История геометрии

Геометрия (от древнегреч . γεωμετρία ; гео- «земля», -метрон «измерение») возникла как область знаний, занимающаяся пространственными отношениями. Геометрия была одной из двух областей досовременной математики , другая — изучение чисел ( арифметика ).

Классическая геометрия была сосредоточена в конструкциях циркуля и линейки . Революцию в геометрии произвел Евклид , который ввел математическую строгость и аксиоматический метод, который используется до сих пор. Его книга «Элементы» считается самым влиятельным учебником всех времен и была известна всем образованным людям на Западе до середины 20 века. ^[1]

В наше время геометрические концепции были обобщены до высокого уровня абстракции и сложности и подвергнуты методам исчисления и абстрактной алгебры, так что многие современные отрасли этой области едва можно распознать как потомков ранней геометрии. (См. Области математики и Алгебраическая геометрия .)

Ранняя геометрия [ править ]

Самые ранние зарегистрированные начала геометрии можно отнести к ранним народам, таким как древняя долина Инда (см. Хараппскую математику ) и древняя Вавилония (см. Вавилонская математика ) примерно с 3000 г. до н. э. Ранняя геометрия представляла собой собрание эмпирически открытых принципов, касающихся длин, углов, площадей и объемов, которые были разработаны для удовлетворения некоторых практических потребностей в геодезии , строительстве , астрономии и различных ремеслах. Среди них были некоторые удивительно сложные принципы, и современному математику было бы трудно вывести некоторые из них без использования исчисления и алгебры. Например, и египтяне , и вавилоняне знали о версиях теоремы Пифагора примерно за 1500 лет до того, как Пифагор и индийские Сульба-сутры около 800 г. до н. э. содержали первые утверждения теоремы; у египтян была правильная формула объема усеченной пирамиды.

Египетская геометрия [ править ]

Древние египтяне знали, что площадь круга можно определить следующим образом: ^[2]

Площадь круга ≈ [(Диаметр) x 8/9] ².

Задача 50 папируса Ахмеса использует эти методы для вычисления площади круга в соответствии с правилом, согласно которому площадь равна квадрату 8/9 диаметра круга. Предполагается, что $π$ равно 4 × (8/9). ²(или 3,160493...), с погрешностью чуть более 0,63 процента. Это значение было немного менее точным, чем расчеты вавилонян ( 25/8 = 3,125, в пределах 0,53 процента), но в остальном оно не было превзойдено до тех пор, пока не было предложено Архимедом приближение 211875/67441 = 3,14163, которое имело ошибку чуть более 1 из 10 000. .

Ахмес знал современное число 22/7 как приближение числа $π$ и использовал его для разделения хеката: хекат x 22/xx 7/22 = хекат; ^{[ нужна цитата ]} однако Ахмес продолжал использовать традиционное значение 256/81 для числа $π$ для расчета объема геката, найденного в цилиндре.

Задача 48 заключалась в использовании квадрата со стороной 9 единиц. Этот квадрат был разрезан на сетку 3х3. Из диагонали угловых квадратов получился неправильный восьмиугольник площадью 63 единицы. Это дало второе значение для $π$ , равное 3,111...

Вместе эти две задачи указывают на диапазон значений $π$ от 3,11 до 3,16.

Задача 14 в Московском математическом папирусе дает единственный древний пример определения объема усеченной пирамиды , описывающий правильную формулу:

V={\frac {1}{3}}h(a^{2}+ab+b^{2})

где a и b — длины основания и верхней стороны усеченной пирамиды, а h — высота.

Вавилонская геометрия [ править ]

Вавилоняне, возможно, знали общие правила измерения площадей и объемов. Они измерили длину окружности как трижды диаметра, а площадь как одну двенадцатую квадрата окружности, что было бы правильно, если бы π было оценено как 3. Объем цилиндра был принят как произведение основания и высоту же, объём усеченного конуса или квадратной пирамиды, ошибочно принимали как произведение высоты на половину суммы оснований. Теорема Пифагора была известна и вавилонянам. Кроме того, недавно было сделано открытие: на табличке число π использовалось как 3 и 1/8. Вавилонянам также известна вавилонская миля, которая в наши дни была мерой расстояния, равной примерно семи милям. Это измерение расстояний в конечном итоге было преобразовано в милю времени, используемую для измерения пути Солнца и, следовательно, представляющую время. ^[3] Недавние открытия показали, что древние вавилоняне, возможно, открыли астрономическую геометрию почти на 1400 лет раньше, чем это сделали европейцы. ^[4]

Индии геометрия Ведическая

В индийский ведический период существовала традиция геометрии, которая в основном выражалась в строительстве сложных алтарей. Ранние индийские тексты (1-е тысячелетие до н.э.) по этой теме включают « Сатапатха-брахмана» и «Шульба-сутры» . ^[5]^[6]^[7]

Сулба -сутры описываются как «самое раннее из сохранившихся в мире словесных выражений теоремы Пифагора, хотя оно уже было известно древним вавилонянам». ^[8] Они используют пифагорейские тройки , ^[9]^[10] которые являются частными случаями диофантовых уравнений . ^[11]

По мнению математика С.Г. Дэни, вавилонская клинописная табличка Плимптон 322, написанная ок. 1850 г. до н.э. ^[12] "содержит пятнадцать пифагорейских троек с довольно большими записями, включая (13500, 12709, 18541), которая является примитивной тройкой, ^[13] указывая, в частности, на то, что в Месопотамии в 1850 году до нашей эры существовало глубокое понимание этой темы. ^[14] «Поскольку эти таблички предшествуют периоду Сульбасутры на несколько столетий, принимая во внимание контекстуальное появление некоторых троек, разумно ожидать, что подобное понимание существовало бы и в Индии». ^[14] Дэни продолжает:

