат = 100 локтей.	$l_{1}={\bigg (}2+{\frac {1}{4}}{\bigg )}\;\;\;khet$ $l_{2}={\bigg (}3+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}{\bigg )}\;\;\;khet$ $A_{1}={\bigg (}13+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}{\bigg )}\;\;\;setat+{\bigg (}3+{\frac {1}{8}}{\bigg )}\;\;\;cubit\;\;\;strip$ $A_{2}={\bigg (}9+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}{\bigg )}\;\;\;setat+{\bigg (}9+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}{\bigg )}\;\;\;cubit\;\;\;strip$ $A_{3}={\bigg (}7+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}{\bigg )}\;\;\;setat$	Задача 53, будучи более сложной, чревата многими из тех же проблем, что и задачи 51 и 52 — двусмысленностью перевода и несколькими числовыми ошибками. В частности, что касается большой нижней трапеции, Ахмес, кажется, застрял в поисках верхнего основания и в оригинальной работе предлагает вычесть «одну десятую, равную 1 + 1/4 + 1/8 сетата плюс 10 локтей полос» от трапеции. прямоугольник (предположительно) 4 1/2 х 3 1/2 (хет). Однако даже ответ Ахмеса здесь несовместим с другой информацией о задаче. К счастью, контекст 51 и 52 вместе с основанием, средней линией и меньшей областью треугольника (которые задаются как 4 + 1/2, 2 + 1/4 и 7 + 1/2 + 1/4 + 1/ 8 соответственно) позволяют интерпретировать задачу и ее решение так, как это сделано здесь. Таким образом, данный парафраз представляет собой последовательное и наилучшее предположение относительно цели проблемы, которое следует за Чейсом. Ахмес также снова обращается к «локтевым полосам» в ходе вычислений для этой задачи, и поэтому мы повторяем их использование здесь. Стоит отметить, что ни Ахмес, ни Чейс в своих трактовках явно не указывают площадь средней трапеции (Чейс предполагает, что с точки зрения Ахмеса это тривиально); поэтому была взята на себя смелость сообщить об этом в манере, совместимой с тем, что до сих пор предлагал Чейс.
54	Имеется 10 земельных участков. На каждом участке сектор разбивается так, что сумма площадей этих 10 новых перегородок равна 7 сетат. Каждый новый раздел имеет одинаковую площадь. Найдите площадь $A$ любого из этих 10 новых разделов и выразить его в египетских дробных единицах сетатов и локтей.	$A={\bigg (}{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{5}}{\bigg )}\;\;\;setat$ $={\bigg (}{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{8}}{\bigg )}\;\;\;setat+{\bigg (}7+{\frac {1}{2}}{\bigg )}\;\;\;cubit\;\;\;strip$	-
55	Имеется 5 земельных участков. На каждом участке сектор разбивается так, что сумма площадей этих 5 новых перегородок равна 3 сетата. Каждый новый раздел имеет одинаковую площадь. Найдите площадь $A$ любого из этих 5 новых разделов и выразить его в египетских дробных единицах сетата и локтя.	$A={\bigg (}{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{10}}{\bigg )}\;\;\;setat$ $={\frac {1}{2}}\;\;\;setat+10\;\;\;cubit\;\;\;strip$	-
56	1) Единица длины, известная как царский локоть, является (и была во всем папирусе) тем, что имеется в виду, когда мы просто говорим о локте . Один царский локоть, или один локоть, равен семи ладоням, а одна ладонь равна четырем пальцам. Другими словами, имеют место следующие равенства: 1 (царский) локоть = 1 локоть = 7 ладоней = 28 пальцев. 2) Рассмотрим правильную квадратную пирамиду , основание которой, квадратная грань, копланарна плоскости (или, скажем, земле), так что любая из плоскостей, содержащих ее треугольные грани, имеет угол двугранный $\theta$относительно базовой плоскости (то есть внутри пирамиды). Другими словами, $\theta$- угол треугольных граней пирамиды по отношению к земле. Тогда секед такой пирамиды, имея высоту $a$ и длина базовой кромки $b$, определяется как физическая длина $S$ такой, что ${\frac {S}{1\;\;\;royal\;\;\;cubit}}=$ $\cot {\theta }$. Другими словами, секед пирамиды можно интерпретировать как отношение длины ее треугольных граней к одной единице (локтя) подъема . Или, для соответствующего прямоугольного треугольника внутри пирамиды, имеющего ножки $a,{\frac {b}{2}}$ а биссектриса треугольной грани в качестве гипотенузы, то секука пирамиды $S$ удовлетворяет $\cot {\theta }={\frac {b}{2a}}={\frac {S}{1\;\;\;royal\;\;\;cubit}}$. Таким образом, описаны подобные треугольники, и один можно масштабировать до другого. 3) Пирамида имеет высоту 250 (царских) локтей, а сторона ее основания имеет длину 360 (царских) локтей. Найдите его секед $S$ в египетских дробных (царских) локтях, а также в ладонях.	$S={\bigg (}{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{50}}{\bigg )}\;\;\;cubit$ $={\bigg (}5+{\frac {1}{25}}{\bigg )}\;\;\;palm$	Задача 56 — первая из «задач о пирамидах» или секедовых задач в папирусе Ринда, 56–59, 59B и 60, которые касаются понятия наклона грани пирамиды по отношению к плоской поверхности. В этой связи концепция секеда предполагает раннее начало тригонометрии . Однако в отличие от современной тригонометрии особо отметим, что секед находится относительно некоторой пирамиды и сам по себе является мерой физической длины , которая может быть выражена в любых единицах физической длины. Однако по очевидным причинам мы (и папирус) ограничиваем свое внимание ситуациями с участием древнеегипетских отрядов. Мы также пояснили, что царские локти используются во всем папирусе, чтобы отличить их от «коротких» локтей, которые использовались в других местах Древнего Египта. Один «короткий» локоть равен шести ладоням.
