Апофема

Апофема ( иногда сокращенно апо ^[1]) правильного многоугольника — это отрезок, проходящий от центра до середины одной из его сторон. Эквивалентно, это линия, проведенная из центра многоугольника , перпендикулярная одной из его сторон. Слово «апофема» также может относиться к длине этого отрезка линии и происходит от древнегреческого ἀπόθεμα («отложить, отложить»), состоящего из ἀπό («отключить, прочь») и θέμα («то, что отложено вниз"), указывая на записанную общую строку. ^[2] Правильные многоугольники — единственные многоугольники, у которых есть апофемы. Благодаря этому все апофемы в многоугольнике будут конгруэнтны .

Свойства апофем

Апофему a можно использовать для нахождения площади любого правильного n- стороннего многоугольника со стороной s по следующей формуле, которая также утверждает, что площадь равна апофеме, умноженной на половину периметра, поскольку ns = p .

A={\frac {nsa}{2}}={\frac {pa}{2}}.

Эту формулу можно получить, разделив n -сторонний многоугольник на n равных равнобедренных треугольников , а затем заметив, что апофема — это высота каждого треугольника, а площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту. Следующие формулировки эквивалентны:

A={\tfrac {1}{2}}nsa={\tfrac {1}{2}}pa={\tfrac {1}{4}}ns^{2}\cot {\frac {\pi }{n}}=na^{2}\tan {\frac {\pi }{n}}

Апофемой правильного многоугольника всегда будет радиус вписанной окружности . Это также минимальное расстояние между любой стороной многоугольника и его центром.

Это свойство также можно использовать для легкого вывода формулы площади круга, поскольку по мере того, как число сторон приближается к бесконечности, площадь правильного многоугольника приближается к площади вписанного круга радиуса r = a .

A={\frac {pa}{2}}={\frac {(2\pi r)r}{2}}=\pi r^{2}

В поисках апофемы

Апофему правильного многоугольника можно найти несколькими способами.

Апофему a правильного n -стороннего многоугольника с длиной стороны s или радиусом описанной окружности R можно найти по следующей формуле:

a={\frac {s}{2\tan {\frac {\pi }{n}}}}=R\cos {\frac {\pi }{n}}.

Апофему также можно найти по

a={\frac {s}{2}}\tan {\frac {\pi (n-2)}{2n}}.

Эти формулы можно использовать, даже если только периметр p и количество сторон n, известны поскольку s = ⁠ p / n ⁠ .

Примечания

См. также

Ссылки

^ Шейнифелт, Тед В. «Заметки о кругах, Джонсе и Кейсе: Что такое хаковеркосин?» . Хило, Гавайи: Гавайский университет . Архивировано из оригинала 19 сентября 2015 г. Проверено 8 ноября 2015 г.
^ «Определение АПОТЕМЫ» . www.merriam-webster.com . Проверено 17 февраля 2022 г.

Внешние ссылки

Апофема правильного многоугольника С интерактивной анимацией
Апофема пирамиды или усеченной пирамиды. Архивировано 21 апреля 2021 г. в Wayback Machine.
Пегг, Эд-младший «Стрела, Апофема и Аккорд» . Демонстрационный проект Wolfram .

[1] Шейнифелт, Тед В. «Заметки о кругах, Джонсе и Кейсе: Что такое хаковеркосин?» . Хило, Гавайи: Гавайский университет . Архивировано из оригинала 19 сентября 2015 г. Проверено 8 ноября 2015 г.

[2] «Определение АПОТЕМЫ» . www.merriam-webster.com . Проверено 17 февраля 2022 г.

[1]

[2]