«Поскольку основной целью Сульвасутр было описание конструкции алтарей и задействованных в них геометрических принципов, тема пифагорейских троек, даже если бы она была хорошо понята, возможно, все еще не фигурировала в Сульвасутрах . Появление троек в Сульвасутрах сравнима с математикой, которую можно встретить в вводной книге по архитектуре или другой подобной прикладной области, и не соответствовало бы непосредственно общим знаниям по этой теме в то время. Поскольку, к сожалению, других современных источников не обнаружено, удовлетворительное решение этого вопроса, возможно, никогда не будет возможным». ^[15]

Греческая геометрия [ править ]

Фалес и Пифагор [ править ]

Фалес (635–543 гг. до н. э.) из Милета (ныне на юго-западе Турции) был первым, кому приписывают дедукцию в математике. Есть пять геометрических предложений, для которых он написал дедуктивные доказательства, хотя его доказательства не сохранились. Пифагор (582–496 до н. э.) из Ионии, а затем Италии, тогда колонизированной греками, возможно, был учеником Фалеса и путешествовал в Вавилон и Египет . Теорема, носящая его имя, возможно, не была его открытием, но он, вероятно, был одним из первых, кто дал ее дедуктивное доказательство. Он собрал вокруг себя группу студентов для изучения математики, музыки и философии, и вместе они открыли для себя большую часть того, что сегодня изучают старшеклассники на курсах геометрии. Кроме того, они сделали глубокое открытие несоизмеримости длин и иррациональных чисел .

Платон [ править ]

Платон (427–347 до н.э.) – философ, пользовавшийся большим уважением у греков. Есть история, которую он написал над входом в свою знаменитую школу: «Пусть сюда не войдет никто, не знающий геометрии». Однако эта история считается неправдой. ^[16]Хотя он сам не был математиком, его взгляды на математику имели большое влияние. Математики, таким образом, приняли его убеждение, что геометрия не должна использовать никаких инструментов, кроме циркуля и линейки, и никогда не должна использовать измерительные инструменты, такие как отмеченная линейка или транспортир , потому что это были инструменты рабочего, недостойные ученого. Это изречение привело к глубокому изучению возможных конструкций циркуля и линейки , а также к трем классическим строительным задачам: как использовать эти инструменты для разделения угла пополам , построить куб, в два раза превышающий объем данного куба, и построить квадрат равной площади. в заданный круг. Доказательства невозможности этих конструкций, наконец достигнутые в XIX веке, привели к важным принципам, касающимся глубокой структуры действительной системы счисления. Аристотель (384–322 до н. э.), величайший ученик Платона, написал трактат о методах рассуждения, используемых в дедуктивных доказательствах (см. «Логика» ), который существенно не улучшался до 19 века.

Эллинистическая геометрия [ править ]

Евклид [ править ]

Статуя Евклида в Музее естественной истории Оксфордского университета .

Евклид (ок. 325–265 до н.э.) из Александрии , вероятно, студент Академии, основанной Платоном, написал трактат в 13 книгах (главах) под названием « Начала геометрии» , в котором представил геометрию в идеальной аксиоматической форме, которая стала известна как евклидова геометрия . Трактат не является сборником всего, что эллинистические математики знали в то время о геометрии; Сам Евклид написал еще восемь сложных книг по геометрии. Из других источников мы знаем, что учебник Евклида не был первым учебником элементарной геометрии, но он был настолько превосходен, что остальные вышли из употребления и были утеряны. Его привез в университет в Александрии Птолемей I , царь Египта.

«Элементы» начались с определений терминов, фундаментальных геометрических принципов (называемых аксиомами или постулатами ) и общих количественных принципов (называемых общими понятиями ), из которых можно было логически вывести всю остальную геометрию. Ниже приведены его пять аксиом, несколько перефразированные, чтобы облегчить чтение английского языка.

Любые две точки можно соединить прямой линией.
Любую конечную прямую можно продолжить в прямую.
Круг можно нарисовать с любым центром и любым радиусом.
Все прямые углы равны между собой.
Если две прямые на плоскости пересекаются другой прямой (называемой трансверсалью), а внутренние углы между двумя прямыми и трансверсалью, лежащей по одну сторону от трансверсали, в сумме составляют менее двух прямых углов, то на этой стороне трансверсали две продолженные линии пересекутся (также называемый постулатом параллельности ).

Понятия, которые сейчас понимаются как алгебра , были выражены Евклидом геометрически, методом, называемым греческой геометрической алгеброй .

Archimedes[editАрхимед

Архимед (287–212 до н.э.) из Сиракуз , Сицилия , когда это был греческий город-государство , был одним из самых известных математиков эллинистического периода . Он известен своей формулировкой гидростатического принципа (известного как принцип Архимеда ) и своими работами по геометрии, включая «Измерение круга» и «О коноидах и сфероидах» . Его работа «О плавающих телах» — первая известная работа по гидростатике, основателем которой считается Архимед. Переводы его работ эпохи Возрождения, включая древние комментарии, оказали огромное влияние на работы некоторых из лучших математиков 17-го века, особенно Рене Декарта и Пьера де Ферма . ^[17]

После Архимеда [ править ]

После Архимеда эллинистическая математика начала приходить в упадок. Было еще несколько второстепенных звезд, но золотой век геометрии закончился. Прокл (410–485), автор «Комментариев к первой книге Евклида» , был одним из последних важных деятелей эллинистической геометрии. Он был компетентным геометром, но, что более важно, превосходным комментатором работ, предшествовавших ему. Большая часть этих работ не сохранилась до наших дней и известна нам только по его комментариям. Римская республика и империя, пришедшие на смену греческим городам-государствам и поглотившие их, выпустили прекрасных инженеров, но не выдающихся математиков.