57, 58	Секед пирамиды — 5 ладоней и 1 палец, а сторона ее основания — 140 локтей. Найдите (57) его высоту $a$в локтях. С другой стороны, (58) высота пирамиды равна 93 + 1/3 локтя, а сторона ее основания — 140 локтей. Найдите его секед $S$ и выразить это с помощью ладоней и пальцев.	$a={\bigg (}93+{\frac {1}{3}}{\bigg )}\;\;\;cubit$ $S=5\;\;\;palm+1\;\;\;finger$	Задача 58 является точным обращением задачи 57, поэтому здесь они представлены вместе.
59, 59Б	Высота пирамиды (59) равна 8 локтям, а длина основания — 12 локтей. Экспресс его секед $S$с точки зрения ладоней и пальцев. С другой стороны (59Б), секед пирамиды равен пяти ладоням и одному пальцу, а сторона ее основания равна 12 локтям. Выразите его высоту $a$ в локтях.	$S=5\;\;\;palm+1\;\;\;finger$ $a=8\;\;\;cubit$	В задачах 59 и 59Б рассматривается случай, аналогичный задачам 57 и 58, который заканчивается знакомыми результатами. Как точные противоположности друг друга, они представлены здесь вместе.
60	Если «столб» (то есть конус) имеет высоту 30 локтей, а сторона его основания (или диаметр) имеет длину 15 локтей, найдите его секущуюся длину. $S$ и выразить его в локтях.	$S={\frac {1}{4}}\;\;\;cubit$	Для описания этой проблемы Ахмес использует немного другие слова, которые связаны с проблемами перевода. Однако общий контекст задачи вместе с прилагаемой к ней диаграммой (которая отличается от предыдущих диаграмм) приводит Чейса к выводу, что имеется в виду конус. Понятие секеда легко обобщить на боковую грань конуса; поэтому он сообщает о проблеме в таких терминах. Задача 60 завершает раздел папируса, посвященный геометрии. Более того, это последняя проблема на лицевой стороне документа; все более позднее содержание этого резюме присутствует на обратной стороне (задней стороне) папируса. Таким образом, переход от 60 к 61 является одновременно тематическим и физическим сдвигом в папирусе.
61	Продукты семнадцати умножений должны быть выражены в египетских дробях. Все должно быть представлено в виде таблицы.	${\begin{bmatrix}{\frac {2}{3}}\cdot {\frac {2}{3}}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{9}}&;&{\frac {1}{3}}\cdot {\frac {2}{3}}={\frac {1}{6}}+{\frac {1}{18}}\\{\frac {2}{3}}\cdot {\frac {1}{3}}={\frac {1}{6}}+{\frac {1}{18}}&;&{\frac {2}{3}}\cdot {\frac {1}{6}}={\frac {1}{12}}+{\frac {1}{36}}\\{\frac {2}{3}}\cdot {\frac {1}{2}}={\frac {1}{3}}&;&{\frac {1}{3}}\cdot {\frac {1}{2}}={\frac {1}{6}}\\{\frac {1}{6}}\cdot {\frac {1}{2}}={\frac {1}{12}}&;&{\frac {1}{12}}\cdot {\frac {1}{2}}={\frac {1}{24}}\\{\frac {1}{9}}\cdot {\frac {2}{3}}={\frac {1}{18}}+{\frac {1}{54}}&;&{\frac {2}{3}}\cdot {\frac {1}{9}}={\frac {1}{18}}+{\frac {1}{54}}\\{\frac {1}{4}}\cdot {\frac {1}{5}}={\frac {1}{20}}&;&{\frac {2}{3}}\cdot {\frac {1}{7}}={\frac {1}{14}}+{\frac {1}{42}}\\{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{7}}={\frac {1}{14}}&;&{\frac {2}{3}}\cdot {\frac {1}{11}}={\frac {1}{22}}+{\frac {1}{66}}\\{\frac {1}{3}}\cdot {\frac {1}{11}}={\frac {1}{33}}&;&{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{11}}={\frac {1}{22}}\\{\frac {1}{4}}\cdot {\frac {1}{11}}={\frac {1}{44}}&&\\\end{bmatrix}}$	Синтаксис исходного документа и его повторяющиеся умножения указывают на элементарное понимание того, что умножение коммутативно .
61Б	Дайте общую процедуру преобразования произведения 2/3 и обратной величины любого (положительного) нечетного числа 2n+1 в египетскую дробь из двух членов, например ${\frac {2}{3}}\cdot {\frac {1}{2n+1}}={\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}$с натуральными p и q. Другими словами, найдите p и q через n.	$p=2(2n+1)$ $q=6(2n+1)$	Задача 61B и метод декомпозиции, который она описывает (и предлагает), тесно связаны с вычислением таблицы Rhind Mathematical Papyrus 2/n . В частности, можно сказать, что каждый случай в таблице 2/n, включающий знаменатель, кратный 3, соответствует примеру 61B. Заявление и решение 61B также наводят на мысль об общности, которой нет в большинстве остальных более конкретных проблем папируса. Таким образом, она представляет собой раннее предложение как алгебры , так и алгоритмов .
