Египетский математический кожаный свиток

Египетский математический кожаный свиток (EMLR)
Египетский математический кожаный свиток (EMLR)
Британский музей в Лондоне
Дата	около 1650 г. до н.э.
Место происхождения	Фивы
Язык(и)	иератический
Размер	Длина: 10 дюймов (25 см) ; Ширина: 17 дюймов (43 см)

Египетский математический кожаный свиток (EMLR) представляет собой кожаный свиток размером 10 × 17 дюймов (25 × 43 см), купленный Александром Генри Райном в 1858 году. Он был отправлен в Британский музей в 1864 году вместе с Математическим папирусом Ринда , но он был отправлен в Британский музей в 1864 году. не подвергался химическому размягчению и не раскатывался до 1927 года (Скотт, Холл, 1927).

Письмо состоит из знаков Среднего царства иератических , написанных справа налево. Ученые датируют EMLR 17 веком до нашей эры. ^[2]

Математическое содержание

Этот кожаный свиток предназначен для вычисления египетских дробей . Он содержит 26 сумм единичных дробей, которые равны другой единичной дроби. Суммы отображаются в двух столбцах, за которыми следуют еще два столбца, содержащие точно такие же суммы. ^[3]

Из 26 перечисленных сумм десять являются числами Ока Гора : 1/2, 1/4 (дважды), 1/8 (трижды), 1/16 (дважды), 1/32, 1/64, преобразованные из египетских дробей. Есть еще семь сумм, у которых четные знаменатели преобразованы из египетских дробей: 1/6 (указана дважды, но один раз неверно), 1/10, 1/12, 1/14, 1/20 и 1/30. Например, три преобразования 1/8 следовали за одним или двумя коэффициентами масштабирования в качестве альтернативы:

1. 1/8 х 3/3 = 3/24 = (2 + 1)/24 = 1/12 + 1/24.

2. 1/8 х 5/5 = 5/40 = (4 + 1)/40 = 1/10 + 1/40.

3. 1/8 х 25/25 = 25/200 = (8 + 17)/200 = 1/25 + (17/200 х 6/6) = 1/25 + 102/1200 = 1/25 + (80 + 16 + 6)/1200 = 1/25 + 1/15 + 1/75 + 1/200

Наконец, было девять сумм, имеющих нечетные знаменатели, пересчитанные из египетских дробей: 2/3, 1/3 (дважды), 1/5, 1/7, 1/9, 1/11, 1/13 и 1/15. .

Эксперты Британского музея не нашли никакого введения или описания того, как и почему были вычислены ряды эквивалентных дробных единиц. ^[4] Ряды эквивалентных единиц дроби связаны с дробями 1/3, 1/4, 1/8 и 1/16. Произошла банальная ошибка, связанная с последней серией дробей 1/15 единицы. Ряд 1/15 был указан как равный 1/6. Еще одна серьезная ошибка была связана с 1/13, проблемой, которую эксперты 1927 года не пытались решить.

Современный анализ

Оригинальные математические тексты никогда не объясняют, откуда взялись эти процедуры и формулы. Это справедливо и для EMLR. Ученые попытались выяснить, какие методы древние египтяне могли использовать для построения как таблиц дробных единиц EMLR, так и таблиц 2/n, известных из Математического папируса Ринда и Математических папирусов Лахуна . Оба типа таблиц использовались для облегчения вычислений с дробями и для преобразования единиц измерения. ^[3]

Было отмечено, что в EMLR существуют группы разложений на дробные единицы, которые очень похожи. Например, строки 5 и 6 легко объединяются в уравнение 1/3 + 1/6 = 1/2. Легко получить строки 11, 13, 24, 20, 21, 19, 23, 22, 25 и 26, разделив это уравнение на 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 15, 16 и 32 соответственно. . ^[5]

Некоторые проблемы можно решить с помощью алгоритма, который включает умножение числителя и знаменателя на один и тот же член, а затем дальнейшее сокращение полученного уравнения:

{\frac {1}{pq}}={\frac {1}{N}}\times {\frac {N}{pq}}

Этот метод приводит к решению для дроби 1/8, как это показано в EMLR при использовании N = 25 (с использованием современных математических обозначений):

1/8=1/25\times 25/8=1/5\times 25/40=1/5\times (3/5+1/40)

=1/5\times (1/5+2/5+1/40)=1/5\times (1/5+1/3+1/15+1/40)=1/25+1/15+1/75+1/200

^[6]

Современные выводы

EMLR считается экзаменационным документом для студентов-писцов с 1927 года, когда текст был выставлен в Британском музее. Писец практиковал преобразование рациональных чисел 1/p и 1/pq в альтернативные ряды единичных дробей. Читая доступные математические записи Среднего Царства, в том числе таблицу RMP 2/n , современные изучающие египетскую арифметику могут увидеть, что обученные писцы улучшили преобразование 2/n и n/p в краткие ряды единичных дробей, применяя алгоритмические и неалгоритмические методы.

