Алгебраическое уравнение

В математике алгебраическим уравнением или полиномиальным уравнением называется уравнение вида $P=0$ , где P — многочлен с коэффициентами в некотором поле , часто поле рациональных чисел . Например, $x^{5}-3x+1=0$ — алгебраическое уравнение с целыми коэффициентами и

y^{4}+{\frac {xy}{2}}-{\frac {x^{3}}{3}}+xy^{2}+y^{2}+{\frac {1}{7}}=0

— многомерное полиномиальное уравнение над рациональными числами.Для многих авторов термин «алгебраическое уравнение» относится только к одномерному случаю, то есть к полиномиальным уравнениям, в которых участвует только одна переменная . С другой стороны, полиномиальное уравнение может включать несколько переменных ( многомерный термин « полиномиальное уравнение» случай), и в этом случае обычно предпочтительнее использовать .

Некоторые, но не все полиномиальные уравнения с рациональными коэффициентами имеют решение, представляющее собой алгебраическое выражение , которое можно найти с помощью конечного числа операций, в которых задействованы только те же типы коэффициентов (то есть можно решить алгебраически ). Это можно сделать для всех таких уравнений степени первой, второй, третьей или четвертой ; но для пятой и более степени это можно сделать только для некоторых уравнений, а не для всех . Большое количество исследований было посвящено вычислению эффективно точных аппроксимаций действительных или комплексных решений одномерного алгебраического уравнения (см. Алгоритм поиска корней ) и общих решений нескольких многомерных полиномиальных уравнений (см. Система полиномиальных уравнений ).

Терминология [ править ]

Термин «алгебраическое уравнение» возник в то время, когда основной проблемой алгебры было решение одномерных полиномиальных уравнений. Эта проблема была полностью решена в XIX веке; см. Фундаментальную теорему алгебры , теорему Абеля–Руффини и теорию Галуа .

С тех пор сфера применения алгебры значительно расширилась. В частности, оно включает в себя изучение уравнений, содержащих $n-й$ корни степени , и, в более общем плане, алгебраических выражений . Это делает термин «алгебраическое уравнение» двусмысленным вне контекста старой проблемы. Поэтому термин «полиномиальное уравнение» обычно предпочтительнее, когда может возникнуть такая двусмысленность, особенно при рассмотрении многомерных уравнений.

История [ править ]

Изучение алгебраических уравнений, вероятно, так же старо, как и математика: вавилонские математики еще в 2000 году до нашей эры могли решать некоторые виды квадратных уравнений (изображенных на старовавилонских глиняных табличках ).

Одномерные алгебраические уравнения над рациональными числами (т. е. с рациональными коэффициентами) имеют очень долгую историю. Древние математики хотели найти решения в форме радикальных выражений , таких как $x={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ за положительное решение $x^{2}-x-1=0$ . Древние египтяне умели решать таким способом уравнения второй степени. Индийский математик Брахмагупта (597–668 гг. н.э.) подробно описал квадратную формулу в своем трактате «Брахмаспхутасиддханта», опубликованном в 628 г. н.э., но написанном словами, а не символами. В 9 веке Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми и другие исламские математики вывели квадратичную формулу , общее решение уравнений второй степени, и признали важность дискриминанта . В эпоху Возрождения в 1545 году Джероламо Кардано опубликовал решение Сципионе дель Ферро и Никколо Фонтана Тарталья для уравнений 3-й степени и решение Лодовико Феррари для уравнений 4-й степени . Наконец, Нильс Хенрик Абель в 1824 году доказал, что уравнения степени 5 и выше не имеют общих решений с использованием радикалов. Теория Галуа , названная в честь Эвариста Галуа , показала, что некоторые уравнения по крайней мере степени 5 не имеют даже своеобразного решения в радикалах, и дала критерии для принятия решения, действительно ли уравнение разрешимо с использованием радикалов.