62	Мешок с тремя драгоценными металлами: золотом, серебром и свинцом был куплен за 84 ша'ти, что является денежной единицей. Все три вещества весят одинаково, а дебен — единица веса. 1 дебен золота стоит 12 ша'ти, 1 дебен серебра стоит 6 ша'ти, а 1 дебен свинца стоит 3 ша'ти. Найдите общий вес $W$ любого из трех металлов в мешке.	$W=4\;\;\;deben$	Задача 62 становится проблемой деления, требующей небольшого анализа размерностей. Его установка со стандартными гирями упрощает задачу.
63	700 хлебов следует разделить неравномерно между четырьмя мужчинами, на четыре неравные, взвешенные доли. Доли будут в соответствующих пропорциях ${\frac {2}{3}}:{\frac {1}{2}}:{\frac {1}{3}}:{\frac {1}{4}}$. Найдите каждую долю.	$266+{\frac {2}{3}}$ $200$ $133+{\frac {1}{3}}$ $100$	-
64	Напомним, что хекат — единица объёма. Десять гекатов ячменя следует распределить между десятью мужчинами в арифметической прогрессии так, чтобы разница в долях последовательных мужчин составляла 1/8 геката. Найдите десять акций и перечислите их в порядке убывания в египетских дробных единицах хекат.	${\bigg (}1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{16}}{\bigg )}\;heqat$ ${\bigg (}1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}{\bigg )}\;heqat$ ${\bigg (}1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{16}}{\bigg )}\;heqat$ ${\bigg (}1+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}{\bigg )}\;heqat$ ${\bigg (}1+{\frac {1}{16}}{\bigg )}\;heqat$ ${\bigg (}{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}{\bigg )}\;heqat$ ${\bigg (}{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{16}}{\bigg )}\;heqat$ ${\bigg (}{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}{\bigg )}\;heqat$ ${\bigg (}{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{16}}{\bigg )}\;heqat$ ${\bigg (}{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}{\bigg )}\;heqat$	Задача 64 — это вариант задачи 40, на этот раз с четным числом неизвестных. Для быстрой современной справки, помимо египетских дробей, доли варьируются от 25/16 до 7/16, где числитель уменьшается на последовательные нечетные числа. Условия даны в виде глаза Гора фракций ; сравните задачи 47 и 80, чтобы узнать больше.
65	100 буханок хлеба нужно поровну разделить на десять человек. Семь мужчин получают одну долю, а трое других, лодочник, бригадир и привратник, получают каждый двойную долю. Выразите каждую из этих двух сумм акций в виде египетских дробей.	$7+{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{39}}$ $15+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{26}}+{\frac {1}{78}}$	-
66	Напомним, что хекат — это единица объема и что один хекат равен 320 ру. 10 гекатов жира распределяются на одного человека в течение года (365 дней) в равных суточных нормах. Выразить пособие $a$ как египетская дробь в единицах хекат и ро.	$a={\frac {1}{64}}\;\;\;heqat+{\bigg (}3+{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{2190}}{\bigg )}\;\;\;ro$	Задача 66 в своей исходной форме явно утверждает, что один год равен 365 дням, и для своих вычислений неоднократно использует число 365. Таким образом, это главное историческое свидетельство древнеегипетского понимания года .
67	Пастух имел стадо животных и должен был отдать часть своего стада господину в качестве дани. Пастуху было приказано отдать в качестве дани две трети одной трети своего первоначального стада. Пастух подарил 70 животных. Найдите размер первоначального стада пастуха.	$315$	-
68	Четыре надзирателя руководят четырьмя бригадами из 12, 8, 6 и 4 человек соответственно. Каждый член экипажа работает с одинаковой скоростью, чтобы произвести один рабочий продукт: производство (скажем, сбор) зерна. Работая за некоторый промежуток времени, эти четыре бригады коллективно произвели 100 единиц, или 100 четверных гекатов зерна, причем продукт труда каждой бригады будет передан надзирателю каждой бригады. Выразите результаты работы каждой бригады $O_{12},O_{8},O_{6},O_{4}$ в пересчете на четверной хекат.	$O_{12}=40\;\;\;quadruple\;\;\;heqat$ $O_{8}=26+{\frac {2}{3}}\;\;\;quadruple\;\;\;heqat$ $O_{6}=20\;\;\;quadruple\;\;\;heqat$ $O_{4}=13+{\frac {1}{3}}\;\;\;quadruple\;\;\;heqat$	-
69	1) Подумайте о приготовлении пищи. что существует стандартизированный способ приготовления или производственный процесс, который будет использовать единицы объема, а именно гекаты пищевого сырья (в частности, какого-то одного пищевого сырья), и производить единицы одного Предположим , готового пищевого продукта. Пефсу ​ $P$ (одного) готового пищевого продукта по отношению к (одному) пищевому сырью тогда определяется как количество единиц готового пищевого продукта. $p$получается ровно из одного гектара пищевого сырья. Другими словами, $P={\frac {p\;\;\;finished\;\;\;unit}{1\;\;\;heqat_{raw\;\;\;material}}}$. 2) Из 3+1/2 га муки получается 80 буханок хлеба. Найти еду на буханку $m$ в хекатах и ​​ро и найди пефсу $P$этих хлебов по отношению к еде. Выразите их в виде египетских дробей.	$m={\frac {1}{32}}\;\;\;heqat+4\;\;\;ro$ $P={\bigg (}22+{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{21}}{\bigg )}{\frac {loaf}{heqat_{meal}}}$	Задача 69 начинается с задач «пэфсу» 69–78 в контексте приготовления пищи. Понятие «пэфсу» предполагает некий стандартизированный производственный процесс без несчастных случаев, отходов и т. д. и касается только отношения одного стандартизированного готового пищевого продукта к одному конкретному сырью. То есть pefsu не занимается непосредственно такими вопросами, как время производства или (в любом конкретном случае) взаимосвязь другого сырья или оборудования с производственным процессом и т. д. Тем не менее, понятие pefsu является еще одним намеком на абстракцию. в папирусе, который можно применить к любым бинарным отношениям между пищевым продуктом (или готовой продукцией, если уж на то пошло) и сырьем. Таким образом, концепции, которые заключает в себе пэфсу, типичны для производства .
