Хорда (геометрия)

Хорда , что (от латинского chorda означает « тетива ») круга — это отрезок прямой, обе конечные точки которого лежат на дуге окружности . продолжать Если хорду бесконечно в обоих направлениях в прямую , то объектом является секущая линия . хорды, Перпендикулярная линия, проходящая через середину называется сагиттой (от латинского «стрела»).

В более общем смысле хорда — это отрезок линии, соединяющий две точки любой кривой , например, эллипса . Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром окружности .

В кругах [ править ]

Среди свойств хорд окружности можно выделить следующие:

Хорды равноудалены от центра тогда и только тогда, когда их длины равны.
Равные хорды стянуты под равными углами из центра круга.
Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром и является самой длинной хордой этой конкретной окружности.
Если продолжения прямых (секущие линии) хорд AB и CD пересекаются в точке P, то их длины удовлетворяют условию AP·PB = CP·PD ( теорема о мощности точки ).

В кониках [ править ]

Середины множества параллельных хорд коники лежат на одной прямой ( теорема о средней точке для коник ). ^[1]

В тригонометрии [ править ]

Хорды широко использовались на заре развития тригонометрии . Первая известная тригонометрическая таблица, составленная Гиппархом во II веке до нашей эры, больше не сохранилась, но в ней содержались значения функции хорды для каждого 7 + 1 / 2 градуса . Во II веке нашей эры Птолемей более обширную таблицу хорд составил в своей книге по астрономии , дающую значение хорды для углов в пределах от От 1/2 до 180 градусов с шагом 1/2 градуса . Птолемей использовал круг диаметром 120 и указал длину хорды с точностью до двух шестидесятеричных цифр (по основанию шестьдесят) после целой части. ^[2]

Функция хорды определяется геометрически, как показано на рисунке. Хорда угла — это длина хорды между двумя точками единичной окружности, разделенными этим центральным углом . Угол θ принимается в положительном смысле и должен лежать в интервале $0 < θ \leq π$ (радианная мера). Функцию хорды можно связать с современной функцией синуса , приняв одну из точек за (1,0), а другую точку за ( $cos θ, sin θ$ ), а затем используя теорему Пифагора для вычисления хорды длина: ^[2]

\operatorname {crd} \ \theta ={\sqrt {(1-\cos \theta )^{2}+\sin ^{2}\theta }}={\sqrt {2-2\cos \theta }}=2\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right).

^[3]

На последнем этапе используется формула половинного угла . Подобно тому, как современная тригонометрия построена на функции синуса, древняя тригонометрия была построена на функции хорды. Предполагается, что Гиппарх написал двенадцатитомный труд об аккордах, который теперь полностью утерян, поэтому, по-видимому, о них было известно очень многое. В таблице ниже (где c — длина хорды, а D — диаметр круга) можно показать, что функция хорды удовлетворяет многим тождествам, аналогичным хорошо известным современным:

Имя	Синусоидальный	Аккордовый
Пифагорейский	$\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1\,$	$\operatorname {crd} ^{2}\theta +\operatorname {crd} ^{2}(\pi -\theta )=4\,$
Полуугол	$\sin {\frac {\theta }{2}}=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{2}}}\,$	$\operatorname {crd} \ {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {2-\operatorname {crd} (\pi -\theta )}}\,$
Апофема ( а )	$c=2{\sqrt {r^{2}-a^{2}}}$	$c={\sqrt {D^{2}-4a^{2}}}$
Угол ( θ )	$c=2r\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)$	$c={\frac {D}{2}}\operatorname {crd} \ \theta$

Существует и обратная функция: ^[4]

\theta =2\arcsin {\frac {c}{2r}}

См. также [ править ]

Круговой сегмент - часть сектора, оставшаяся после удаления треугольника, образованного центром круга и двумя конечными точками дуги окружности на границе.
Гамма аккордов
Таблица аккордов Птолемея
Теорема Холдича для хорды, вращающейся по выпуклой замкнутой кривой.
Круговой график
Эксекант и эксекант
Версинус и гаверсинус - ( $\operatorname {crd} \theta =2{\sqrt {\operatorname {haversin} \theta }}$ )
Кривая Зиндлера (замкнутая и простая кривая, в которой все хорды, делящие длину дуги пополам, имеют одинаковую длину)
Парадокс Бертрана (вероятность) Парадокс средней длины хорды

Ссылки [ править ]

^ Гибсон, К.Г. (2003). «7.1 Срединные точки» . Элементарная евклидова геометрия: введение . Издательство Кембриджского университета. стр. 65–68. ISBN 9780521834483 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Маор, Эли (1998). Тригонометрические наслаждения . Издательство Принстонского университета. стр. 25–27. ISBN 978-0-691-15820-4 .
^ Вайсштейн, Эрик В. « Круговой сегмент ». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram.
^ Симпсон, Дэвид Г. (08 ноября 2001 г.). «АУКСТРИГ» (исходный код ФОРТРАН-90). Гринбелт, Мэриленд, США: Центр космических полетов имени Годдарда НАСА . Проверено 26 октября 2015 г.

Внешние ссылки [ править ]

История тригонометрии.
Тригонометрические функции. Архивировано 10 марта 2017 г. на Wayback Machine с упором на историю.
Хорда (окружности) С интерактивной анимацией

[1] Гибсон, К.Г. (2003). «7.1 Срединные точки» . Элементарная евклидова геометрия: введение . Издательство Кембриджского университета. стр. 65–68. ISBN 9780521834483 .

[Maor-2] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Маор, Эли (1998). Тригонометрические наслаждения . Издательство Принстонского университета. стр. 25–27. ISBN 978-0-691-15820-4 .

[3] Вайсштейн, Эрик В. « Круговой сегмент ». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram.

[Simpson_2001-4] Симпсон, Дэвид Г. (08 ноября 2001 г.). «АУКСТРИГ» (исходный код ФОРТРАН-90). Гринбелт, Мэриленд, США: Центр космических полетов имени Годдарда НАСА . Проверено 26 октября 2015 г.

[1]

[2]

[3]

[4]