Великая Александрийская библиотека позже была сожжена. Среди историков растёт консенсус в отношении того, что Александрийская библиотека, вероятно, пострадала от нескольких разрушительных событий, но что разрушение языческих храмов Александрии в конце IV века было, вероятно, самым серьёзным и окончательным событием. Доказательства этого разрушения являются наиболее точными и надежными. Вторжение Цезаря вполне могло привести к потере около 40 000–70 000 свитков на складе, прилегающем к порту (как утверждает Лучано Канфора , скорее всего, это были копии, произведенные Библиотекой и предназначенные для экспорта), но вряд ли это повлияло на Библиотеку. или Музей, учитывая, что существует множество свидетельств того, что оба существовали позже. ^[18]

Гражданские войны, уменьшение инвестиций в обслуживание и приобретение новых свитков и общее снижение интереса к нерелигиозным занятиям, вероятно, способствовали сокращению объема материалов, доступных в Библиотеке, особенно в IV веке. Серапеум определенно был разрушен Теофилом в 391 году, а музей и библиотека, возможно, стали жертвами той же кампании.

Классическая индийская геометрия [ править ]

В рукописи Бахшали есть несколько геометрических задач (включая задачи об объёмах неправильных тел). В рукописи Бахшали также «используется десятичная система значений с точкой вместо нуля». ^[19] Арьябхатия Арьябхаты ( 499 ) включает вычисление площадей и объемов.

Брахмагупта написал свой астрономический труд «Брахма Спхута Сиддханта» в 628 году. Глава 12, содержащая 66 санскритских стихов, была разделена на два раздела: «основные операции» (включая кубические корни, дроби, соотношения и пропорции, а также обмен) и «практическая математика» (включая кубические корни, дроби, соотношение и пропорции, а также обмен). смесь, математический ряд, плоские фигуры, укладка кирпичей, распиловка леса, складывание зерна). ^[20] В последнем разделе он сформулировал свою знаменитую теорему о диагоналях вписанного четырехугольника : ^[20]

Теорема Брахмагупты: если вписанный четырехугольник имеет диагонали, перпендикулярные друг другу, то перпендикуляр, проведенный из точки пересечения диагоналей к любой стороне четырехугольника, всегда делит противоположную сторону пополам.

Глава 12 также включала формулу площади вписанного четырехугольника (обобщение формулы Герона ), а также полное описание рациональных треугольников ( т. е. треугольников с рациональными сторонами и рациональными площадями).

Формула Брахмагупты: площадь A вписанного четырехугольника со сторонами длиной a , b , c , d соответственно определяется выражением

A={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}

где s — полупериметр , определяемый формулой: $s={\frac {a+b+c+d}{2}}.$

Теорема Брахмагупты о рациональных треугольниках: треугольник с рациональными сторонами. $a,b,c$ а рациональная площадь имеет вид:

a={\frac {u^{2}}{v}}+v,\ \ b={\frac {u^{2}}{w}}+w,\ \ c={\frac {u^{2}}{v}}+{\frac {u^{2}}{w}}-(v+w)

для некоторых рациональных чисел $u,v,$ и $w$ . ^[21]

Парамешвара Намбудири был первым математиком, давшим формулу радиуса круга , описывающего вписанный четырехугольник. ^[22]Это выражение иногда приписывают Луилье [1782], 350 лет спустя. Поскольку стороны вписанного четырехугольника равны a, b, c и d , радиус R описанной окружности равен:

R={\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+c-d)}}}.

Китайская геометрия [ править ]

Девять *глав математического искусства* , впервые составленные в 179 году нашей эры, с добавленными в III веке комментариями Лю Хуэя .

Первой исчерпывающей работой (или, по крайней мере, самой старой из существующих) по геометрии в Китае был « Мо Цзин» , могистский канон раннего философа Мо-цзы (470–390 до н. э.). Он был составлен спустя годы после его смерти его последователями примерно в 330 году до нашей эры. ^[23]Хотя « Мо Цзин» — старейшая существующая книга по геометрии в Китае, существует вероятность, что существовали еще более древние письменные материалы. Однако из-за печально известного сожжения книг в результате политического маневра правителя Цинь династии Цинь Шихуана (годы правления 221–210 до н. э.), множество письменной литературы, созданной до его времени, было уничтожено. Кроме того, Мо Цзин представляет геометрические концепции математики, которые, возможно, слишком продвинуты, чтобы не иметь предыдущей геометрической основы или математического фона для работы.