70	Из (7 + 1/2 + 1/4 + 1/8) гекатов муки получается 100 буханок хлеба. Найти еду на буханку $m$ в хекатах и ​​ро и найди пефсу $P$этих хлебов по отношению к еде. Выразите их в виде египетских дробей.	$m={\bigg (}{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{64}}{\bigg )}\;\;\;heqat+{\frac {1}{5}}\;\;\;ro$ $P={\bigg (}12+{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{42}}+{\frac {1}{126}}{\bigg )}{\frac {loaf}{heqat_{meal}}}$	-
71	Из 1/2 гектара беши, сырья, получается ровно одна полная мера (стакан) пива. Предположим, что существует процесс производства стаканов разбавленного пива. Выливается 1/4 только что описанного стакана, а то, что только что вылилось, улавливается и используется позже повторно. Этот стакан, который теперь заполнен на 3/4, затем снова разбавляется водой до полной емкости, в результате чего получается ровно один полный разбавленный стакан пива. Найдите пефсу $P$ этих разбавленных пивных бокалов по отношению к беше как египетской фракции.	$P={\bigg (}2+{\frac {2}{3}}{\bigg )}{\frac {des-measure}{heqat_{besha}}}$	Задача 71 описывает промежуточные этапы производственного процесса, а также второе сырье — воду. Они не имеют отношения к взаимосвязи между готовой единицей и сырьем (в данном случае беша).
72	100 буханок «пефсу 10» поровну обмениваются на $x$батоны "Пефсу 45". Находить $x$.	$x=450$	Теперь, когда концепция пефсу установлена, в задачах 72–78 исследуется даже обмен разными кучами готовых продуктов, имеющих разные пефсу. Однако в целом они предполагают использование сырья какого-то общего . В частности, общее сырье, предполагаемое во всех 72–78, называется мукой wedyet , которая даже участвует в производстве пива, так что в последних проблемах пиво можно обменивать на хлеб. В исходном заявлении 74 также упоминается «верхнегипетский ячмень», но для наших целей это чисто косметический вопрос. Таким образом, проблемы 72–78 на самом деле заключаются в следующем: равные количества сырья используются в двух разных производственных процессах для производства двух разных единиц готовой пищи, где каждый тип имеет разный pefsu. Дается одна из двух готовых пищевых единиц. Найдите другого. Этого можно добиться, разделив обе единицы (известную и неизвестную) на соответствующие им значения pefsu, при этом единицы готовой пищи исчезают при анализе размеров и учитывается только одно и то же сырье. Тогда можно легко найти решение для x. Таким образом, 72–78 действительно требуют, чтобы x был задан, чтобы в двух разных производственных процессах использовались равные количества сырья.