Хронология

В следующей хронологии показаны несколько вех, которые ознаменовали недавний прогресс на пути к более четкому пониманию содержания EMLR, связанного с таблицей RMP 2/ n .

1895 г. - Хультш предположил, что все серии RMP 2/p кодируются аликвотными частями. ^[7]
1927 - Гланвилл пришел к выводу, что арифметика EMLR является чисто аддитивной. ^[8]
1929 г. - Фогель сообщил, что EMLR более важен (чем RMP), хотя он содержит только 25 серий единичных фракций. ^[9]
Хульча (Bruins 1950). RMP 2/ p 1950 - Брюинз независимо подтверждает анализ
1972 – Гиллингс нашел решение более простой задачи RMP – серии 2/ pq (Gillings 1972: 95–96).
1982 - Кнорр определяет фракции единиц RMP 2/35, 2/91 и 2/95 как исключения из проблемы 2/ pq . ^[10]
2002 г. - Гарднер выделяет пять абстрактных паттернов EMLR. ^[6]
2018 – Дорсе объясняет структуру RMP 2/p.

См. также

Египетские математические тексты:

Другой:

Книга счетов
Сильвия Кушу (на французском языке)

Ссылки

^ Чейс, Арнольд Баффум. 1927-1929. Математический папирус Ринда: свободный перевод и комментарии с избранными фотографиями, переводами, транслитерациями и дословными переводами . Классика в математическом образовании 8. В 2 т. Оберлин: Математическая ассоциация Америки. (Перепечатано Рестоном: Национальный совет учителей математики, 1979). ISBN 0-87353-133-7
^ Клагетт, Маршалл. Древнеегипетская наука: Справочник. Том 3: Древнеегипетская математика. Мемуары Американского философского общества 232. Филадельфия: Американское философское общество, 1999, стр. 17–18, 25, 37–38, 255–257.
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с Аннетт Имхаузен , в: Математика Египта, Месопотамии, Китая, Индии и ислама: справочник ; под редакцией Виктора Дж. Каца , Princeton University Press, 2007, стр. 21–22.
^ Гиллингс, Ричард Дж. «Египетская математическая кожаная роль – линия 8. Как писец это сделал?» (Historia Mathematica 1981), 456–457.
^ Гиллингс, Ричард Дж., Математика во времена фараонов, Dover Publications, переиздание 1982 г. (1972) ISBN 0-486-24315-X
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Гарднер, Майло. «Египетский математический кожаный свиток, проверенный на краткосрочную и долгосрочную перспективу» . История математических наук , Айвор Граттан-Гиннесс, BC Ядав (редакторы), Нью-Дели, Книжное агентство Индостан, 2002: 119–134.
^ Хульч, Ф. «Элементы расчета египетского деления 8, обзор доктрины разложения». (1895): 167–71.
^ Гланвилл, SRK «Математический кожаный свиток в Британском музее». Журнал египетской археологии 13, Лондон (1927): 232–8.
^ Фогель, Курт. «Расширяет ли кожаный свиток наши знания египетской математики?» Архив истории математики, т. 2, Юлиус Шустер, Берлин (1929): 386–407.
^ Норр, Уилбур Р. «Техника дробей в Древнем Египте и Греции». Historia Mathematica 9, Берлин (1982): 133–171.

