Решение в радикалах

Решение в радикалах или алгебраическое решение — это выражение в замкнутой форме , а точнее, алгебраическое выражение в замкнутой форме , которое является решением полиномиального уравнения и полагается только на сложение , вычитание , умножение , деление , возведение в целые степени, и извлечение $n-й$ корней степени (квадратных, кубических и других целочисленных корней).

Известным примером является решение

x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}

квадратного уравнения

ax^{2}+bx+c=0.

Существуют более сложные алгебраические решения кубических уравнений. ^[1] и уравнения четвертой степени . ^[2] Теорема Абеля –Руффини , ^[3]^: 211 и, в более общем плане , теория Галуа утверждает, что некоторые уравнения пятой степени , такие как

x^{5}-x+1=0,

не имеют алгебраического решения. То же самое верно для каждой высшей степени. Однако для любой степени существуют полиномиальные уравнения, имеющие алгебраические решения; например, уравнение $x^{10}=2$ можно решить как $x=\pm {\sqrt[{10}]{2}}.$ Восемь других решений представляют собой недействительные комплексные числа , которые также являются алгебраическими и имеют вид $x=\pm r{\sqrt[{10}]{2}},$ где $r$ — корень пятой степени из единицы , который можно выразить двумя вложенными квадратными корнями . См. также функцию квинтики § Другие разрешимые квинтики для различных других примеров в степени 5.

Эварист Галуа ввел критерий, позволяющий решить, какие уравнения разрешимы в радикалах. См. Радикальное расширение для точной формулировки его результата.

Алгебраические решения образуют подмножество выражений в замкнутой форме , поскольку последние допускают трансцендентные функции (неалгебраические функции), такие как показательная функция , логарифмическая функция , а также тригонометрические функции и их обратные.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Никаллс, RWD, « Новый подход к решению кубики: раскрыто решение Кардано », Mathematical Gazette 77, ноябрь 1993 г., 354–359.
^ Карпентер, Уильям, «О решении действительной квартики», Mathematics Magazine 39, 1966, 28-30.
^ Джейкобсон, Натан (2009), Основная алгебра 1 (2-е изд.), Дувр, ISBN 978-0-486-47189-1

Эта алгеброй статья, связанная с , незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

[1] Никаллс, RWD, « Новый подход к решению кубики: раскрыто решение Кардано », Mathematical Gazette 77, ноябрь 1993 г., 354–359.

[2] Карпентер, Уильям, «О решении действительной квартики», Mathematics Magazine 39, 1966, 28-30.

[3] Джейкобсон, Натан (2009), Основная алгебра 1 (2-е изд.), Дувр, ISBN 978-0-486-47189-1

[1]

[2]

[3]