Круглый сегмент

Сегмент окружности (зеленый цвет) заключен между секущей/хордой (пунктирная линия) и дугой, конечные точки которой равны хорде (дуга, показанная над зеленой областью).

В геометрии или круглый сегмент сегмент диска (символ: ⌓ ) — это область диска . ^[1] который «отрезан» от остальной части диска прямой линией. Полная линия называется секущей , а участок внутри круга — хордой . ^[2]

Более формально, круговой сегмент — это плоская область, ограниченная дугой окружности (по соглашению менее π радиан) и хордой окружности, соединяющей ее конечные точки.

Формулы

Пусть R — радиус дуги, которая образует часть периметра сегмента, θ — центральный угол, стягивающий дугу в радианах , c , — длина хорды s — длина дуги , h ( — сагитта высота ) сегмента, d — длина дуги. апофема сегмента площадь сегмента и .

Обычно задаются или измеряются длина и высота хорды, а иногда и длина дуги как часть периметра, а неизвестными являются площадь, а иногда и длина дуги. Их невозможно рассчитать просто по длине и высоте хорды, поэтому сначала обычно рассчитываются две промежуточные величины: радиус и центральный угол.

Радиус и центральный угол

Радиус:

R={\tfrac {h}{2}}+{\tfrac {c^{2}}{8h}}

^[3]

Центральный угол

\theta =2\arcsin {\tfrac {c}{2R}}

Длина и высота хорды

Длину и высоту хорды можно вычислить обратно по радиусу и центральному углу следующим образом:

Длина хорды

c=2R\sin {\tfrac {\theta }{2}}=R{\sqrt {2(1-\cos \theta )}}

c=2{\sqrt {R^{2}-(R-h)^{2}}}=2{\sqrt {2Rh-h^{2}}}

Сагитта - это

h=R-{\sqrt {R^{2}-{\frac {c^{2}}{4}}}}=R(1-\cos {\tfrac {\theta }{2}})=R\left(1-{\sqrt {\tfrac {1+\cos \theta }{2}}}\right)={\frac {c}{2}}\tan {\frac {\theta }{4}}

Апофема

d=R-h={\sqrt {R^{2}-{\frac {c^{2}}{4}}}}=R\cos {\tfrac {\theta }{2}}

Длина и площадь дуги

Длина дуги, исходя из знакомой геометрии круга, равна

s={\theta }R

Площадь a круглого сегмента равна площади круглого сектора минус площадь треугольной части (используя формулу двойного угла, чтобы получить уравнение в терминах $\theta$ ):

a={\tfrac {R^{2}}{2}}\left(\theta -\sin \theta \right)

Что касается $R$ и $h$ ,

a=R^{2}\arccos \left(1-{\frac {h}{R}}\right)-\left(R-h\right){\sqrt {R^{2}-\left(R-h\right)^{2}}}

Что касается $c$ и $h$ ,

a=\left({\frac {c^{2}+4h^{2}}{8h}}\right)^{2}\arccos \left({\frac {c^{2}-4h^{2}}{c^{2}+4h^{2}}}\right)-{\frac {c}{16h}}(c^{2}-4h^{2})

Можно утверждать, что по мере уменьшения центрального угла (или, наоборот, увеличения радиуса) площадь a быстро и асимптотически приближается к ${\tfrac {2}{3}}c\cdot h$ . Если $\theta \ll 1$ , $a={\tfrac {2}{3}}c\cdot h$ является существенно хорошим приближением.

Если $c$ считается постоянным, а радиус может меняться, то мы имеем ${\frac {\partial a}{\partial s}}=R$

Когда центральный угол приближается к π, площадь сегмента приближается к площади полукруга: ${\tfrac {\pi R^{2}}{2}}$ , поэтому хорошим приближением является дельта-смещение от последней области:

a\approx {\tfrac {\pi R^{2}}{2}}-(R+{\tfrac {c}{2}})(R-h)

для h>.75 Р

Например, площадь составляет четверть круга, когда θ ~ 2,31 радиан (132,3 °), что соответствует высоте ~ 59,6% и длине хорды ~ 183% радиуса. ^{[ нужны разъяснения ]}

И т. д.

Периметр p — это длина дуги плюс длина хорды,

p=c+s=c+\theta R

Относительно всей площади диска $A=\pi R^{2}$ , у вас есть

{\frac {a}{A}}={\frac {\theta -\sin \theta }{2\pi }}

Приложения

Формулу площади можно использовать при расчете объема частично заполненного цилиндрического резервуара, лежащего горизонтально.

При проектировании окон или дверей с закругленными верхами c и h могут быть единственными известными значениями, и их можно использовать для расчета R для настройки циркуля чертежника.

Можно восстановить полные размеры полного круглого объекта по фрагментам, измерив длину дуги и длину хорды фрагмента.

Для проверки положения отверстий на круговом шаблоне. Особенно полезно для проверки качества обработанных изделий.

Для расчета площади или центроида плоской фигуры, содержащей круговые сегменты.

См. также

Ссылки

^ Математика при необходимости различает слова «круг» и «диск» : диск — это плоская область, границей которой является круг, а круг — это замкнутая кривая, образующая саму границу.
^ Эти термины относятся к линии, пересекающей кривую. В данном случае кривая представляет собой круг, образующий границу диска.
^ Фундаментальная связь между R, c и h, выводимая непосредственно из теоремы Пифагора между R, C/2 и rh компонентами прямоугольного треугольника: $R^{2}=({\tfrac {c}{2}})^{2}+(R-h)^{2}$ которое может быть решено для R, c или h по мере необходимости.

Вайсштейн, Эрик В. «Круговой сегмент» . Математический мир .

Внешние ссылки

Определение кругового сегмента С интерактивной анимацией
Формулы площади кругового сегмента С интерактивной анимацией

[1] Математика при необходимости различает слова «круг» и «диск» : диск — это плоская область, границей которой является круг, а круг — это замкнутая кривая, образующая саму границу.

[2] Эти термины относятся к линии, пересекающей кривую. В данном случае кривая представляет собой круг, образующий границу диска.

[3] Фундаментальная связь между R, c и h, выводимая непосредственно из теоремы Пифагора между R, C/2 и rh компонентами прямоугольного треугольника: $R^{2}=({\tfrac {c}{2}})^{2}+(R-h)^{2}$ которое может быть решено для R, c или h по мере необходимости.

[1]

[2]

[3]