Дальнейшее чтение

Браун, Кевин С. Папирус Ахмина 1995 г. - Дроби египетских единиц 1995 г.
Брукхаймер, Максим и Ю. Саломон. «Некоторые комментарии к анализу Р. Дж. Гиллингса таблицы 2/n в папирусе Ринда». Historia Mathematica 4 Берлин (1977): 445–452.
Брюинз, Эверт М. «Платон и египетская таблица 2/n». Янус 46, Амстердам (1957): 253–263.
Брюинз, Эверт М. «Египетская арифметика». Янус 68, Амстердам (1981): 33–52.
Брюинз, Эверт М. «Приводимые и тривиальные разложения, касающиеся египетской арифметики». Янус 68, Амстердам (1981): 281–297.
Даресси, Жорж. «Деревянные таблички Ахмима», Le Cairo Imprimerie de l'Institut Francais d'Archeologie Orientale, 1901, 95–96.
Дорсе, Карлос. «Точный расчет разложения прямой таблицы математического папируса Ринда», History Research, том 6, выпуск 2, декабрь 2018 г., 33–49.
Гарднер, Майло. «Математический обзор Египта», Энциклопедия истории науки, технологий и медицины в незападных культурах, Спрингер, ноябрь 2005 г.
Гиллингс, Ричард Дж. «Египетский математический кожаный свиток». Австралийский журнал науки 24 (1962): 339–344, Математика во времена фараонов. Кембридж, Массачусетс: MIT Press, 1972. Нью-Йорк: Дувр, переиздание 1982 года.
Гиллингс, Ричард Дж. «Лицевая сторона математического папируса Ринда: как его подготовил древнеегипетский писец?» Архив истории точных наук 12 (1974), 291–298.
Жиллингс, Ричард Дж. «Руководство RMP и EMLR», Historia Mathematica, Toronto 6 (1979), 442–447.
Гиллингс, Ричард Дж. «Египетская математическая кожаная роль – линия 8. Как писец это сделал?» (Historia Mathematica 1981), 456–457.
Ганн, Баттискомб Джордж . Рецензия на «Математический папирус Ринда» Т. Э. Пита. Журнал египетской археологии 12 Лондон (1926): 123–137.
Аннет Имхаузен . «Египетские математические тексты и их контексты», Science in Context, том 16, Кембридж (Великобритания), (2003): 367–389.
Легон, Джон А.Р. «Математический фрагмент Кахуна». Дискуссии по египтологии, 24 Оксфорда (1992).
Люнебург, Х. «Разложение дробей на основные дроби» Леонарди Пизани Liber Abbaci или Удовольствие от чтения математика, Wissenschaftsverlag, Мангейм, 1993. 81–85.
Рис, CS «Египетские дроби», Mathematical Chronicle 10, Окленд, (1981): 13–33.
Роеро, CS «Египетская математика». Сопутствующая энциклопедия истории и философии математических наук» И. Граттан-Гиннесс (редактор), Лондон, (1994): 30–45.
Скотт, А. и Холл, HR, «Лабораторные заметки: египетский математический кожаный свиток семнадцатого века до нашей эры», British Museum Quarterly , Том 2, Лондон, (1927): 56.
Сильвестр, Дж. Дж. «Об одном моменте теории вульгарных дробей»: Американский журнал математики, 3 Балтимор (1880): 332–335, 388–389.

Внешние ссылки

«Египетский математический кожаный свиток». Гарднер, Майло. Математический мир.
«Египетский математический кожаный свиток». Гарднер, Майло. PlanetMath.org.

[Chace,_Arnold_Buffum_1929-1] Чейс, Арнольд Баффум. 1927-1929. Математический папирус Ринда: свободный перевод и комментарии с избранными фотографиями, переводами, транслитерациями и дословными переводами . Классика в математическом образовании 8. В 2 т. Оберлин: Математическая ассоциация Америки. (Перепечатано Рестоном: Национальный совет учителей математики, 1979). ISBN 0-87353-133-7

[Clagett-2] Клагетт, Маршалл. Древнеегипетская наука: Справочник. Том 3: Древнеегипетская математика. Мемуары Американского философского общества 232. Филадельфия: Американское философское общество, 1999, стр. 17–18, 25, 37–38, 255–257.

[Imhausen-3] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с Аннетт Имхаузен , в: Математика Египта, Месопотамии, Китая, Индии и ислама: справочник ; под редакцией Виктора Дж. Каца , Princeton University Press, 2007, стр. 21–22.

[4] Гиллингс, Ричард Дж. «Египетская математическая кожаная роль – линия 8. Как писец это сделал?» (Historia Mathematica 1981), 456–457.

[5] Гиллингс, Ричард Дж., Математика во времена фараонов, Dover Publications, переиздание 1982 г. (1972) ISBN 0-486-24315-X

[MG-6] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Гарднер, Майло. «Египетский математический кожаный свиток, проверенный на краткосрочную и долгосрочную перспективу» . История математических наук , Айвор Граттан-Гиннесс, BC Ядав (редакторы), Нью-Дели, Книжное агентство Индостан, 2002: 119–134.

[7] Хульч, Ф. «Элементы расчета египетского деления 8, обзор доктрины разложения». (1895): 167–71.

[8] Гланвилл, SRK «Математический кожаный свиток в Британском музее». Журнал египетской археологии 13, Лондон (1927): 232–8.

[9] Фогель, Курт. «Расширяет ли кожаный свиток наши знания египетской математики?» Архив истории математики, т. 2, Юлиус Шустер, Берлин (1929): 386–407.

[10] Норр, Уилбур Р. «Техника дробей в Древнем Египте и Греции». Historia Mathematica 9, Берлин (1982): 133–171.

