Московский математический папирус

Московский математический папирус
Государственный музей изобразительных искусств имени Пушкина в Москве.
14-я задача Московского математического папируса (В. Струве, 1930)
Дата	13-я династия , Второй промежуточный период Египта.
Место происхождения	Фивы
Язык(и)	иератический
Размер	Длина: 5,5 метров (18 футов) Ширина: от 3,8 до 7,6 см (от 1,5 до 3 дюймов)

Московский математический папирус , также называемый Математическим папирусом Голенищева в честь его первого владельца-неегиптянина, египтолога Владимира Голенищева , представляет собой древнеегипетский математический папирус, содержащий несколько задач по арифметике , геометрии и алгебре . Голенищев купил папирус в 1892 или 1893 году в Фивах . Позже она вошла в коллекцию Государственного музея изобразительных искусств имени Пушкина в Москве , где и находится по сей день.

Судя по палеографии и орфографии иератического текста, текст, скорее всего, был записан во времена 13-й династии и основан на более старых материалах, вероятно, относящихся к Двенадцатой династии Египта , примерно в 1850 году до нашей эры. Приблизительно 5½ м (18 футов) в длину и от 3,8 до 7,6 см (1,5 и 3 дюйма) в ширину, его формат разделил советский востоковед Василий Васильевич Струве. в 1930 году на 25 задач с решениями.

Это хорошо известный математический папирус, обычно упоминаемый вместе с Математическим папирусом Ринда . Московский математический папирус старше Математического папируса Ринда, хотя последний из них больше.

Упражнения, содержащиеся в Московском папирусе

Задачи в «Московском папирусе» не следуют определенному порядку, а решения задач содержат гораздо меньше деталей, чем в « Математическом папирусе Ринда» . Папирус хорошо известен своими геометрическими задачами. Задачи 10 и 14 вычисляют площадь поверхности и объем усеченного пирамидального пирамиды соответственно. Остальные проблемы имеют более общий характер.

Проблемы с деталями корабля

Проблемы 2 и 3 относятся к частям корабля. В одной из задач вычисляется длина корабельного руля, а в другой — длина корабельной мачты, учитывая, что она составляет 1/3 + 1/5 длины кедрового бревна первоначальной длиной 30 локтей .

Ага, проблемы

ꜥḥꜥ (ага) в иероглифах
Эра : Новое Королевство (1550–1069 до н.э.)

Задачи Ага включают в себя поиск неизвестных количеств (называемых ага , «стек»), если задана сумма количества и его частей. также Математический папирус Ринда содержит четыре задачи такого типа. Задачи 1, 19 и 25 Московского папируса — это задачи Ага. Например, задача 19 требует вычислить количество, взятое 1,5 раза и прибавленное к 4, чтобы получить 10. Другими словами, в современных математических обозначениях требуется решить ${\frac {3}{2}}x+4=10$.

Проблемы с Pefsu

Большинство задач — это задачи пефсу (см.: Египетская алгебра ): 10 из 25 задач. Пефсу измеряет крепость пива, приготовленного из хеката зерна.

${\mbox{pefsu}}={\frac {\mbox{number loaves of bread (or jugs of beer)}}{\mbox{number of heqats of grain}}}$

Более высокое число пефсу означает более слабый хлеб или пиво. Номер pefsu упоминается во многих списках предложений. Например, задача 8 переводится как:

(1) Пример расчета на 100 буханок хлеба пефсу 20

(2) Если кто-нибудь скажет тебе: «У тебя есть 100 буханок хлеба пефсу 20

(3) обменять на пиво пефсу 4

(4) как 1/2 1/4 солодового пива"

(5) Сначала рассчитайте количество зерна, необходимое для 100 буханок хлеба пефсу 20.

(6) Результат — 5 гекат. Тогда посчитайте, сколько вам нужно на кувшин пива, например пива под названием 1/2 1/4 солодового пива.

(7) В результате получается 1/2 меры геката, необходимой для разлива пива, приготовленного из верхнеегипетского зерна.

(8) Вычислите 1/2 от 5 гакат, результат будет 2 1/2.

(9) Возьмите эти 2 1/2 четыре раза.

(10)Результат — 10. Тогда вы ему говорите:

(11) «Вот! Количество пива оказалось правильным».

Баку проблемы

Задачи 11 и 23 — бакинские задачи. Они рассчитывают производительность рабочих. Задача 11: если кто-то принесет 100 бревен размером 5 на 5, то скольким бревнам размером 4 на 4 это соответствует? Задача 23 определяет производительность сапожника, учитывая, что ему нужно кроить и украшать сандалии.

Задачи по геометрии

Семь из двадцати пяти задач являются задачами по геометрии и варьируются от вычисления площадей треугольников до определения площади поверхности полушария (задача 10) и определения объема усеченной пирамиды .

Две задачи по геометрии

Задача 10

Десятая задача Московского математического папируса требует вычисления площади поверхности полушария ( Струве, Гиллингс) или, возможно, площади полуцилиндра (Пит). Ниже мы предполагаем, что задача относится к области полушария.

Текст задачи 10 звучит так: «Пример расчета корзины. Вам дана корзина с горлышком 4 1/2. Какова ее поверхность? От 9 отнимите 1/9 (так как) корзина — это половина яйца. -ракушка. Вы получаете 1. Вычислите остаток, который равен 8. Вычислите 1/9 от 8. Получите 2/3 + 1/6 + 1/18. Найдите остаток от этой 8 после вычитания 2/3 + 1/6. + 1/18. Получается 7 + 1/9. Умножьте 7 + 1/9 на 4 + 1/2. Вот это площадь.

