Деревянные таблички Ахмим

, Деревянные таблички Ахмим также известные как Каирские деревянные таблички. ^[1] две деревянные таблички для письма из Древнего Египта , предназначенные для решения арифметических задач. Каждый из них имеет размеры примерно 18 на 10 дюймов (460 × 250 мм) и покрыт штукатуркой . Таблички имеют надписи с обеих сторон. Иероглифические надписи на первой табличке включают список слуг, за которым следует математический текст. ^[2] Текст датирован 38 годом (сначала предполагалось, что это 28 год) правления неназванного короля. Общая датировка ранним египетским Срединным царством в сочетании с высоким годом правления позволяет предположить, что таблички могут быть датированы правлением фараона -й династии 12 Сенусрета I , ок. 1950 г. до н.э. ^[3] На второй табличке также перечислены несколько слуг и содержатся дополнительные математические тексты. ^[2]

Таблички в настоящее время хранятся в Музее египетских древностей в Каире . Текст был опубликован Даресси в 1901 году. ^[4] а затем проанализирован и опубликован в 1906 году. ^[5]

В первой половине таблички подробно описаны пять умножений хеката , единицы объема, состоящей из 64 джа , на 1/3, 1/7, 1/10, 1/11 и 1/13. Ответы были записаны в двоичных коэффициентах Глаза Гора и точных остатках египетской дроби , масштабированных до коэффициента 1/320, называемого ro . Вторая половина документа доказала правильность ответов на пять делений путем умножения ответа из двух частей и остатка на соответствующие делимые (3, 7, 10, 11 и 13), что дало ab initio hekat единство, 64/64. .

В 2002 году Хана Вымазалова получила новую копию текста из Каирского музея и подтвердила, что все пять ответов, состоящих из двух частей, были правильно проверены на точность писцом, который вернул единство 64/64 геката. На этот раз были исправлены незначительные типографские ошибки в копии двух задач Даресси: деление на 11 и 13 данных. ^[6] Доказательство того, что все пять дивизий были точными, подозревалось Даресси, но не было доказано до 1906 года.

Математическое содержание

1/3 корпуса

Первая задача делит 1 гекат , записывая его как $1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64$ + (5 ro ) (что равно 1) и разделив это выражение на 3.

Писец сначала делит остаток 5 ro на 3 и определяет, что он равен (1 + 2/3) ro .
Далее писец находит 1/3 оставшейся части уравнения и определяет, что оно равно $1/4+1/16+1/64$ .
Последний шаг в задаче состоит в проверке правильности ответа. Писец умножает $1/4+1/16+1/64+(1+2/3)ro$ на 3 и показывает, что ответ равен (1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64) + (5 ro ), что, как он знает, равно 1.

В современных математических обозначениях можно сказать, что писец показал, что 3-кратная дробь хеката (1/4 + 1/16 + 1/64) равна 63/64, и что 3-кратная остаточная часть (1 + 2 /3) ro равно 5 ro , что равно 1/64 хеката , что в сумме дает начальную единицу хеката (64/64).

Другие фракции

Остальные задачи на планшетах были рассчитаны по той же методике. Переписчик использовал тождество 1 хекат = 320 ro и разделил 64 на 7, 10, 11 и 13. Например, при вычислении 1/11 деление 64 на 11 дало 5 с остатком 45/11 ro . Это было эквивалентно (1/16 + 1/64) хеката + (4 + 1/11) ro . Проверка работы потребовала от писца умножить двучастное число на 11 и показала результат 63/64 + 1/64 = 64/64, о чем сообщали все пять доказательств.

Точность

Расчеты показывают несколько незначительных ошибок. Например, в вычислениях 1/7 $2\times 7$ было сказано, что это 12, что вдвое больше 24 во всех копиях задачи. Ошибка происходит в одном и том же месте в каждом из вариантов этой задачи, но писцу удается найти правильный ответ, несмотря на эту ошибку, поскольку единство 64/64 гекат направляло его мышление. Четвертый экземпляр деления 1/7 содержит дополнительную незначительную ошибку в одной из строк.

Вычисление 1/11 происходит четыре раза, и проблемы появляются рядом друг с другом, создавая впечатление, что писец практиковал процедуру вычисления. Вычисление 1/13 появляется один раз в полной форме и еще два раза только с частичными вычислениями. В вычислениях есть ошибки, но писец находит правильный ответ. 1/10 — единственная дробь, вычисляемая только один раз. Ошибок в вычислениях для этой задачи нет. ^[6]

Проблемы Гекат в других текстах

( Математический папирус Ринда RMP) содержал более 60 примеров умножения и деления хекат в RMP 35, 36, 37, 38, 47, 80, 81, 82, 83 и 84. Проблемы были другими, поскольку единство хекат было изменено с Двоичный 64/64 хекат и стандарт остатка ro по мере необходимости для второго стандарта 320/320, записанного в операторах 320 ro. Вот некоторые примеры:

