Линейное уравнение

В математике линейное уравнение — это уравнение , которое можно представить в виде $a_{1}x_{1}+\ldots +a_{n}x_{n}+b=0,$ где $x_{1},\ldots ,x_{n}$ являются переменными (или неизвестными ), а $b,a_{1},\ldots ,a_{n}$ являются коэффициентами , которые часто являются действительными числами . Коэффициенты могут рассматриваться как параметры уравнения и могут представлять собой произвольные выражения при условии, что они не содержат каких-либо переменных. Чтобы получить значимое уравнение, коэффициенты $a_{1},\ldots ,a_{n}$ не все должны быть равны нулю.

Альтернативно, линейное уравнение можно получить, приравняв нулю линейный многочлен над некоторым полем , из которого взяты коэффициенты.

Решениями . такого уравнения являются значения, которые при замене неизвестных делают равенство верным

В случае всего одной переменной существует ровно одно решение (при условии, что $a_{1}\neq 0$ ). Часто термин «линейное уравнение» неявно относится к этому конкретному случаю, когда переменную разумно называть неизвестной .

В случае двух переменных каждое решение можно интерпретировать как декартовы координаты точки евклидовой плоскости . Решения линейного уравнения образуют линию на евклидовой плоскости, и, наоборот, каждую линию можно рассматривать как совокупность всех решений линейного уравнения с двумя переменными. Отсюда и возник термин «линейный», обозначающий уравнения этого типа. В более общем смысле, решения линейного уравнения с $n$ переменными образуют гиперплоскость (подпространство размерности $n - 1$ ) в евклидовом пространстве размерности $n$ .

Линейные уравнения часто встречаются во всей математике и их приложениях в физике и технике , отчасти потому, что нелинейные системы часто хорошо аппроксимируются линейными уравнениями.

В данной статье рассмотрен случай одного уравнения с коэффициентами из области действительных чисел , для которого изучаются вещественные решения. Все ее содержание применимо к сложным решениям и, шире, к линейным уравнениям с коэффициентами и решениями в любой области . Для случая нескольких одновременных линейных уравнений см. систему линейных уравнений .

Одна переменная

Линейное уравнение с одной переменной $x$ можно записать как $ax+b=0,$ с $a\neq 0$ .

Решение $x=-{\frac {b}{a}}$ .

Две переменные

Линейное уравнение с двумя переменными $x$ и $y$ можно записать как $ax+by+c=0,$ с $a$ и $b$ не оба $0$ . ^[1]

Если $a$ и $b$ — действительные числа, то оно имеет бесконечно много решений.

Линейная функция

Если $b \neq 0$ , уравнение

ax+by+c=0

— линейное уравнение с одной переменной $y$ для каждого значения $x$ . Поэтому он имеет единственное решение для $y$ , которое определяется выражением

y=-{\frac {a}{b}}x-{\frac {c}{b}}.

Это определяет функцию . График собой этой функции представляет линию с наклоном $-{\frac {a}{b}}$ и $y$ - перехват $-{\frac {c}{b}}.$ Функции, график которых представляет собой линию, обычно называются линейными функциями в контексте исчисления . Однако в линейной алгебре линейная функция — это функция, которая отображает сумму в сумму образов слагаемых. Итак, для этого определения приведенная выше функция является линейной только тогда, когда $c = 0$ , то есть когда линия проходит через начало координат. Во избежание путаницы функции, график которых представляет собой произвольную прямую, часто называют аффинными функциями , а линейные функции, такие что $c = 0,$ часто называют линейными отображениями .

Геометрическая интерпретация

Каждое решение $(x, y)$ линейного уравнения

ax+by+c=0

можно рассматривать как декартовы координаты точки на евклидовой плоскости . При такой интерпретации все решения уравнения образуют линию при условии, что $a$ и $b$ не равны нулю. И наоборот, каждая линия представляет собой набор всех решений линейного уравнения.

Словосочетание «линейное уравнение» берет свое начало в этом соответствии между линиями и уравнениями: линейное уравнение с двумя переменными — это уравнение, решения которого образуют линию.

Если $b \neq 0$ , линия представляет собой график функции x $,$ определенной в предыдущем разделе. Если $b = 0$ , линия представляет собой вертикальную линию (то есть линию, параллельную оси $y$ ) уравнения $x=-{\frac {c}{a}},$ который не является графиком функции $x$ .

