Проблема Альхазена
Проблема Альхазена , также известная как бильярдная проблема Альхазена , — математическая задача геометрической оптики, впервые сформулированная Птолемеем в 150 году нашей эры. [ 1 ] Он назван в честь арабского математика XI века Альхазена ( Ибн аль-Хайсама ), который представил геометрическое решение в своей «Книге оптики» . Алгебраическое решение включает уравнения четвертой степени и было найдено в 1965 году Джеком М. Элкиным .
Геометрическая формулировка
[ редактировать ]Задача состоит в том, чтобы нарисовать линии из двух точек, пересечься в третьей точке на окружности и составить равные углы с нормалью в этой точке ( зеркальное отражение ). Таким образом, его основное применение в оптике — решение задачи «Найти на сферическом выпуклом зеркале точку, в которую должен попасть луч света, исходящий из данной точки, чтобы отразиться в другую точку». Это приводит к уравнению четвертой степени . [ 2 ] [ 1 ] (Сам Альхазен никогда не использовал такое алгебраическое переписывание задачи)
Решение Альхазена
[ редактировать ]![[икона]](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1c/Wiki_letter_w_cropped.svg/20px-Wiki_letter_w_cropped.svg.png){kind=small} | Этот раздел нуждается в расширении . Вы можете помочь, добавив к нему . ( сентябрь 2021 г. ) |
Ибн аль-Хайсам решил проблему, используя конические сечения и геометрическое доказательство.
Алгебраическое решение
[ редактировать ]Более поздние математики, такие как Христиан Гюйгенс , Джеймс Грегори , Гийом де Л'Опиталь , Исаак Барроу и многие другие, пытались найти алгебраическое решение проблемы, используя различные методы, включая аналитические методы геометрии и вывод по комплексным числам . [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]
Алгебраическое решение проблемы было наконец найдено впервые в 1965 году Джеком М. Элкиным (актуарием ) с помощью полинома четвертой степени . [ 8 ] Другие решения были заново открыты позже: в 1989 году — Харальд Риде; [ 9 ] в 1990 г. (представлено в 1988 г.) Миллером и Вегом; [ 10 ] и в 1992 году Джон Д. Смит. [ 3 ] а также Йорг Вальдфогель. [ 11 ]
В 1997 году оксфордский математик Питер М. Нейман не существует конструкции линейки и циркуля. доказал, что для общего решения проблемы Альхазена [ 12 ] [ 13 ] (хотя в 1965 году Элькин уже привел контрпример евклидовой конструкции). [ 3 ]
Обобщение
[ редактировать ]Недавно исследователи из исследовательской лаборатории Mitsubishi Electric решили распространить проблему Альхазена на общие вращательно-симметричные квадратичные зеркала, включая гиперболические, параболические и эллиптические зеркала. [ 14 ] Они показали, что точку зеркального отражения можно вычислить, решив уравнение восьмой степени в самом общем случае. Если камеру (глаз) разместить на оси зеркала, степень уравнения уменьшается до шести . [ 15 ] Проблему Альхазена можно также распространить на многократное преломление от сферического шара. Учитывая источник света и сферический шар с определенным показателем преломления , ближайшую точку сферического шара, где свет преломляется к глазу наблюдателя, можно получить, решив уравнение десятой степени. [ 15 ]
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Перейти обратно: а б Вайсштейн, Эрик В. , «Бильярдная задача Альхазена» , MathWorld
- ^ О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Абу Али аль-Хасан ибн аль-Хайсам» , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
- ^ Перейти обратно: а б с Смит, Джон Д. (1992), «Замечательный Ибн аль-Хайсам», The Mathematical Gazette , 76 (475): 189–198, doi : 10.2307/3620392 , JSTOR 3620392 , S2CID 118597450
- ^ Дрекслер, Майкл; Гандер, Мартин Дж. (1998), «Круговой бильярд» , SIAM Review , 40 (2): 315–323, doi : 10.1137/S0036144596310872 , ISSN 0036-1445
- ^ Фудзимура, Масайо; Харири, Париса; Мокану, Марселина; Вуоринен, Матти (2018), «Проблема Птолемея-Альхазена и сферическое зеркальное отражение», Вычислительные методы и теория функций , 19 (1): 135–155, arXiv : 1706.06924 , doi : 10.1007/s4038-2015-2015 -z ISSN 1617-9447 , S2CID 119303124
- ^ Бейкер, Маркус (1881), «Проблема Альхазена», Американский журнал математики , 4 (1/4): 327–331, doi : 10.2307/2369168 , ISSN 0002-9327 , JSTOR 2369168
- ^ Альперин, Роджер (18 июля 2002 г.), «Математическое оригами: другой взгляд на оптическую проблему Альхазена», в книге Халл, Томас (ред.), Оригами ^ {3} , AK Peters/CRC Press, doi : 10.1201/b15735 , ISBN 978-0-429-06490-6
- ^ Элкин, Джек М. (1965), «Обманчиво простая задача», Учитель математики , 58 (3): 194–199, doi : 10.5951/MT.58.3.0194 , JSTOR 27968003
- ^ Риде, Харальд (1989), «Отражение в сферическом зеркале. Или: проблема Альхазена», Praxis der Mathematics (на немецком языке), 31 (2): 65–70.
- ^ Миллер, Аллен Р.; Вег, Эмануэль (1990), «Вычисление угла скольжения зеркального отражения», Международный журнал математического образования в области науки и технологий , 21 (2): 271–274, doi : 10.1080/0020739900210213 , ISSN 0020-739X
- ^ Вальдфогель, Йорг. «Проблема кругового бильярда». Элементы математики 47.3 (1992): 108–113. [1]
- ^ Нойманн, Питер М. (1998), «Размышления об отражении в сферическом зеркале», American Mathematical Monthly , 105 (6): 523–528, doi : 10.1080/00029890.1998.12004920 , JSTOR 2589403 , MR 1626185
- ^ Хайфилд, Роджер (1 апреля 1997 г.), «Дон решает последнюю загадку, оставленную древними греками» , Electronic Telegraph , 676 , заархивировано из оригинала 23 ноября 2004 г. , получено 24 сентября 2008 г.
- ^ Агравал, Амит; Тагучи, Юичи; Рамалингам, Шрикумар (2011), За пределами проблемы Альхазена: модель аналитической проекции для нецентральных катадиоптрических камер с квадратичными зеркалами , Конференция IEEE по компьютерному зрению и распознаванию образов, заархивировано из оригинала 7 марта 2012 г.
- ^ Перейти обратно: а б Агравал, Амит; Тагучи, Юичи; Рамалингам, Шрикумар (2010), Аналитическая прямая проекция для осевых нецентральных диоптрических и катадиоптрических камер , Европейская конференция по компьютерному зрению, заархивировано из оригинала 7 марта 2012 г.