Поле разрыва

В абстрактной поле разрыва многочлена алгебре $P(X)$ над заданным полем $K$ является поля расширением $K$ созданный корнем $a$ из $P(X)$.

Например, если $K=\mathbb {Q}$ и $P(X)=X^{3}-2$ затем $\mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{2}}]$ является полем разрыва $P(X)$.

Идея интересна, главным образом, если $P(X)$ является неприводимым над $K$. В этом случае все поля разрыва $P(X)$ над $K$ изоморфны ​ неканонически $K_{P}=K[X]/(P(X))$: если $L=K[a]$ где $a$ является корнем $P(X)$, то кольцевой гомоморфизм $f$ определяется $f(k)=k$ для всех $k\in K$ и $f(X\mod P)=a$ является изоморфизмом . Кроме того, в этом случае степень расширения равна степени расширения. $P$.

Поле разрыва многочлена не обязательно содержит все корни этого многочлена: в приведенном выше примере поле $\mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{2}}]$ не содержит двух других ( комплексных ) корней $P(X)$ (а именно $\omega {\sqrt[{3}]{2}}$ и $\omega ^{2}{\sqrt[{3}]{2}}$ где $\omega$ — примитивный кубический корень из единицы ). Информацию о поле, содержащем все корни многочлена , см. в разделе Разделение поля .

Примеры

Поле разрыва $X^{2}+1$ над $\mathbb {R}$ является $\mathbb {C}$. Это также поле расщепления .

Поле разрыва $X^{2}+1$ над $\mathbb {F} _{3}$ является $\mathbb {F} _{9}$ поскольку нет элемента $\mathbb {F} _{3}$ какой квадрат к $-1$ (и все квадратичные расширения $\mathbb {F} _{3}$ изоморфны $\mathbb {F} _{9}$).