« Мо Цзин» описал различные аспекты многих областей, связанных с физической наукой, а также предоставил небольшой объем информации по математике. Он дал «атомарное» определение геометрической точки, заявив, что линия разделена на части, а часть, которая не имеет оставшихся частей (т. е. не может быть разделена на более мелкие части) и, таким образом, образует крайний конец линии, является точкой. . ^[23] Подобно « первому и третьему определениям Евклида и Платона началу линии» , Мо Цзин утверждает, что «точка может стоять в конце (линии) или в ее начале, как предлежание головы при родах. (Что касается его невидимости), то нет ничего похожего на него». ^[24] Подобно атомистам Демокрита утверждал, что точка — это наименьшая единица, и ее , Мо Цзин нельзя разрезать пополам, поскольку «ничто» не может быть разделено пополам. ^[24] В нем говорилось, что две линии одинаковой длины всегда заканчиваются в одном и том же месте. ^[24] давая определения для сравнения длин и параллелей , ^[25] наряду с принципами пространства и ограниченного пространства. ^[26] Там также описывался тот факт, что плоскости без качества толщины не могут складываться в кучу, поскольку они не могут взаимно соприкасаться. ^[27] В книге даны определения окружности, диаметра и радиуса, а также определение объема. ^[28]

( Период династии Хань 202 г. до н. э. – 220 г. н. э.) в Китае стал свидетелем нового расцвета математики. Одним из старейших китайских математических текстов, в которых описываются геометрические прогрессии, был Суань сю шу 186 г. до н. э., в эпоху Западной Хань. Математик, изобретатель и астроном Чжан Хэн (78–139 гг. н.э.) использовал геометрические формулы для решения математических задач. Хотя приблизительные оценки числа пи ( π ) были даны в Чжоу Ли (составленном во 2 веке до нашей эры), ^[29]именно Чжан Хэн был первым, кто предпринял согласованные усилия по созданию более точной формулы числа Пи. Чжан Хэн приблизительно определил число Пи как 730/232 (или примерно 3,1466), хотя для нахождения сферического объема он использовал другую формулу числа Пи, используя вместо этого квадратный корень из 10 (или примерно 3,162). Цзу Чунчжи (429–500 гг. н.э.) улучшил точность аппроксимации числа Пи до значений от 3,1415926 до 3,1415927, при этом ³⁵⁵⁄ ₁₁₃ (密率, Милю, детальное приближение) и ²²⁄ ₇ (约率, Юэлю, грубое приближение) является еще одним заметным приближением. ^[30] По сравнению с более поздними работами формула числа Пи, данная французским математиком Франциском Вьета (1540–1603), находилась на полпути между приближениями Зу.

о математическом искусстве глав Девять

«Девять глав о математическом искусстве» , название которых впервые появилось в 179 году нашей эры на бронзовой надписи, редактировал и комментировал математик III века Лю Хуэй из королевства Цао Вэй . В эту книгу вошли многие задачи, связанные с применением геометрии, такие как нахождение площадей поверхностей квадратов и кругов, объемов твердых тел различных трехмерных форм, а также использование теоремы Пифагора . В книге представлено иллюстрированное доказательство теоремы Пифагора. ^[31] содержал письменный диалог между более ранним герцогом Чжоу и Шан Гао о свойствах прямоугольного треугольника и теореме Пифагора, а также ссылался на астрономический гномон , круг и квадрат, а также измерения высот и расстояний. ^[32]Редактор Лю Хуэй указал число Пи как 3,141014, используя 192-сторонний многоугольник , а затем вычислил число Пи как 3,14159, используя 3072-сторонний многоугольник. Это было более точно, чем современник Лю Хуэя Ван Фань , математик и астроном из Восточного У , представил число Пи как 3,1555, используя ¹⁴²⁄ ₄₅. ^[33]Лю Хуэй также писал о математических съемках для расчета расстояний по глубине, высоте, ширине и площади поверхности. С точки зрения твердотельной геометрии он выяснил, что клин с прямоугольным основанием и наклонными обеими сторонами можно разбить на пирамиду и четырехгранный клин. ^[34] Он также выяснил, что из клина с трапециевидным основанием и скошенными с обеих сторон можно получить два тетраэдрических клина, разделенных пирамидой. ^[34]Кроме того, Лю Хуэй описал принцип Кавальери по объему, а также метод исключения Гаусса . В девяти главах перечислены следующие геометрические формулы, которые были известны во времена бывшей династии Хань (202 г. до н.э. – 9 г. н.э.).

Области для ^[35]

Квадрат
Прямоугольник
Круг
Равнобедренный треугольник

Ромбовидный
Трапеция
Двойная трапеция
Сегмент круга
Кольцо («кольцо» между двумя концентрическими кругами)

Объемы для ^[34]

Параллелепипед с двумя квадратными поверхностями.
Параллелепипед без квадратных поверхностей
Пирамида
Усеченная пирамида с квадратным основанием
Усеченная пирамида с прямоугольным основанием и неравными сторонами.

Куб
Призма
Клин с прямоугольным основанием и скошенными с обеих сторон.
Клин с трапециевидным основанием и скошенными с обеих сторон.
Тетраэдрический клин

Усеченный клин второго типа (применяется для применения в технике)
Цилиндр
Конус с круглым основанием
Кусок конуса
Сфера

Продолжая геометрическое наследие древнего Китая, появилось много более поздних фигур, в том числе знаменитый астроном и математик Шэнь Го (1031-1095 гг. н.э.), Ян Хуэй (1238-1298), открывший треугольник Паскаля , Сюй Гуанци (1562-1633). , и многие другие.