Задачи 35–38 на поиск дробей хеката. В задаче 38 один гекат масштабируется до 320 ro и умножается на 7/22. Ответ 101 9/11 ro был доказан умножением на 22/7, факты, не упомянутые Клаггеттом и учеными до Вымазаловой. ^[7]
масштабируются В задаче 47 100 хекат до (6400/64) и умножаются (6400/64) на 1/10, 1/20, 1/30, 1/40, 1/50, 1/60, 1/70, 1/80. , дроби 1/90 и 1/100 в двоичное частное и ряд дробных единиц остатка 1/1320 (ro).
Задача 80 дала 5 долей глаза Гора хеката и эквивалентные дроби как выражения другой единицы, называемой хину . ^[7] До Вымазаловой эти вопросы оставались неясными. Задача 81 обычно преобразовывала двоичное частное единицы хекат и операторы остатка ро в эквивалентные единицы 1/10 хину, что проясняет смысл данных RMP 80.

Папирус Эберса — знаменитый медицинский текст позднего периода Среднего царства. Его необработанные данные были записаны в гекатах , предложенных деревянными табличками Ахима, и обрабатывали делители больше 64. одночастных ^[8]

Ссылки

↑ Указаны каталожные номера CG 25367 и CG 25368 в Египетском музее в Каире , Египет.
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Т. Эрик Пит , Журнал египетской археологии , Vol. 9, № 1/2 (апрель 1923 г.), стр. 91–95, Общество исследования Египта.
^ Уильям К. Симпсон, Дополнительный фрагмент из стелы «Хатнуб», Журнал ближневосточных исследований , Vol. 20, № 1 (январь 1961 г.), стр. 25–30.
^ Даресси, Жорж, Общий каталог египетских древностей Каирского музея, том № 25001-25385, 1901.
^ Даресси, Жорж, «Египетские расчеты Среднего царства», в Сборнике работ по египетской и ассирийской филологии и археологии XXVIII, 1906, 62–72.
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Вымазалова Х. «Деревянные таблички из Каира: использование зерновой единицы HK3T в Древнем Египте». Архив Orientallai, Чарльз У., Прага, стр. 27–42, 2002 г.
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Кладжетт, Маршалл «Наука Древнего Египта», Справочник . Том третий: Древнеегипетская математика (Мемуары Американского философского общества) Американское философское общество. 1999 год ISBN 978-0-87169-232-0
^ Поммеренинг, Таня, «Метрологически переосмысленная Altagyptische Holmasse» и соответствующие фармацевтические и медицинские знания, реферат, Philipps-Universität, Марбург, 8 ноября 2004 г., взято из «Die Altagyptschen Hohlmass» в исследованиях Altagyptische Kulture, приложение, 10 , Гамбург, Бюске-Верлаг, 2005 г.

Другой:

Гарденер, Майло, «Древнеегипетская проблема и ее инновационное арифметическое решение», Ганита Бхарати, 2006, том 28, Бюллетень Индийского общества истории математики, MD Publications, Нью-Дели, стр. 157–173. https://independent.academia.edu/MiloGardner/Papers/163573/The_Arithmetic_used_to_Solve_an_Ancient_Horus-Eye_Problem
Гиллингс, Р. Математика во времена фараонов . Бостон, Массачусетс: MIT Press, стр. 202–205, 1972. ISBN 0-262-07045-6 . (Распродано)

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Деревянная табличка Ахмим» . Математический мир . Масштабированные остатки AWT

[1] Указаны каталожные номера CG 25367 и CG 25368 в Египетском музее в Каире , Египет.

[Peet-2] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Т. Эрик Пит , Журнал египетской археологии , Vol. 9, № 1/2 (апрель 1923 г.), стр. 91–95, Общество исследования Египта.

[3] Уильям К. Симпсон, Дополнительный фрагмент из стелы «Хатнуб», Журнал ближневосточных исследований , Vol. 20, № 1 (январь 1961 г.), стр. 25–30.

[4] Даресси, Жорж, Общий каталог египетских древностей Каирского музея, том № 25001-25385, 1901.

[5] Даресси, Жорж, «Египетские расчеты Среднего царства», в Сборнике работ по египетской и ассирийской филологии и археологии XXVIII, 1906, 62–72.

[Vymazalova,_H_pp._27-6] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Вымазалова Х. «Деревянные таблички из Каира: использование зерновой единицы HK3T в Древнем Египте». Архив Orientallai, Чарльз У., Прага, стр. 27–42, 2002 г.

[Clagett-7] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Кладжетт, Маршалл «Наука Древнего Египта», Справочник . Том третий: Древнеегипетская математика (Мемуары Американского философского общества) Американское философское общество. 1999 год ISBN 978-0-87169-232-0

[8] Поммеренинг, Таня, «Метрологически переосмысленная Altagyptische Holmasse» и соответствующие фармацевтические и медицинские знания, реферат, Philipps-Universität, Марбург, 8 ноября 2004 г., взято из «Die Altagyptschen Hohlmass» в исследованиях Altagyptische Kulture, приложение, 10 , Гамбург, Бюске-Верлаг, 2005 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]