73	100 буханок пефсу 10 поровну обмениваются на $x$ буханки пефсу 15. Найти $x$.	$x=150$	-
74	1000 буханок пефсу 5 поровну разделить на две кучки по 500 буханок в каждой. Каждую кучу необходимо поровну обменять на две другие кучи, одну из которых $x$ буханок пефсу 10, а остальные $y$ буханки пефсу 20. Найти $x$ и $y$.	$x=1000$ $y=2000$	-
75	155 буханок пефсу 20 поровну обменять на $x$ батонов пефсу 30. Найти $x$.	$x=232+{\frac {1}{2}}$	-
76	1000 буханок пефсу 10, одна кучка, будут поровну обмениваться на две другие кучки буханок. В двух других кучах равное количество $x$ буханок: один — 20 пефсу, другой — 30 пефсу. Найти $x$.	$x=1200$	-
77	10 мер пива пефсу 2 поровну обмениваются на $x$ батоны пефсу 5. Найти $x$.	$x=25$	-
78	100 буханок пефсу 10 поровну обмениваются на $x$ меры пива пефсу 2. Найти $x$.	$x=20$	-
79	Инвентарь поместья состоит из 7 домов, 49 кошек, 343 мышей, 2401 растения полбы (разновидность пшеницы) и 16 807 единиц хеката (любого вещества — допустим, сорта зерна). Перечислите предметы в описи поместья в виде таблицы и укажите их общее количество.	${\begin{bmatrix}houses&7\\cats&49\\mice&343\\spelt&2401\\heqat&16807\\Total&19607\\\end{bmatrix}}$	Задача 79 представлена ​​в наиболее буквальной интерпретации. Однако проблема является одной из самых интересных в папирусе, так как ее постановка и даже метод решения предполагают геометрическую прогрессию (то есть геометрические последовательности), элементарное понимание конечных рядов , а также проблему Сент-Айвса — даже Чейс не может помогите прервать его собственное повествование, чтобы сравнить задачу 79 с детским стишком Сент-Айвза. Он также указывает, что подозрительно знакомый третий пример задач такого типа можно найти в «Liber Abaci » Фибоначчи . Чейс предлагает интерпретацию, согласно которой 79 — это своего рода пример экономии, когда определенное количество зерна экономится за счет того, что кошки находятся под рукой, чтобы убить мышей, которые в противном случае съели бы полбу, из которой сделано зерно. В исходном документе термин 2401 записан как 2301 (очевидная ошибка), а остальные термины даны правильно; поэтому здесь это исправлено. Более того, один из методов решения суммы Ахмеса предполагает понимание конечных геометрических рядов . Ахмес выполняет прямую сумму, но он также представляет простое умножение, чтобы получить тот же ответ: «2801 x 7 = 19607». Чейс объясняет, что, поскольку первый член числа домов (7) равен обычному коэффициенту умножения (7), то справедливо следующее (и его можно обобщить на любую подобную ситуацию): $\sum \limits _{k=1}^{n}7^{k}=7{\bigg (}1+\sum \limits _{k=1}^{n-1}7^{k}{\bigg )}$ То есть, когда первый член геометрической последовательности равен общему отношению, частичные суммы геометрических последовательностей или конечные геометрические ряды могут быть сведены к умножениям, включающим конечный ряд, имеющий на один член меньше, что в данном случае оказывается удобным. . В этом случае Ахмес просто складывает первые четыре члена последовательности (7 + 49 + 343 + 2401 = 2800), чтобы получить частичную сумму, добавляет один (2801), а затем просто умножает на 7, чтобы получить правильный ответ.
80	Хину — это еще одна единица объема, такая, что один хекат равен десяти хину. Рассмотрим ситуации, когда у человека есть доля хекатов, соответствующая глазу Гора , и выразите их перевод в хину в таблице.	${\begin{bmatrix}1&heqat&=&10&hinu\\{\frac {1}{2}}&heqat&=&5&hinu\\{\frac {1}{4}}&heqat&=&(2+{\frac {1}{2}})&hinu\\{\frac {1}{8}}&heqat&=&(1+{\frac {1}{4}})&hinu\\{\frac {1}{16}}&heqat&=&({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{8}})&hinu\\{\frac {1}{32}}&heqat&=&({\frac {1}{4}}+{\frac {1}{16}})&hinu\\{\frac {1}{64}}&heqat&=&({\frac {1}{8}}+{\frac {1}{32}})&hinu\\\end{bmatrix}}$	Сравните задачи 47 и 64, чтобы найти другую табличную информацию с повторяющимися фракциями глаз Гора.
81	Выполните «еще один расчет хину». То есть выразить набор египетских дробей, многие из которых также являются дробями глаза Гора, в различных терминах хекат, хину и ро.		Основной раздел задачи 81 представляет собой гораздо более крупную таблицу преобразования различных египетских дробей, которая расширяет идею задачи 80 — на самом деле она представляет собой одну из самых больших табличных форм во всем папирусе. Первая часть задачи 81 представляет собой точное повторение таблицы задачи 80, за исключением первой строки, в которой указано, что 1 хекат = 10 хину; поэтому здесь оно не повторяется. Вторая часть задачи 81, или ее «тело», представляет собой приведенную здесь большую таблицу. Внимательный читатель заметит две вещи: несколько строк повторяют одинаковую информацию, а некоторые формы (но не все), приведенные в обеих областях «хекат» по обе стороны таблицы, на самом деле идентичны. Стоит упомянуть два момента, чтобы объяснить, почему таблица выглядит именно так. Во-первых, Ахмес действительно в точности повторяет определенные группы информации в разных областях таблицы, и соответственно они повторяются здесь. С другой стороны, Ахмес также начинает с некоторых «левых» форм хеката и допускает некоторые ошибки в своих ранних расчетах. Однако во многих случаях он исправляет эти ошибки позже при написании таблицы, получая последовательный результат. Поскольку настоящая информация представляет собой просто воссоздание перевода и интерпретации папируса, сделанного Чейсом, и поскольку Чейс решил интерпретировать и исправлять ошибки Ахмеса, заменяя более позднюю правильную информацию в некоторых предыдущих строках, тем самым исправляя ошибки Ахмеса и, следовательно, повторяя информации в ходе перевода, этот метод интерпретации объясняет дублирование информации в определенных строках. Что касается дублирования информации в некоторых столбцах (1/4 гекат = ... = 1/4 гекат и т. д.), то это, по-видимому, просто было соглашением, которое Ахмес заполнил при рассмотрении некоторых важных дробных соотношений глаза Гора из как точка зрения хину, так и хекат (и их обращения). Короче говоря, различные повторы информации являются результатом выбора Ахмеса, его потенциального исходного документа, и редакционного выбора Чейса, чтобы представить математически последовательный перевод большей таблицы в задаче 81.