ислама век Золотой

Табит ибн Курра , используя то, что он назвал методом редукции и композиции, предоставил два разных общих доказательства теоремы Пифагора для всех треугольников , до которых доказательства теоремы существовали только для особых случаев особого прямоугольного треугольника . ^[36]

В статье 2007 года в журнале Science было высказано предположение, что плитки гирих обладают свойствами, согласующимися с самоподобными фрактальными квазикристаллическими плитками, такими как плитки Пенроуза . ^[37]^[38]

Ренессанс [ править ]

Передача греческой классики в средневековую Европу через арабскую литературу 9-10 веков. « Золотой век ислама » начался в 10 веке и достиг кульминации в латинских переводах 12 века . Копия « была » Птолемея Альмагеста привезена на Сицилию Генрихом Аристиппом (ум. 1162) в качестве подарка императора королю Вильгельму I (годы правления 1154–1166). Анонимный студент из Салерно отправился на Сицилию и перевел Альмагест , а также несколько произведений Евклида с греческого на латынь. ^[39]Хотя сицилийцы обычно переводили непосредственно с греческого, когда греческие тексты были недоступны, они переводили с арабского. Евгений Палермский » Птолемея (ум. 1202) перевел «Оптику на латынь, опираясь на свое знание всех трех языков для выполнения этой задачи. ^[40] Строгие дедуктивные методы геометрии, найденные в «Началах геометрии » Евклида , были заново изучены, и дальнейшее развитие геометрии в стилях Евклида ( евклидова геометрия ) и Хайяма ( алгебраическая геометрия ) продолжалось, что привело к появлению множества новых теорем и концепций, многие из которых они очень глубокие и элегантные.

Достижения в трактовке перспективы были достигнуты в искусстве эпохи Возрождения 14-15 веков, которые превзошли все достижения античности. В архитектуре эпохи Возрождения были Кватроченто исследованы концепции архитектурного порядка и сформулированы правила. Ярким примером является базилика Сан-Лоренцо во Флоренции работы Филиппо Брунеллески (1377–1446). ^[41]

В ц. 1413 Филиппо Брунеллески очертания различных флорентийских продемонстрировал геометрический метод перспективы, используемый сегодня художниками, нарисовав на зеркале зданий. Вскоре после этого почти каждый художник Флоренции и Италии использовал в своих картинах геометрическую перспективу. ^[42]особенно Мазолино да Паникале и Донателло . Мелоццо да Форли впервые применил технику ракурса вверх (в Риме, Лорето , Форли и др.) и прославился этим. Перспектива была не только способом показать глубину, но и новым методом композиции картины. Картины стали изображать одну единую сцену, а не комбинацию нескольких.

Как показало быстрое распространение картин с точной перспективой во Флоренции, Брунеллески, вероятно, понял (с помощью своего друга, математика Тосканелли ), что ^[43]но не опубликовал, за перспективой стоит математика. Десятилетия спустя его друг Леон Баттиста Альберти написал De pictura (1435/1436), трактат о правильных методах изображения расстояния в живописи, основанный на евклидовой геометрии. Альберти также обучался оптике в школе Падуи и под влиянием Бьяджо Пелакани да Парма Альхазена , который изучал оптику .

Пьеро делла Франческа подробно остановился на Делла Питтуре в своей книге «De Prospectiva Pingendi» 1470-х годов. Альберти ограничился фигурами на первом плане и дал общую основу для перспективы. Делла Франческа конкретизировала это, явно охватывая твердые тела в любой области картинной плоскости. Делла Франческа также начал общепринятую практику использования иллюстрированных фигур для объяснения математических концепций, что сделало его трактат более понятным, чем трактат Альберти. Делла Франческа также была первой, кто точно нарисовал Платоновы тела так, как они выглядели в перспективе.

Перспектива какое-то время оставалась прерогативой Флоренции. Ян ван Эйк , среди прочих, не смог создать последовательную структуру сходящихся линий в картинах, как в лондонском «Портрете Арнольфини» , потому что не знал о теоретическом прорыве, произошедшем тогда в Италии. Однако он добился очень тонких эффектов, манипулируя масштабом своих интерьеров. Постепенно, частично благодаря движению академий искусств, итальянские техники стали частью обучения художников по всей Европе, а затем и в других частях мира. Кульминация этих традиций Возрождения находит свой окончательный синтез в исследованиях архитектора, геометра и оптика Жирара Дезарга в области перспективы, оптики и проективной геометрии.

Витрувианский человек Леонардо да Винчи (ок. 1490 г.) ^[44]изображает человека в двух наложенных позициях с разведенными руками и ногами и вписанным в круг и квадрат. Рисунок основан на соотношениях идеальных человеческих пропорций с геометрией, описанных древнеримским архитектором Витрувием в третьей книге его трактата «Об архитектуре» .

Современная геометрия [ править ]

17 век [ править ]

В начале 17 века в геометрии произошли два важных события. Первым и наиболее важным было создание аналитической геометрии , или геометрии с координатами и уравнениями , Рене Декартом (1596–1650) и Пьером де Ферма (1601–1665). Это было необходимым предшественником развития исчисления и точной количественной науки физики . Вторым геометрическим достижением этого периода стало систематическое изучение проективной геометрии Жираром Дезаргом (1591–1661). Проективная геометрия — это изучение геометрии без измерений, а просто изучение того, как точки совмещаются друг с другом. Некоторые ранние работы в этой области проводились эллинистическими геометрами, в частности Паппом (ок. 340 г.). Наибольший расцвет поля произошел при Жане-Викторе Понселе (1788–1867).

