Отрезок линии

Геометрическое определение замкнутого отрезка: пересечение всех точек, расположенных справа от

A,

со всеми точками, расположенных справа или слева от

B.

В геометрии отрезок — это часть прямой , которая ограничена двумя различными конечными точками и содержит каждую точку линии, находящуюся между ее конечными точками. Это частный случай дуги с нулевой кривизной . Длина между его отрезка определяется евклидовым расстоянием конечными точками. Замкнутый сегмент линии включает обе конечные точки, а разомкнутый сегмент исключает обе конечные точки; полуоткрытый отрезок включает ровно одну из конечных точек. В геометрии сегмент линии часто обозначается с помощью надстрочной линии ( винкулума ) над символами двух конечных точек, например, в $AB$ . ^[1]

Примеры сегментов линий включают стороны треугольника или квадрата. В более общем смысле, когда обе конечные точки сегмента являются вершинами многоугольника или многогранника , отрезок прямой является либо ребром ( этого многоугольника или многогранника), если они являются соседними вершинами, либо диагональю . Когда обе конечные точки лежат на кривой (например, на окружности ), отрезок прямой называется хордой (этой кривой).

В реальных или комплексных векторных пространствах

Если $V$ — векторное пространство над ⁠ $\mathbb {R}$ ⁠ или ⁠ $\mathbb {C} ,$ ⁠ и $L$ — подмножество V $,$ , то $L$ — отрезок прямой если $L$ можно параметризовать как

L=\{\mathbf {u} +t\mathbf {v} \mid t\in [0,1]\}

для некоторых векторов $\mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V$ где $v$ не равно нулю. Концами $L$ тогда являются векторы $u$ и $u + v$ .

Иногда необходимо различать «открытые» и «закрытые» отрезки. В этом случае можно было бы определить замкнутый сегмент линии , как указано выше, а разомкнутый сегмент линии как подмножество $L$ , которое можно параметризовать как

L=\{\mathbf {u} +t\mathbf {v} \mid t\in (0,1)\}

для некоторых векторов $\mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V.$

Эквивалентно, отрезок линии — это выпуклая оболочка двух точек. Таким образом, отрезок прямой можно выразить как выпуклую комбинацию двух конечных точек отрезка.

В геометрии можно было бы определить точку $B$ как находящуюся между двумя другими точками $A$ и $C$ , если расстояние $| АБ |$ добавлено к расстоянию $| до нашей эры |$ равно расстоянию $| переменного тока |$ . Таким образом, в ⁠ $\mathbb {R} ^{2},$ ⁠ отрезок с конечными точками $A=(a_{x},a_{y})$ и $C=(c_{x},c_{y})$ представляет собой следующий набор точек:

{\Biggl \{}(x,y)\mid {\sqrt {(x-c_{x})^{2}+(y-c_{y})^{2}}}+{\sqrt {(x-a_{x})^{2}+(y-a_{y})^{2}}}={\sqrt {(c_{x}-a_{x})^{2}+(c_{y}-a_{y})^{2}}}{\Biggr \}}.

Характеристики

Отрезок представляет связное непустое собой множество .
Если $V$ — топологическое векторное пространство то замкнутый отрезок — замкнутое множество в $V.$ , Однако открытый отрезок линии является открытым множеством в $V$ тогда и только тогда, $V$ одномерно когда .
В более общем смысле, чем указано выше, понятие отрезка линии может быть определено в упорядоченной геометрии .
Пара отрезков линии может быть любой из следующих: пересекающаяся , параллельная , наклонная или ни одна из них. Последняя возможность — это то, чем отрезки отличаются от прямых: если две непараллельные прямые находятся в одной евклидовой плоскости, то они должны пересекать друг друга, но это не обязательно относится к отрезкам.

В доказательствах

В аксиоматической трактовке геометрии предполагается, что понятие промежутка либо удовлетворяет определенному количеству аксиом, либо определяется в терминах изометрии линии (используемой в качестве системы координат).

Сегменты играют важную роль в других теориях. Например, в выпуклом множестве отрезок, соединяющий любые две точки множества, содержится в множестве. Это важно, поскольку преобразует часть анализа выпуклых множеств в анализ отрезка прямой. Постулат добавления сегментов можно использовать для добавления конгруэнтных сегментов или сегментов одинаковой длины и, следовательно, замены других сегментов в другое утверждение, чтобы сделать сегменты конгруэнтными.

Как вырожденный эллипс

Отрезок прямой можно рассматривать как вырожденный случай эллипса . , в котором малая полуось стремится к нулю, фокусы — к конечным точкам, а эксцентриситет — к единице Стандартное определение эллипса — это набор точек, для которых сумма расстояний точки до двух фокусов является постоянной; если эта константа равна расстоянию между фокусами, результатом будет отрезок линии. Полная орбита этого эллипса дважды пересекает отрезок прямой. Как вырожденная орбита, это радиальная эллиптическая траектория .