82	Оцените в муке, из которой делают хлеб, дневную порцию корма для десяти откормленных гусей. Для этого произведите следующие расчеты, выражая количества в египетских дробных единицах в сотнях хекатов, хекатов и ро, если не указано иное: Начнем с утверждения, что «10 откормленных гусей съедают за день 2 + 1/2 геката». Другими словами, суточная норма потребления (и исходное состояние) $i$равен 2 + 1/2. Определите количество гекатов, которое съедают 10 откормленных гусей за 10 дней и за 40 дней. Назовите эти величины $t$ и $f$, соответственно. Умножьте указанное выше последнее количество $f$ на 5/3, чтобы выразить количество «списанного», или $s$, необходимо измельчить. Умножить $f$ на 2/3, чтобы выразить количество «пшеницы», или $w$, необходимый. Разделять $w$ на 10, чтобы выразить «порцию пшеницы», или $p$, который необходимо вычесть из $f$. Находить $f-p=g$. Это и есть то количество «зерна» (или, казалось бы, муки), которое требуется для приготовления корма для гусей, предположительно, с интервалом в 40 дней (что, казалось бы, несколько противоречит исходной постановке задачи). ). Наконец, выразите $g$снова в единицах сотен двойных хекатов, двойных хекатов и двойных ро , где 1 сотня двойных хекатов = 2ста хекатов = 100 двойных хекатов = 200 хекатов = 32 000 двойных хекатов = 64 000 ро. Назовите это окончательное количество $g_{2}$.	$t=25\;\;\;heqat$ $f=100\;\;\;heqat$ $s={\bigg (}1+{\frac {1}{2}}{\bigg )}hundred\;\;\;heqat$ $+{\bigg (}16+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{32}}{\bigg )}\;\;\;heqat+{\bigg (}3+{\frac {1}{3}}{\bigg )}\;\;\;ro$ $w={\bigg (}{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}{\bigg )}hundred\;\;\;heqat$ $+{\bigg (}8+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{64}}{\bigg )}\;\;\;heqat+{\bigg (}1+{\frac {2}{3}}{\bigg )}\;\;\;ro$ $p={\bigg (}6+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{32}}{\bigg )}\;\;\;heqat+{\bigg (}3+{\frac {1}{3}}{\bigg )}\;\;\;ro$ $g={\bigg (}{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}{\bigg )}hundred\;\;\;heqat$ $+{\bigg (}18+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{64}}{\bigg )}\;\;\;heqat+{\bigg (}1+{\frac {2}{3}}{\bigg )}\;\;\;ro$ $g_{2}={\bigg (}{\frac {1}{4}}{\bigg )}hundred\;\;\;double\;\;\;heqat$ $+{\bigg (}21+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{32}}{\bigg )}\;\;\;double\;\;\;heqat$ $+{\bigg (}3+{\frac {1}{3}}{\bigg )}\;\;\;double\;\;\;ro$	Начиная с задачи 82, папирус становится все труднее интерпретировать (из-за ошибок и недостающей информации) вплоть до неразборчивости. Тем не менее, в 82 все же можно найти некоторый смысл. Проще говоря, похоже, существуют установленные правила или хорошие оценки фракций, которые следует брать из того или иного пищевого материала в процессе приготовления или производства. Расчет Ахмеса 82 просто дает выражение некоторым из этих величин, в том, что, в конце концов, объявлено в оригинальном документе «оценкой», несмотря на его несколько противоречивые и запутанные формулировки. Помимо своей странности, задачи 82, 82Б, 83 и 84 примечательны еще и тем, что продолжают «пищевой» ход мыслей недавних задач пефсу, на этот раз рассматривая вопрос о том, как кормить животных, а не людей. И 82, и 82B используют единицу «сто гекат» в отношении t и f; эти условности носят косметический характер и здесь не повторяются. В этих последних задачах также используется лицензия (по Чейсу), чтобы исправить числовые ошибки в исходном документе и попытаться представить связный перефраз.
82Б	Оцените количество корма для других гусей. То есть рассмотрим ситуацию, идентичную задаче 82, за единственным исключением: начальное состояние, или дневная норма потребления, ровно вдвое меньше. То есть пусть $i$= 1 + 1/4. Находить $t$, $f$ и особенно $g_{2}$ используя элементарную алгебру, чтобы пропустить промежуточные шаги.	$t={\bigg (}12+{\frac {1}{2}}{\bigg )}\;\;\;heqat$ $f=50\;\;\;heqat$ $g_{2}={\bigg (}23+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{64}}{\bigg )}\;\;\;double\;\;\;heqat$ $+{\bigg (}1+{\frac {2}{3}}{\bigg )}\;\;\;double\;\;\;ro$	Задача 82B представлена ​​параллельно с задачей 82 и быстро рассматривает идентичную ситуацию, когда соответствующие количества уменьшаются вдвое. В обоих случаях кажется, что настоящая цель Ахмеса — найти g_2. Теперь, когда у него есть «процедура», он может свободно пропустить обременительные шаги 82. Можно просто заметить, что деление на два выполняет всю работу задачи, так что g_2 также ровно вдвое меньше, чем в задаче 82. Несколько более тщательный подход с использованием элементарной алгебры заключался бы в обратном прослеживании отношений между величинами в задаче 82: сделайте важное наблюдение, что g = 14/15 xf, а затем выполните преобразования единиц измерения, чтобы преобразовать g в g_2.