В конце 17 века исчисление было независимо и почти одновременно разработано Исааком Ньютоном (1642–1727) и Готфридом Вильгельмом Лейбницем (1646–1716). Это было началом новой области математики, которая теперь называется анализом . Хотя сама по себе она не является разделом геометрии, она применима к геометрии и решает два семейства задач, которые долгое время были почти неразрешимыми: поиск касательных линий к нечетным кривым и поиск областей, ограниченных этими кривыми. Методы исчисления свели эти проблемы в основном к простым вычислениям.

XVIII и XIX века [ править ]

Неевклидова геометрия [ править ]

Очень старая проблема доказательства пятого постулата Евклида, « постулата параллельности », из его первых четырех постулатов никогда не была забыта. Начиная вскоре после Евклида, было предпринято множество попыток доказательства, но позже все они оказались ошибочными, поскольку в рассуждения был включен некий принцип, который сам по себе не был доказан из первых четырех постулатов. Хотя Омару Хайяму также не удалось доказать постулат о параллельности, его критика теорий параллелей Евклида и его доказательство свойств фигур в неевклидовой геометрии способствовали возможному развитию неевклидовой геометрии . К 1700 году многое было обнаружено о том, что можно доказать на основании первых четырех, и в чем заключаются ловушки при попытке доказать пятое. Саккери , Ламбер и Лежандр проделали превосходную работу над этой проблемой в XVIII веке, но все же не добились успеха. В начале 19 века Гаусс , Иоганн Больяи и Лобачевский , каждый независимо, придерживались разных подходов. Начав подозревать, что доказать постулат о параллельности невозможно, они решили разработать самосогласованную геометрию, в которой этот постулат был ложным. В этом они преуспели, создав первую неевклидову геометрию. К 1854 году Бернхард Риман , ученик Гаусса, применил методы исчисления в новаторском исследовании внутренней (самостоятельной) геометрии всех гладких поверхностей и тем самым нашел другую неевклидову геометрию. Эта работа Римана впоследствии стала основополагающей для Эйнштейна относительности теории .

«Ньютон» Уильяма Блейка представляет собой демонстрацию его оппозиции «единому видению» научного материализма ; здесь Исаак Ньютон изображен как «божественный геометр» (1795 г.).

Предстояло математически доказать, что неевклидова геометрия так же самосогласована, как и евклидова геометрия, и это было впервые сделано Бельтрами в 1868 году. Тем самым неевклидова геометрия была установлена на равной математической основе с евклидовой геометрией.

Хотя теперь было известно, что различные геометрические теории математически возможны, оставался вопрос: «Какая из этих теорий верна для нашего физического пространства?» Математическая работа показала, что на этот вопрос следует ответить с помощью физических экспериментов, а не математических рассуждений, и раскрыла причину, по которой эксперименты должны включать огромные (межзвездные, а не земные) расстояния. С развитием теории относительности в физике этот вопрос значительно усложнился.

Введение математической строгости [ править ]

Вся работа, связанная с постулатом о параллельности, выявила, что геометру довольно сложно отделить свои логические рассуждения от интуитивного понимания физического пространства, и, более того, выявила исключительную важность этого. Тщательное исследование выявило некоторые логические несоответствия в рассуждениях Евклида и некоторые неустановленные геометрические принципы, к которым иногда апеллировал Евклид. Эта критика соответствовала кризису, происходящему в исчислении и анализе значения бесконечных процессов, таких как конвергенция и непрерывность. В геометрии существовала явная потребность в новом наборе аксиом, который был бы полным и который никоим образом не опирался бы на нарисованные нами картинки или на наше интуитивное представление о пространстве. Такие аксиомы, ныне известные как аксиомы Гильберта , были даны Дэвидом Гильбертом в 1894 году в его диссертации Grundlagen der Geometrie ( «Основы геометрии »).

Место анализа топология , или

В середине 18 века стало очевидно, что определенные успехи в математических рассуждениях повторяются, когда аналогичные идеи изучаются на числовой прямой, в двух и трех измерениях. Таким образом, общее понятие метрического пространства было создано для того, чтобы рассуждения можно было провести в более общем виде, а затем применить к частным случаям. Этот метод изучения концепций, связанных с исчислением и анализом, стал известен как анализ ситуации, а позже как топология . Важными темами в этой области были свойства более общих фигур, такие как связность и границы, а не такие свойства, как прямолинейность, и точное равенство измерений длины и угла, что было в центре внимания евклидовой и неевклидовой геометрии. Топология вскоре стала отдельной важной областью, а не подобластью геометрии или анализа.

Геометрия более чем 3 измерений [ править ]

разработал общую концепцию евклидова пространства В 19 веке Людвиг Шлефли , который расширил евклидову геометрию за пределы трех измерений. Он открыл все многомерные аналоги Платоновых тел , обнаружив, что существует ровно шесть таких правильных выпуклых многогранников в четвертом измерении и три во всех более высоких измерениях.

В 1878 году Уильям Кингдон Клиффорд представил то, что сейчас называется геометрической алгеброй , объединив Уильяма Роуэна Гамильтона с кватернионы алгеброй Германа Грассмана и раскрыв геометрическую природу этих систем, особенно в четырех измерениях. Операции геометрической алгебры приводят к зеркальному отображению, вращению, перемещению и отображению моделируемых геометрических объектов в новые положения.

20 век [ править ]

Развитие алгебраической геометрии включало изучение кривых и поверхностей над конечными полями , о чем свидетельствуют, в частности, работы Андре Вейля , Александра Гротендика и Жан-Пьера Серра, а также над действительными или комплексными числами. Сама конечная геометрия , исследование пространств с конечным числом точек, нашла применение в теории кодирования и криптографии . С появлением компьютеров новые дисциплины, такие как вычислительная геометрия или цифровая геометрия, имеют дело с геометрическими алгоритмами, дискретными представлениями геометрических данных и т. д.