Аналогично, если $a \neq 0$ , линия представляет собой график функции от $y$ , а если $a = 0$ , имеется горизонтальная линия уравнения $y=-{\frac {c}{b}}.$

Уравнение линии

Существуют различные способы определения линии. В следующих подразделах в каждом случае приводится линейное уравнение линии.

Форма пересечения наклона или форма пересечения градиента

Невертикальная линия может быть определена ее наклоном $m$ и ее $с y$ точкой пересечения $y 0$ ( $координатой y$ ее пересечения с $осью y$ ). В этом случае его линейное уравнение можно записать

y=mx+y_{0}.

Если, кроме того, линия не горизонтальна, ее можно определить по ее наклону и $x$ пересечению $с 0$ . В этом случае его уравнение можно записать

y=m(x-x_{0}),

или, что то же самое,

y=mx-mx_{0}.

Эти формы основаны на привычке рассматривать невертикальную линию как график функции . ^[2] Для линии, заданной уравнением

ax+by+c=0,

эти формы легко выводятся из соотношений

{\begin{aligned}m&=-{\frac {a}{b}},\\x_{0}&=-{\frac {c}{a}},\\y_{0}&=-{\frac {c}{b}}.\end{aligned}}

Форма «точка-наклон» или форма «точка-градиент».

Невертикальную линию можно определить по ее наклону $m$ и координатам $x_{1},y_{1}$ любой точки линии. В этом случае линейное уравнение линии имеет вид

y=y_{1}+m(x-x_{1}),

или

y=mx+y_{1}-mx_{1}.

Это уравнение также можно записать

y-y_{1}=m(x-x_{1})

за то, что я подчеркнул, что наклон линии можно вычислить по координатам любых двух точек.

Форма перехвата

Линия, которая не параллельна оси и не проходит через начало координат, разрезает оси на две разные точки. Значения пересечения $x 0$ и $y 0$ этих двух точек ненулевые, и уравнение линии имеет вид ^[3]

{\frac {x}{x_{0}}}+{\frac {y}{y_{0}}}=1.

(Легко проверить, что линия, определяемая этим уравнением, имеет значения $x 0$ и $y 0$ в качестве значений точки пересечения).

Двухточечная форма

Учитывая две разные точки $(x 1, y 1)$ и $(x 2, y 2)$ , через них проходит ровно одна прямая. Существует несколько способов записи линейного уравнения этой прямой.

Если $x 1 \neq x 2$ , наклон линии равен ${\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}.$ Таким образом, форма точечного наклона ^[3]

y-y_{1}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}(x-x_{1}).

Очистив знаменатели , получим уравнение

(x_{2}-x_{1})(y-y_{1})-(y_{2}-y_{1})(x-x_{1})=0,

что справедливо и при $x 1 = x 2$ (для проверки этого достаточно проверить, что две данные точки удовлетворяют уравнению).

Эта форма не симметрична в двух заданных точках, но симметричную форму можно получить перегруппировкой постоянных членов:

(y_{1}-y_{2})x+(x_{2}-x_{1})y+(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})=0

(замена двух точек меняет знак левой части уравнения).

Детерминантная форма

Двухточечную форму уравнения прямой можно просто выразить через определитель . Для этого есть два распространенных способа.

Уравнение $(x_{2}-x_{1})(y-y_{1})-(y_{2}-y_{1})(x-x_{1})=0$ является результатом разложения определителя в уравнении

{\begin{vmatrix}x-x_{1}&y-y_{1}\\x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}\end{vmatrix}}=0.

Уравнение $(y_{1}-y_{2})x+(x_{2}-x_{1})y+(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})=0$ можно получить, разложив по первой строке определитель в уравнении

{\begin{vmatrix}x&y&1\\x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\end{vmatrix}}=0.

Помимо того, что эта форма очень проста и мнемонична, она имеет то преимущество, что является частным случаем более общего уравнения гиперплоскости, проходящей через $n$ точек в пространстве размерности $n - 1$ . Эти уравнения опираются на условие линейной зависимости точек проективного пространства .

Более двух переменных

Всегда можно предположить, что линейное уравнение с более чем двумя переменными имеет вид

a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}+b=0.

