Стрелец (геометрия)

В геометрии сагитта ) (иногда сокращенно обозначаемая как сагитта ^[1]) дуги окружности — расстояние от середины дуги до середины ее хорды . ^[2] Он широко используется в архитектуре при расчете дуги, необходимой для прохождения определенной высоты и расстояния, а также в оптике, где он используется для определения глубины сферического зеркала или линзы. Название происходит непосредственно от латинского sagitta , что означает « стрела ».

Формулы

В следующих уравнениях $s$ обозначает сагитту (глубину или высоту дуги), $r$ равен радиусу круга а , $l$ длина хорды, охватывающей основание дуги. Как ${\tfrac {1}{2}}l$ и $r-s$ две стороны прямоугольного треугольника с $r$ в качестве гипотенузы дает теорема Пифагора нам

r^{2}=\left({\tfrac {1}{2}}l\right)^{2}+\left(r-s\right)^{2}.

Это можно переставить, чтобы получить любое из трех остальных:

{\begin{aligned}s&=r-{\sqrt {r^{2}-{\tfrac {1}{4}}l^{2}}},\\[10mu]l&=2{\sqrt {2rs-s^{2}}},\\[5px]r&={\frac {s^{2}+{\tfrac {1}{4}}l^{2}}{2s}}={\frac {s}{2}}+{\frac {l^{2}}{8s}}.\end{aligned}}

Сагитту также можно вычислить по функции версуса для дуги, которая охватывает угол $Δ = 2 θ$ и совпадает с версинусом для единичных кругов.

s=r\operatorname {versin} \theta =r\left(1-\cos \theta \right)=2r\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}.

Приближение

Когда сагитта мала по сравнению с радиусом, ее можно аппроксимировать формулой ^[2]

s\approx {\frac {l^{2}}{8r}}.

Альтернативно, если сагитта мала и известны сагитта, радиус и длина хорды, их можно использовать для оценки длины дуги по формуле

a\approx l+{\frac {2s^{2}}{r}}\approx l+{\frac {8s^{2}}{3l}},

где $а$ — длина дуги ; эта формула была известна китайскому математику Шэнь Го , а более точная формула ^{[ нужны разъяснения ]} также использующая сагитту, была разработана два столетия спустя Го Шоуцзином . ^[3]

Приложения

Архитекторы, инженеры и подрядчики используют эти уравнения для создания «сплющенных» дуг, которые используются в изогнутых стенах, арочных потолках, мостах и во многих других приложениях.

Сагитта также находит применение в физике, где она используется вместе с длиной хорды для расчета радиуса кривизны ускоренной частицы. Это особенно используется в экспериментах с пузырьковой камерой , где оно используется для определения импульсов частиц распада. Точно так же исторически сагитта также используется в качестве параметра при расчете движущихся тел в центростремительной системе. Этот метод использован в Ньютона «Началах» .

См. также

Ссылки

^ Шейнифелт, Тед В. «Заметки о кругах, Джонсе и Кейсе: Что такое хаковеркосин?» . Хило, Гавайи: Гавайский университет . Архивировано из оригинала 19 сентября 2015 г. Проверено 8 ноября 2015 г.
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Вудворд, Эрнест (декабрь 1978 г.). Геометрия — плоскость, тело и аналитическое решение задач . Руководства по решению проблем для решения проблем. Ассоциация исследований и образования (REA). п. 359. ИСБН 978-0-87891-510-1 .
^ Нидхэм, Ноэль Джозеф Теренс Монтгомери (1959). Наука и цивилизация в Китае: математика и науки о небе и земле . Том. 3. Издательство Кембриджского университета . п. 39. ИСБН 9780521058018 .

Внешние ссылки

Вычисление сагитты дуги

[Shaneyfelt-1] Шейнифелт, Тед В. «Заметки о кругах, Джонсе и Кейсе: Что такое хаковеркосин?» . Хило, Гавайи: Гавайский университет . Архивировано из оригинала 19 сентября 2015 г. Проверено 8 ноября 2015 г.

[Woodward_1978-2] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Вудворд, Эрнест (декабрь 1978 г.). Геометрия — плоскость, тело и аналитическое решение задач . Руководства по решению проблем для решения проблем. Ассоциация исследований и образования (REA). п. 359. ИСБН 978-0-87891-510-1 .

[Needham_1959-3] Нидхэм, Ноэль Джозеф Теренс Монтгомери (1959). Наука и цивилизация в Китае: математика и науки о небе и земле . Том. 3. Издательство Кембриджского университета . п. 39. ИСБН 9780521058018 .

[1]

[2]

[3]