Хронология [ править ]

См. также [ править ]

Флатландия , книга «А. Квадрата» о двух- и трехмерном пространстве , для понимания концепции четырех измерений.
Хронология геометрии - Известные события в истории геометрии.
История евклидовой геометрии
История неевклидовой геометрии
История математики
История измерений
История космоса (математика)
Важные публикации по геометрии
Программное обеспечение для интерактивной геометрии
Список тем по геометрии
Современная геометрия треугольника

Примечания [ править ]

^ Говард Ивс, Введение в историю математики , Сондерс: 1990 ( ISBN 0-03-029558-0 ), с. 141: «Ни одно произведение, кроме Библии , не использовалось более широко…»
^ Рэй К. Юргенсен, Альфред Дж. Доннелли и Мэри П. Дольчиани. Редакционные консультанты Эндрю М. Глисон, Альберт Э. Медер-младший. Современная школьная математика: геометрия (студенческое издание). Компания Houghton Mifflin, Бостон, 1972, с. 52. ISBN 0-395-13102-2 . Издание для учителей ISBN 0-395-13103-0 .
^ Евс, Глава 2.
^ «Глиняные таблички показывают, что вавилоняне открыли астрономическую геометрию на 1400 лет раньше европейцев – The Washington Post» . Вашингтон Пост .
^ А. Зайденберг, 1978. Происхождение математики. Архив истории точных наук, том 18.
^ ( Сталь 1999 )
^ Большинство математических проблем, рассматриваемых в «Шульба-сутрах», возникают из «единого богословского требования» - строительства огненных алтарей, которые имеют разную форму, но занимают одну и ту же площадь. Алтари должны были быть построены из пяти слоев обожженного кирпича с условием, чтобы каждый слой состоял из 200 кирпичей и чтобы никакие два соседних слоя не имели одинакового расположения кирпичей. ( Хаяси 2003 , стр. 118)
^ Хаяши 2005 , стр. 363.
^ Кнудсен 2018 , стр. 87.
^ Тройки Пифагора - это тройки целых чисел. $(a,b,c)$ с имуществом: $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ . Таким образом, $3^{2}+4^{2}=5^{2}$ , $8^{2}+15^{2}=17^{2}$ , $12^{2}+35^{2}=37^{2}$ и т. д.
^ ( Кук 2005 , стр. 198): «Арифметическое содержание Шульва -сутр состоит из правил поиска пифагорейских троек, таких как (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17). , и (12, 35, 37). Неизвестно, какое практическое значение имели эти арифметические правила. Лучшее предположение состоит в том, что в индуистском доме должно было гореть три огня на трех разных алтарях. три алтаря должны были иметь разную форму, но все три должны были иметь одинаковую площадь. Эти условия приводили к определенным «диофантовым» проблемам, частным случаем которых является генерация пифагорейских троек, чтобы одно квадратное целое число было равно. сумма двух других».
^ Математический факультет Университета Британской Колумбии, Вавилонский стол Плимптона 322 .
^ Три положительных целых числа $(a,b,c)$ образуют примитивную тройку Пифагора, если $c^{2}=a^{2}+b^{2}$ и если наибольший общий делитель $a,b,c$ равно 1. В конкретном примере Plimpton322 это означает, что $13500^{2}+12709^{2}=18541^{2}$ и что эти три числа не имеют общих делителей. Однако некоторые ученые оспаривают пифагорейскую интерпретацию этой таблички; подробности см. в Plimpton 322.
^ Перейти обратно: ^а ^б Дэни 2003 , стр. 223.
^ Дэни 2003 , стр. 223–224.
^ Черовицо, Билл. «Что именно было написано над дверью Академии Платона?» (PDF) . www.math.ucdenver.edu/ . Архивировано (PDF) из оригинала 25 июня 2013 г. Проверено 8 апреля 2015 г.
^ «Архимед» . Британская энциклопедия.
^ Лучано Канфора ; Исчезнувшая библиотека ; Издательство Калифорнийского университета, 1990. — Google Books.
^ ( Хаяши 2005 , стр. 371)
^ Перейти обратно: ^а ^б ( Хаяси 2003 , стр. 121–122)
^ ( Стилвелл 2004 , стр. 77)
^ Радха Чаран Гупта [1977] «Правило Парамешвары для описанного радиуса вписанного четырехугольника», Historia Mathematica 4: 67–74
^ Перейти обратно: ^а ^б Нидэм, Том 3, 91.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Нидэм, Том 3, 92.
^ Нидхэм, Том 3, 92-93.
^ Нидхэм, Том 3, 93.
^ Нидхэм, Том 3, 93-94.
^ Нидхэм, Том 3, 94.
^ Нидхэм, Том 3, 99.
^ Нидхэм, Том 3, 101.
^ Нидхэм, Том 3, 22.
^ Нидхэм, Том 3, 21.
^ Нидхэм, Том 3, 100.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Нидэм, Том 3, 98–99.
^ Нидхэм, Том 3, 98.
^ Сайили, Айдын (1960). «Обобщение теоремы Пифагора Сабитом ибн Куррой». Исида . 51 (1): 35–37. дои : 10.1086/348837 . S2CID 119868978 .
^ Питер Дж. Лу и Пол Дж. Стейнхардт (2007), «Декагональные и квазикристаллические плитки в средневековой исламской архитектуре» (PDF) , Science , 315 (5815): 1106–1110, Бибкод : 2007Sci...315.1106L , doi : 10.1126/science.1135491 , PMID 17322056 , S2CID 10374218 , заархивировано из оригинала (PDF) 7 октября 2009 г.
↑ Дополнительные данные. Архивировано 26 марта 2009 г. в Wayback Machine.
^ д'Альверни, Мария-Тереза . «Переводы и переводчики», в книге Роберта Л. Бенсона и Джайлза Констебла, ред., «Возрождение и обновление в двенадцатом веке» , 421–462. Кембридж: Гарвардский университет. Пр., 1982, стр. 433–4.
^ М.-Т. д'Альверни, «Переводы и переводчики», с. 435
^ Говард Заалман. Филиппо Брунеллески: Здания . (Лондон: Пловец, 1993).
^ «...и эти работы (перспективы Брунеллески) были средством пробудить умы других мастеров, которые впоследствии посвятили себя этому с большим рвением».
Вазари Глава «Жизнеописания художников» о Брунеллески
^ «Мессер Паоло даль Поццо Тосканелли, вернувшись после учебы, пригласил Филиппо с другими друзьями на ужин в саду, и, когда беседа коснулась математических предметов, Филиппо подружился с ним и научился у него геометрии».
Васараи Жизнь художников , глава о Брунеллески
^ Тайный язык Возрождения - Ричард Стемп