83	Оцените корм для различных видов птиц. Это «проблема» с несколькими компонентами, которую можно интерпретировать как серию замечаний: Предположим, что в загоне содержатся четыре гуся, и их коллективная дневная норма корма равна одному хину. Экспресс суточная норма корма для одного гуся $a_{1}$ с точки зрения хекатов и ро. Предположим, что дневной корм для гуся, «идущего в пруд», равен 1/16 + 1/32 га + 2 ро. Выразите эту самую суточную норму $a_{2}$ с точки зрения хину. Предположим, что суточная норма корма на 10 гусей составляет один гекат. Найдите 10-дневное пособие $a_{10}$ и 30-дневное или месячное пособие $a_{30}$ для той же группы животных – в гекатах. В заключение будет представлена ​​таблица суточных порций корма на откорм одного животного любого из указанных видов.	$a_{1}={\frac {1}{64}}\;\;\;heqat+3\;\;\;ro$ $a_{2}=1\;\;\;hinu$ $a_{10}=10\;\;\;heqat$ $a_{30}=30\;\;\;heqat$ ${\begin{bmatrix}goose&({\frac {1}{8}}+{\frac {1}{32}})&heqat&+&(3+{\frac {1}{3}})&ro\\terp-goose&({\frac {1}{8}}+{\frac {1}{32}})&heqat&+&(3+{\frac {1}{3}})&ro\\crane&({\frac {1}{8}}+{\frac {1}{32}})&heqat&+&(3+{\frac {1}{3}})&ro\\set-duck&({\frac {1}{32}}+{\frac {1}{64}})&heqat&+&1&ro\\ser-goose&{\frac {1}{64}}&heqat&+&3&ro\\dove&&&&3&ro\\quail&&&&3&ro\\\end{bmatrix}}$	Поскольку различные элементы задачи 83 связаны с преобразованием единиц измерения между хекатами, ро и хину, в духе 80 и 81, естественно задаться вопросом, какими становятся элементы таблицы при преобразовании в хину. Доля гуся, тергуся и журавля равна 5/3 хину, доля сетух - 1/2 хину, доля сергусей - 1/4 хину (ср. первый пункт задачи), а доля, которую делят голубь и перепелка, равна 1/16 + 1/32 хину. Присутствие различных фракций глаз Гора известно из остальной части папируса, и в таблице, кажется, учитываются оценки корма для птиц, от самых больших до самых маленьких. Части «5/3 хину» в верхней части таблицы, в частности, коэффициент 5/3, напоминают метод нахождения s в задаче 82. В задаче 83 упоминается «нижнегипетское зерно», или ячмень, и здесь также используется единица «сто гекат» в одном месте; они косметические и не включены в настоящее заявление.
84	Оцените корм для хлева для быков.	${\begin{bmatrix}&Loaves&Common\;food\\4\;fine\;oxen&24\;heqat&2\;heqat\\2\;fine\;oxen&22\;heqat&6\;heqat\\3\;cattle&20\;heqat&2\;heqat\\1\;ox&20\;heqat&\\Total&86\;heqat&10\;heqat\\in\;spelt&9\;heqat&(7+{\frac {1}{2}})\;heqat\\10\;days&({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}})\;c.\;heqat&({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}})\;c.\;heqat\\&+15\;heqat&\\one\;month&200\;heqat&({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}})\;c.\;heqat\\&&+15\;heqat\\double\;heqat&{\frac {1}{2}}\;c.\;heqat&{\frac {1}{4}}\;c.\;heqat\\&+(11+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{8}})\;heqat&+5\;heqat\\&+3\;ro&\\\end{bmatrix}}$	84 — это последняя задача или число, составляющее математическое содержание папируса Ринда. Что касается самого числа 84, Чейс вторит Питу: «Можно только согласиться с Питом, что «с помощью этой проблемы папирус достигает своего предела неразборчивости и неточности»» (Чейс, т.2, задача 84). Здесь примеры единицы «сто гекат» были выражены через «ц. гекат» в целях экономии места. Три упомянутых «скота» описываются как «обычный» скот, чтобы отличить их от других животных, а два заголовка, касающиеся хлебов и «общей пищи», относятся к хекатам. «Прекрасные быки» в начале таблицы описываются как быки Верхнего Египта; эта фраза также удалена здесь из соображений экономии места. Задача 84, кажется, предлагает процедуру оценки различных пищевых материалов и рационов в терминах, аналогичных предыдущим трем задачам, но дошедшая до нас информация глубоко запутана. Тем не менее, есть намеки на последовательность. Кажется, что задача начинается как обычная сюжетная задача, описывающая конюшню с десятью животными четырех разных типов. Кажется, что четыре типа животных потребляют корм или «буханки» с разной скоростью, и что существует соответствующее количество «общей» пищи. Эти два столбца информации правильно суммируются в строке «Итого», однако за ними следуют два «написанных» элемента, имеющих сомнительное отношение к вышеизложенному. Действительно, каждый из этих двух написанных элементов умножается на десять, чтобы получить две записи в строке «10 дней», как только будут учтены преобразования единиц. Однако элементы строки «один месяц», похоже, не соответствуют двум предыдущим. Наконец, информация в «двойных хекатах» (читай: сто двойных хекатов, двойных хекатов и двойных ро для этих предметов) завершает задачу, что напоминает 82 и 82B. Два элемента в последней строке находятся примерно в той же пропорции друг к другу, что и два элемента в строке «один месяц».