Решение заключается в вычислении площади как

${\text{Area}}=(((2\times {\text{diameter}})\times {\frac {8}{9}})\times {\frac {8}{9}})\times {\text{diameter}}={\frac {128}{81}}({\text{diameter}})^{2}$

Формула рассчитана для площади полушария, которую использовал писец Московского папируса. ${\frac {256}{81}}\approx 3.16049$ аппроксимировать π .

Задача 14: Объем усеченной пирамиды

Четырнадцатая задача Московского математического расчета вычисляет объем усеченной пирамиды .

В задаче 14 говорится, что пирамида была усечена таким образом, что верхняя часть представляет собой квадрат длиной 2 единицы, нижняя часть — квадрат длиной 4 единицы, а высота — 6 единиц, как показано на рисунке. Объем оказался равным 56 кубическим единицам, и это правильно.

Текст примера звучит так: «Если вам говорят: усеченная пирамида из 6 по высоте по вертикали на 4 в основании и на 2 наверху: Вы должны возвести в квадрат 4; результат 16. Вам нужно удвоить 4. ; результат 8. Вы должны возвести в квадрат это 2, результат 4. Вы должны сложить 16, 8 и 4; результат 28. Вы должны взять 1/3 результата 2. Вы должны взять 28 дважды; Результат 56. Смотри, это число 56. Ты найдешь [это] правильно»

Решение задачи указывает на то, что египтяне знали правильную формулу для получения объема пирамиды усеченной :

$V={\frac {1}{3}}h(a^{2}+ab+b^{2})$

где a и b — длины основания и верхней стороны усеченной пирамиды, а h — высота. Исследователи размышляли о том, как египтяне могли прийти к формуле объема усеченной пирамиды, но вывод этой формулы в папирусе не приводится.

Резюме

Ричард Дж. Гиллингс дал беглый обзор содержания Папируса. Числа с подчеркиванием обозначают долю единицы, имеющую это число в качестве знаменателя , например ${\bar {4}}={\frac {1}{4}}$; дроби единиц были обычными объектами изучения в древнеегипетской математике.

Содержание Московского математического папируса.

Нет.	Деталь
1	Повреждён и нечитаем.
2	Повреждён и нечитаем.
3	Кедровая мачта. ${\bar {3}}\;{\bar {5}}$ из $30=16$. Непонятно.
4	Площадь треугольника. ${\bar {2}}$ из $4\times 10=20$.
5	Песус из буханок и хлеба. То же, что № 8.
6	Прямоугольник, площадь $=12,b={\bar {2}}\;{\bar {4}}l$. Находить $l$ и $b$.
7	Треугольник, площадь $=20,h=2\;{\bar {2}}b$. Находить $h$ и $b$.
8	Песус из буханок и хлеба.
9	Песус из буханок и хлеба.
10	Площадь изогнутой поверхности полусферы (или цилиндра).
11	Буханки и корзина. Непонятно.
12	Песу из пива. Непонятно.
13	Песус из хлебов и пива. То же, что № 9.
14	Объем усеченной пирамиды. $V=(h/3)(a^{2}+ab+b^{2})$.
15	Песу из пива.
16	Песу из пива. Аналогично № 15.
17	Треугольник, площадь $=20,b=({\bar {3}}\;{\bar {15}})h$. Находить $h$ и $b$.
18	Измерение ткани в локтях и ладонях. Непонятно.
19	Решите уравнение $1\;{\bar {2}}x+4=10$. Прозрачный.
20	Песу на 1000 буханок. Фракции Гор-глаза.
21	Замешивание жертвенного хлеба.
22	Песус из хлебов и пива. Обмен.
23	Расчет работы сапожника. Непонятно. Пит говорит, что это очень сложно.
24	Обмен хлебами и пивом.
25	Решите уравнение $2x+x=9$. Элементарно и понятно.

Другие папирусы

Другие математические тексты из Древнего Египта включают:

• Берлинский папирус 6619
• Египетский математический кожаный свиток
• Математические папирусы Лахуна
• Математический папирус Ринда

Общие папирусы:

• Папирус Харрис I
• Роллин Папирус

Таблицы 2/n см.:

• Таблица РМП 2/н

См. также

• Список древнеегипетских папирусов

Ссылки

Полный текст Московского математического папируса

• Струве, Василий Васильевич и Борис Тураев . 1930. Математический папирус Государственного музея изобразительных искусств в Москве . Источники и исследования по истории математики; Отдел А: Источники 1. Берлин: Дж. Шпрингер.

Другие ссылки

• Аллен, Дон. Апрель 2001. Московский папирус и краткое изложение египетской математики .
• Имхаузен А. Египетские алгоритмы. Исследование текстов среднеегипетских математических задач, Висбаден, 2003 г.
• Mathpages.com. The Prismoidal Formula .
• О'Коннор и Робертсон, 2000. Математика в египетских папирусах .
• Государственный университет Трумэна, факультет математики и информатики. Математика и гуманитарные науки: Древний Египет и Московский математический папирус .
• Уильямс, Скотт В. Математики африканской диаспоры , содержащий страницу о египетских математических папирусах .
• Зарт, Ким Р.В. Мысли о древнеегипетской математике. Архивировано 27 сентября 2011 г. в Wayback Machine .