Области обучения [ править ]

Алгебраические уравнения составляют основу ряда областей современной математики: Алгебраическая теория чисел — это изучение (одномерных) алгебраических уравнений над рациональными числами (то есть с рациональными коэффициентами). Теория Галуа была введена Эваристом Галуа для определения критериев, позволяющих решить, можно ли решить алгебраическое уравнение в терминах радикалов. В теории поля алгебраическое расширение — это расширение, в котором каждый элемент является корнем алгебраического уравнения над основным полем. Трансцендентная теория чисел — это изучение действительных чисел, которые не являются решениями алгебраического уравнения над рациональными числами. Диофантово уравнение — это (обычно многомерное) полиномиальное уравнение с целыми коэффициентами, для которого интересуют целочисленные решения. Алгебраическая геометрия — это исследование решений в алгебраически замкнутом поле многомерных полиномиальных уравнений.

Два уравнения эквивалентны, если они имеют одинаковый набор решений . В частности, уравнение $P=Q$ эквивалентно $P-Q=0$ . Отсюда следует, что изучение алгебраических уравнений эквивалентно изучению многочленов.

Полиномиальное уравнение над рациональными числами всегда можно преобразовать к эквивалентному, в котором коэффициенты являются целыми числами . Например, умножив на 42 = 2·3·7 и сгруппировав его члены в первом члене, получим ранее упомянутое полиномиальное уравнение $y^{4}+{\frac {xy}{2}}={\frac {x^{3}}{3}}-xy^{2}+y^{2}-{\frac {1}{7}}$ становится

42y^{4}+21xy-14x^{3}+42xy^{2}-42y^{2}+6=0.

Поскольку синус , возведение в степень и 1/ T не являются полиномиальными функциями,

e^{T}x^{2}+{\frac {1}{T}}xy+\sin(T)z-2=0

является не полиномиальным уравнением от четырех переменных x , y , z и T над рациональными числами. Однако это полиномиальное уравнение от трех переменных x , y и z над полем элементарных функций переменной T. от

Теория [ править ]

Полиномы [ править ]

Дано уравнение с неизвестным $x$

(\mathrm {E} )\qquad a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_{0}=0

,

с коэффициентами в поле $K$ , можно эквивалентно сказать, что решения (E) в $K$ являются корнями в $K$ многочлена

P=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\dots +a_{1}X+a_{0}\quad \in K[X]

.

Можно показать, что многочлен степени $n$ в поле имеет не более $n$ корней. Таким образом, уравнение (E) имеет не более $n$ решений.

Если $K'$ является расширением поля K $, а$ , можно рассматривать (E) как уравнение с коэффициентами в $K$ решения (E) в $K$ также являются решениями в $K'$ (обратное, вообще говоря, не выполняется). Всегда можно найти расширение поля $K,$ известное как поле разрыва многочлена $P$ , в котором (E) имеет хотя бы одно решение.

Существование решений вещественных и сложных уравнений [ править ]

Основная теорема алгебры гласит, что поле комплексных чисел алгебраически замкнуто, то есть все полиномиальные уравнения с комплексными коэффициентами и степенью не ниже одной имеют решение.

Отсюда следует, что все полиномиальные уравнения степени 1 и выше с действительными коэффициентами имеют комплексное решение. С другой стороны, такое уравнение, как $x^{2}+1=0$ не имеет решения в $\mathbb {R}$ (решения — мнимые единицы $i$ и $-i$ ).

Хотя действительные решения реальных уравнений интуитивно понятны (они представляют собой $координаты x$ точек, где кривая $y = P (x)$ пересекает $ось x$ ), существование комплексных решений реальных уравнений может быть неожиданным и трудным для понимания. визуализировать.

Однако унитарный многочлен нечетной степени обязательно должен иметь вещественный корень. Соответствующая полиномиальная функция по $x$ непрерывна и приближается к $-\infty$ по мере $x$ приближения $-\infty$ и $+\infty$ по мере $x$ приближения $+\infty$ . Следовательно, согласно теореме о промежуточном значении , оно должно принимать нулевое значение в некотором вещественном $x$ , которое тогда является решением полиномиального уравнения.

Связь Галуа с теорией

Существуют формулы, дающие решения действительных или комплексных многочленов степени меньше или равной четырем в зависимости от их коэффициентов. Абель показал, что такую формулу вообще невозможно найти (используя только четыре арифметических действия и извлекая корни) для уравнений пятой степени и выше. Теория Галуа предоставляет критерий, который позволяет определить, может ли решение данного полиномиального уравнения быть выражено через радикалы.