Номер 85	Написана небольшая группа курсивных иероглифических знаков, которые, как предполагает Чейс, могут изображать писца, «пробующего свое перо». Похоже, это какая-то фраза или предложение, и предлагаются два перевода: 1) «Убивайте паразитов, мышей, свежие сорняки, многочисленных пауков. Молитесь богу Ре о тепле, ветре и паводке». 2) «Истолкуйте это странное дело, которое написал писец… согласно тому, что он знал».		Остальные пункты 85, 86 и 87, представляющие собой различные ошибки, не имеющие математического характера, поэтому Чейс называет «числами», а не задачами. Они также расположены на участках папируса, которые находятся далеко от текста, который только что закончился задачей 84. Например, номер 85 находится на некотором расстоянии от задачи 84 на оборотной стороне, но не слишком далеко. . Таким образом, его размещение на папирусе предполагает своего рода коду, и в этом случае последний перевод, который Чейс описывает как пример «загадочной письменной» интерпретации древнеегипетских документов, кажется наиболее подходящим для его контекста в документе.
Номер 86	Номер 86, похоже, взят из какого-то отчета или меморандума и перечисляет ассортимент товаров и их количество, используя слова, знакомые по контексту остальной части самого папируса. [Исходный текст представляет собой серию строк, которые поэтому пронумерованы ниже.]	«1... жить вечно. Список еды в Хебенти... 2...его брат управляющий Камосе... 3... своего года, серебро, 50 штук дважды в год... 4... скота 2, в серебре 3 штуки в год... 5... один дважды; то есть 1/6 и 1/6. Теперь что касается одного... 6... 12 хину; то есть серебра, 1/4 штуки; один... 7... (золото или серебро) 5 штук, их цена; рыба, 120, дважды... 8... год, ячмень, в четверных гекатах, 1/2+1/4 от 100 гакат 15 гакат; пишется, 100 гекат... гекат... 9... ячменя, в четверных гекатах, 1/2 + 1/4 от 100 гакат 15 гакат; пишется, 1+1/2+1/4 раза 100 гакат 17 гекат... 10...146+1/2; ячмень, 1+1/2+1/4 раза 100 га 10 га; спельта, 300 гакат... гекат... 11... 1/2, принесли вина, 1 осел(груз?)... 12... серебра 1/2 штуки; ... 4; то есть в серебре... 13...1+1/4; жир, 36 хину; то есть в серебре... 14...1+1/2+1/4 раза 100 гакат 21 гекат; пишется в четверных гекатах, 400 гакатах, 10 гекатах... 15-18 (Эти строки являются повторением строки 14.)»	Чейс указывает, что номер 86 ​​был наклеен на дальнюю левую сторону оборотной стороны (напротив более поздних геометрических задач на лицевой стороне), чтобы укрепить папирус. Таким образом, номер 86 ​​можно интерпретировать как кусок «макулатуры».
Номер 87	Номер 87 представляет собой краткое изложение некоторых событий. Чейс указывает на научное мнение (по общему признанию, теперь датированное и, возможно, измененное) о том, что число 87 было добавлено к папирусу вскоре после завершения его математического содержания. Далее он указывает, что описанные в нем события «происходили в период господства гиксосов».	«11 год, второй месяц сезона сбора урожая. Вошел Гелиополь. Первый месяц сезона наводнений, 23-й день, командующий (?) армией (?) напал (?) на Зару. На 25-й день стало известно, что Зару вошел. 11 класс, первый месяц сезона паводков, третий день. Рождение Сета; величие этого бога заставило его голос быть услышанным. Birth of Isis, the heavens rained."	Номер 87 расположен ближе к середине оборотной стороны, окруженный большим пустым неиспользуемым пространством.

See also

• List of ancient Egyptian papyri
• Akhmim wooden tablet
• Ancient Egyptian units of measurement
• As I was going to St. Ives
• Berlin Papyrus 6619
• History of mathematics
• Lahun Mathematical Papyri

Bibliography

• Chace, Arnold Buffum; et al. (1927). The Rhind Mathematical Papyrus. Vol. 1. Oberlin, Ohio: Mathematical Association of America – via Internet Archive.
• Chace, Arnold Buffum; et al. (1929). The Rhind Mathematical Papyrus. Vol. 2. Oberlin, Ohio: Mathematical Association of America – via Internet Archive.
• Gillings, Richard J. (1972). Mathematics in the Time of the Pharaohs (Dover reprint ed.). MIT Press. ISBN 0-486-24315-X.
• Robins, Gay; Shute, Charles (1987). The Rhind Mathematical Papyrus: an Ancient Egyptian Text. London: British Museum Publications Limited. ISBN 0-7141-0944-4.

External links

• British Museum webpage on the first section of the Papyrus
• British Museum webpage on the second section of the Papyrus
• British Museum webpage on the Papyrus at the Wayback Machine (archived June 29, 2015).
• "Mathematics in Egyptian Papyri". MacTutor History of Mathematics archive.
• Weisstein, Eric W. "Rhind Papyrus". MathWorld.
• Williams, Scott W. Mathematicians of the African Diaspora, containing a page on Egyptian Mathematics Papyri.