Коэффициент $b$ , часто обозначаемый $0,$ называется постоянным членом (иногда абсолютным членом в старых книгах). ^[4]^[5]). В зависимости от контекста термин коэффициент может быть зарезервирован для $a i$ с $i > 0$ .

Когда имеешь дело с $n=3$ переменные, обычно используют $x,\;y$ и $z$ вместо индексированных переменных.

Решением такого уравнения является $n$ -кортеж, в котором замена каждого элемента кортежа на соответствующую переменную преобразует уравнение в истинное равенство.

Чтобы уравнение имело смысл, коэффициент хотя бы одной переменной должен быть отличен от нуля. Если каждая переменная имеет нулевой коэффициент, то, как уже упоминалось для одной переменной, уравнение либо несовместно (при $b \neq 0$ ), так как не имеет решения, либо все $n$ -кортежи являются решениями.

-кортежи $n$ , являющиеся решениями линейного уравнения с $n$ переменными, представляют собой декартовы координаты точек $(n - 1)$ -мерной гиперплоскости в $n$ -мерном евклидовом пространстве (или аффинном пространстве, если коэффициенты являются комплексными числами или принадлежат в любое поле). В случае трех переменных эта гиперплоскость является плоскостью .

Если задано линейное уравнение с $a j \neq 0$ , то уравнение можно решить относительно $x j$ , что дает

x_{j}=-{\frac {b}{a_{j}}}-\sum _{i\in \{1,\ldots ,n\},i\neq j}{\frac {a_{i}}{a_{j}}}x_{i}.

Если коэффициенты являются действительными числами , это определяет вещественную функцию от $n$ действительных переменных .

См. также

Примечания

^ Барнетт, Зиглер и Байлин 2008 , стр. 15
^ Ларсон и Хостетлер 2007 , с. 25
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Уилсон и Трейси 1925 , стр. 52-53.
^ Чарльз Хирам Чепмен (1892). Элементарный курс теории уравнений . Дж. Уайли и сыновья. п. 17. Фрагмент страницы 17.
^ Дэвид Мартин Сенсениг (1890). Универсализация чисел: продвинутая алгебра . Американская книжная компания. п. 113. Отрывок со стр. 113.

Ссылки

Барнетт, РА; Зиглер, MR; Байлин, К.Э. (2008), Колледж математики для бизнеса, экономики, наук о жизни и социальных наук (11-е изд.), Аппер-Сэддл-Ривер, Нью-Джерси: Пирсон, ISBN 978-0-13-157225-6
Ларсон, Рон; Хостетлер, Роберт (2007), Предварительное исчисление: краткий курс , Houghton Mifflin, ISBN 978-0-618-62719-6
Уилсон, Вашингтон; Трейси, JI (1925), Аналитическая геометрия (пересмотренная редакция), DC Heath

Внешние ссылки

«Линейное уравнение» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]

[1] Барнетт, Зиглер и Байлин 2008 , стр. 15

[2] Ларсон и Хостетлер 2007 , с. 25

[WilsonTracey-3] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Уилсон и Трейси 1925 , стр. 52-53.

[4] Чарльз Хирам Чепмен (1892). Элементарный курс теории уравнений . Дж. Уайли и сыновья. п. 17. Фрагмент страницы 17.

[5] Дэвид Мартин Сенсениг (1890). Универсализация чисел: продвинутая алгебра . Американская книжная компания. п. 113. Отрывок со стр. 113.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

v т и Полиномы и полиномиальные функции
По степени	Нулевой полином (степень неопределена или −1 или −∞) Постоянная функция (0) Линейная функция (1) Линейное уравнение Квадратичная функция (2) Квадратное уравнение Кубическая функция (3) Кубическое уравнение Функция четвертой степени (4) Уравнение четвертой степени Квинтическая функция (5) Секстическое уравнение (6) Септическое уравнение (7)
По свойствам	Одномерный Двумерный Многомерный моном Биномиальный Трехчленный Нередуцируемый без квадратов Однородный Квазиоднородный
Инструменты и алгоритмы	Факторизация Наибольший общий делитель Разделение Метод оценки Горнера Проверка полиномиальной идентичности Результирующий Дискриминант База Грёбнер