Явное решение числовых уравнений [ править ]

Подход [ править ]

Явное решение вещественного или комплексного уравнения степени 1 тривиально. Решение уравнения высшей степени $n$ сводится к факторизации соответствующего многочлена, т. е. переписыванию (E) в виде

a_{n}(x-z_{1})\dots (x-z_{n})=0

,

где решения, то $z_{1},\dots ,z_{n}$ . Тогда проблема состоит в том, чтобы выразить $z_{i}$ с точки зрения $a_{i}$ .

Этот подход применяется в более общем плане, если коэффициенты и решения принадлежат области целостности .

Общие техники [ править ]

Факторинг [ править ]

Если уравнение $P (x) = 0$ степени $n$ имеет рациональный корень $α$ , соответствующий многочлен можно разложить на множители и получить форму $P (X) = (X - α ) Q (X)$ (путем деления $P (X)$ на $X - α$ или записав $P (X) - P (α)$ как линейную комбинацию членов вида $X к - а к$ и вынесение $X - α$ . Таким образом, решение $P (x) = 0$ степени $n - 1$ сводится к решению уравнения $Q (x) = 0$ . См., например, случай $n = 3$ .

Устранение субдоминантного термина [ править ]

Чтобы решить уравнение степени $n$ ,

(\mathrm {E} )\qquad a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_{0}=0

,

Обычным предварительным шагом является исключение члена степени $n - 1$ : путем установки $x=y-{\frac {a_{n-1}}{n\,a_{n}}}$ , уравнение (E) принимает вид

a_{n}y^{n}+b_{n-2}y^{n-2}+\dots +b_{1}y+b_{0}=0

.

Леонард Эйлер разработал эту технику для случая $n = 3,$ но она также применима к случаю $n = 4$ , например, .

Квадратные уравнения [ править ]

Чтобы решить квадратное уравнение вида $ax^{2}+bx+c=0$ вычисляется дискриминант Δ, определяемый формулой $\Delta =b^{2}-4ac$ .

Если полином имеет действительные коэффициенты, он имеет:

два различных действительных корня, если $\Delta >0$ ;
один действительный двойной корень, если $\Delta =0$ ;
нет настоящего корня, если $\Delta <0$ , а два комплексно-сопряженных корня.

Кубические уравнения [ править ]

Самый известный метод решения кубических уравнений путем записи корней через радикалы — это формула Кардано .

Уравнения четвертой степени [ править ]

Подробное обсуждение некоторых методов решения см.:

Преобразование Чирнхауса (общий метод, успех которого не гарантирован);
метод Безу (общий метод, успех которого не гарантирован);
метод Феррари (решения для степени 4);
метод Эйлера (решения для степени 4);
метод Лагранжа (решения для степени 4);
метод Декарта (решения 2 или 4 степени);

Уравнение четвертой степени $ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0$ с $a\neq 0$ может быть сведено к квадратному уравнению путем замены переменной при условии, что оно либо биквадратичное ( $b = d = 0$ ), либо квазипалиндромное ( $e = a, d = b$ ).

Некоторые уравнения кубической и четвертой степени можно решить с помощью тригонометрии или гиперболических функций .

Уравнения высшей степени [ править ]

Эварист Галуа и Нильс Хенрик Абель независимо друг от друга показали, что в общем многочлен степени 5 или выше не разрешим с помощью радикалов. Некоторые конкретные уравнения имеют решения, например, те, которые связаны с круговыми полиномами 5 и 17 степеней.

Чарльз Эрмит , с другой стороны, показал, что полиномы 5-й степени разрешимы с помощью эллиптических функций .

В противном случае можно найти численные аппроксимации корней, используя алгоритмы поиска корней , такие как метод Ньютона .

См. также [ править ]

Алгебраическая функция
Алгебраическое число
Нахождение корня
Линейное уравнение (степень = 1)
Квадратное уравнение (степень = 2)
Кубическое уравнение (степень = 3)
Уравнение четвертой степени (степень = 4)
Уравнение пятой степени (степень = 5)
Секстическое уравнение (степень = 6)
Септическое уравнение (степень = 7)
Система линейных уравнений
Система полиномиальных уравнений
Линейное диофантово уравнение
Линейное уравнение над кольцом
Теорема Крамера (алгебраические кривые) о количестве точек, обычно достаточном для определения двумерной кривой n -й степени.

Ссылки [ править ]