В других геометрических фигурах

Помимо того, что сегменты линий появляются в качестве ребер и и многогранников диагоналей многоугольников , они также появляются во многих других местах относительно других геометрических фигур .

Треугольники

Некоторые очень часто считают, что сегменты треугольника включают три высоты (каждая из которых перпендикулярно соединяет сторону или ее продолжение с противоположной вершиной ), три медианы стороны (каждая из которых соединяет середину с противоположной вершиной), серединные перпендикуляры сторон ( перпендикулярно соединяющий середину стороны с одной из других сторон) и внутренние биссектрисы (каждая из которых соединяет вершину с противоположной стороной). В каждом случае существуют различные равенства, связывающие длины этих отрезков с другими (обсуждаемые в статьях о различных типах отрезков), а также различные неравенства .

Другие представляющие интерес сегменты треугольника включают сегменты, соединяющие различные центры треугольника друг с другом, в первую очередь центр инцентра , центр описанной окружности , центр девяти точек , центроид и ортоцентр .

Четырехугольники

Помимо сторон и диагоналей четырехугольника , некоторыми важными сегментами являются две бимедианы (соединяющие середины противоположных сторон) и четыре высоты (каждый перпендикулярно соединяет одну сторону с серединой противоположной стороны).

Круги и эллипсы

Любой отрезок прямой, соединяющий две точки окружности или эллипса , называется хордой . Любая хорда окружности, у которой больше нет хорды, называется диаметром , окружности а любой отрезок, соединяющий центр (середину диаметра) с точкой на окружности, называется радиусом .

В эллипсе самая длинная хорда, которая также является самым длинным диаметром , называется большой осью , а сегмент от середины большой оси (центра эллипса) до любой конечной точки большой оси называется большой полуосью. . Аналогично, кратчайший диаметр эллипса называется малой осью , а отрезок от его средней точки (центра эллипса) до любой из его конечных точек называется малой полуосью . Хорды эллипса, перпендикулярные большой оси и проходящие через один из ее фокусов, называются латеральными прямыми эллипса. Интерфокальный сегмент соединяет два фокуса.

Направленный сегмент линии

Когда отрезку прямой задана ориентация (направление), он называется направленным отрезком . Это предполагает перемещение или смещение (возможно, вызванное силой ). Величина и направление указывают на потенциальное изменение. Продление отрезка направленной линии полубесконечно дает луч , а бесконечное удлинение в обоих направлениях дает направленную линию . Это предположение вошло в математическую физику через концепцию евклидова вектора . ^[2]^[3] Набор всех направленных отрезков линий обычно сокращается, делая «эквивалентной» любую пару, имеющую одинаковую длину и ориентацию. ^[4] Это применение отношения эквивалентности восходит к введению Джусто Беллавитисом концепции равноправия направленных отрезков прямой в 1835 году.

Обобщения

Аналогично сегментам прямых , описанным выше, можно также определить дуги как сегменты кривой .

В одномерном пространстве шар представляет собой отрезок прямой.

Ориентированный плоский сегмент или бивектор обобщает направленный сегмент.

Типы отрезков линий

См. также

Полигональная цепочка
Интервал (математика)
Пересечение отрезков прямой , алгоритмическая задача поиска пересекающихся пар в наборе отрезков прямой.

Примечания

^ «Определение сегмента линии — открытый справочник по математике» . www.mathopenref.com . Проверено 1 сентября 2020 г.
^ Гарри Ф. Дэвис и Артур Дэвид Снайдер (1988) Введение в векторный анализ , 5-е издание, стр. 1, Wm. Издательство К. Браун ISBN 0-697-06814-5
^ Матиур Рахман и Исаак Мулолани (2001) Прикладной векторный анализ , страницы 9 и 10, CRC Press ISBN 0-8493-1088-1
^ Эутикио К. Янг (1978) Векторный и тензорный анализ , страницы 2 и 3, Марсель Деккер ISBN 0-8247-6671-7

Ссылки

Дэвид Гильберт «Основы геометрии» . Издательство «Открытый суд», 1950, с. 4

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Отрезок прямой» . Математический мир .
Отрезок линии в PlanetMath
Копирование отрезка линии с помощью циркуля и линейки
Деление отрезка на N равных частей с помощью циркуля и линейки Анимированная демонстрация

Эта статья включает в себя материал из сегмента Line на сайте PlanetMath , который доступен по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .

[1] «Определение сегмента линии — открытый справочник по математике» . www.mathopenref.com . Проверено 1 сентября 2020 г.

[2] Гарри Ф. Дэвис и Артур Дэвид Снайдер (1988) Введение в векторный анализ , 5-е издание, стр. 1, Wm. Издательство К. Браун ISBN 0-697-06814-5

[3] Матиур Рахман и Исаак Мулолани (2001) Прикладной векторный анализ , страницы 9 и 10, CRC Press ISBN 0-8493-1088-1

[4] Эутикио К. Янг (1978) Векторный и тензорный анализ , страницы 2 и 3, Марсель Деккер ISBN 0-8247-6671-7

[1]

[2]

[3]

[4]