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

**Египетский математический кожаный свиток ^[3]**
Столбец 1	Столбец 2	Столбец 3	Столбец 4
${\frac {1}{10}}+{\frac {1}{40}}={\frac {1}{8}}$	${\frac {1}{30}}+{\frac {1}{45}}+{\frac {1}{90}}={\frac {1}{15}}$	${\frac {1}{10}}+{\frac {1}{40}}={\frac {1}{8}}$	${\frac {1}{18}}+{\frac {1}{36}}={\frac {1}{12}}$
${\frac {1}{5}}+{\frac {1}{20}}={\frac {1}{4}}$	${\frac {1}{24}}+{\frac {1}{48}}={\frac {1}{16}}$	${\frac {1}{5}}+{\frac {1}{20}}={\frac {1}{4}}$	${\frac {1}{21}}+{\frac {1}{42}}={\frac {1}{14}}$
${\frac {1}{4}}+{\frac {1}{12}}={\frac {1}{3}}$	${\frac {1}{18}}+{\frac {1}{36}}={\frac {1}{12}}$	${\frac {1}{4}}+{\frac {1}{12}}={\frac {1}{3}}$	${\frac {1}{45}}+{\frac {1}{90}}={\frac {1}{30}}$
${\frac {1}{10}}+{\frac {1}{10}}={\frac {1}{5}}$	${\frac {1}{21}}+{\frac {1}{42}}={\frac {1}{14}}$	${\frac {1}{10}}+{\frac {1}{10}}={\frac {1}{5}}$	${\frac {1}{30}}+{\frac {1}{60}}={\frac {1}{20}}$
${\frac {1}{6}}+{\frac {1}{6}}={\frac {1}{3}}$	${\frac {1}{45}}+{\frac {1}{90}}={\frac {1}{30}}$	${\frac {1}{6}}+{\frac {1}{6}}={\frac {1}{3}}$	${\frac {1}{15}}+{\frac {1}{30}}={\frac {1}{10}}$
${\frac {1}{6}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{6}}={\frac {1}{2}}$	${\frac {1}{30}}+{\frac {1}{60}}={\frac {1}{20}}$	${\frac {1}{6}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{6}}={\frac {1}{2}}$	${\frac {1}{48}}+{\frac {1}{96}}={\frac {1}{32}}$
${\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}={\frac {2}{3}}$	${\frac {1}{15}}+{\frac {1}{30}}={\frac {1}{10}}$	${\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}={\frac {2}{3}}$	${\frac {1}{96}}+{\frac {1}{192}}={\frac {1}{64}}$
${\frac {1}{25}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{75}}+{\frac {1}{200}}={\frac {1}{8}}$	${\frac {1}{48}}+{\frac {1}{96}}={\frac {1}{32}}$	${\frac {1}{25}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{75}}+{\frac {1}{200}}={\frac {1}{8}}$
${\frac {1}{50}}+{\frac {1}{30}}+{\frac {1}{150}}+{\frac {1}{400}}={\frac {1}{16}}$	${\frac {1}{96}}+{\frac {1}{192}}={\frac {1}{64}}$	${\frac {1}{50}}+{\frac {1}{30}}+{\frac {1}{150}}+{\frac {1}{400}}={\frac {1}{16}}$
${\frac {1}{25}}+{\frac {1}{50}}+{\frac {1}{150}}={\frac {1}{15}}$		${\frac {1}{25}}+{\frac {1}{50}}+{\frac {1}{150}}={\frac {1}{6}}$
${\frac {1}{9}}+{\frac {1}{18}}={\frac {1}{6}}$		${\frac {1}{9}}+{\frac {1}{18}}={\frac {1}{6}}$
${\frac {1}{7}}+{\frac {1}{14}}+{\frac {1}{28}}={\frac {1}{4}}$		${\frac {1}{7}}+{\frac {1}{14}}+{\frac {1}{28}}={\frac {1}{4}}$
${\frac {1}{12}}+{\frac {1}{24}}={\frac {1}{8}}$		${\frac {1}{12}}+{\frac {1}{24}}={\frac {1}{8}}$
${\frac {1}{14}}+{\frac {1}{21}}+{\frac {1}{42}}={\frac {1}{7}}$		${\frac {1}{14}}+{\frac {1}{21}}+{\frac {1}{42}}={\frac {1}{7}}$
${\frac {1}{18}}+{\frac {1}{27}}+{\frac {1}{54}}={\frac {1}{9}}$		${\frac {1}{18}}+{\frac {1}{27}}+{\frac {1}{54}}={\frac {1}{9}}$
${\frac {1}{22}}+{\frac {1}{33}}+{\frac {1}{66}}={\frac {1}{11}}$		${\frac {1}{22}}+{\frac {1}{33}}+{\frac {1}{66}}={\frac {1}{11}}$
${\frac {1}{28}}+{\frac {1}{49}}+{\frac {1}{196}}={\frac {1}{13}}$		${\frac {1}{28}}+{\frac {1}{49}}+{\frac {1}{196}}={\frac {1}{13}}$
		${\frac {1}{30}}+{\frac {1}{45}}+{\frac {1}{90}}={\frac {1}{15}}$
		${\frac {1}{24}}+{\frac {1}{48}}={\frac {1}{16}}$