Ссылки [ править ]

Кук, Роджер (2005), История математики , Нью-Йорк: Wiley-Interscience, 632 страницы, ISBN 978-0-471-44459-6
Дэни, С.Г. (25 июля 2003 г.), «О тройках Пифагора в Шулвасутрах» (PDF) , Current Science , 85 (2): 219–224, заархивировано (PDF) из оригинала 4 августа 2003 г.
Хаяси, Такао (2003), «Индийская математика», в Граттан-Гиннессе, Айвор (ред.), Сопутствующая энциклопедия истории и философии математических наук , том. 1, Балтимор, Мэриленд: Издательство Университета Джонса Хопкинса , 976 страниц, стр. 118–130, ISBN. 978-0-8018-7396-6
Хаяси, Такао (2005), «Индийская математика», во Фладе, Гэвине (редактор), «Спутник Блэквелла по индуизму» , Оксфорд: Бэзил Блэквелл , 616 страниц, стр. 360–375, ISBN 978-1-4051-3251-0
Джозеф, Г.Г. (2000), Герб павлина: неевропейские корни математики , Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, 416 страниц, ISBN 978-0-691-00659-8
Кнудсен, Токе Линдегор (2018). «Математика в Индии до 650 г. н.э.». В Скарбаро, Джон; Туркуанд Кейзер, Пол (ред.). Оксфордский справочник по науке и медицине в классическом мире . Издательство Оксфордского университета. стр. 83–94.

Нидэм, Джозеф (1986), Наука и цивилизация в Китае: Том 3, Математика и науки о небе и Земле , Тайбэй : Caves Books Ltd.
Стаал, Фриц (1999), «Греческая и ведическая геометрия», Журнал индийской философии , 27 (1–2): 105–127, doi : 10.1023/A:1004364417713 , S2CID 170894641
Стиллвелл, Джон (2004), Берлин и Нью-Йорк: математика и ее история (2-е изд.), Springer, 568 страниц, ISBN 978-0-387-95336-6

Внешние ссылки [ править ]

Исламская геометрия
Геометрия в XIX веке в Стэнфордской энциклопедии философии
Арабская математика: забытый блеск?

[1] Говард Ивс, Введение в историю математики , Сондерс: 1990 ( ISBN 0-03-029558-0 ), с. 141: «Ни одно произведение, кроме Библии , не использовалось более широко…»

[School_Mathematics-2] Рэй К. Юргенсен, Альфред Дж. Доннелли и Мэри П. Дольчиани. Редакционные консультанты Эндрю М. Глисон, Альберт Э. Медер-младший. Современная школьная математика: геометрия (студенческое издание). Компания Houghton Mifflin, Бостон, 1972, с. 52. ISBN 0-395-13102-2 . Издание для учителей ISBN 0-395-13103-0 .

[3] Евс, Глава 2.

[4] «Глиняные таблички показывают, что вавилоняне открыли астрономическую геометрию на 1400 лет раньше европейцев – The Washington Post» . Вашингтон Пост .

[5] А. Зайденберг, 1978. Происхождение математики. Архив истории точных наук, том 18.

[6] ( Сталь 1999 )

[7] Большинство математических проблем, рассматриваемых в «Шульба-сутрах», возникают из «единого богословского требования» - строительства огненных алтарей, которые имеют разную форму, но занимают одну и ту же площадь. Алтари должны были быть построены из пяти слоев обожженного кирпича с условием, чтобы каждый слой состоял из 200 кирпичей и чтобы никакие два соседних слоя не имели одинакового расположения кирпичей. ( Хаяси 2003 , стр. 118)

[FOOTNOTEHayashi2005363-8] Хаяши 2005 , стр. 363.

[FOOTNOTEKnudsen201887-9] Кнудсен 2018 , стр. 87.

[10] Тройки Пифагора - это тройки целых чисел. $(a,b,c)$ с имуществом: $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ . Таким образом, $3^{2}+4^{2}=5^{2}$ , $8^{2}+15^{2}=17^{2}$ , $12^{2}+35^{2}=37^{2}$ и т. д.

[cooke198-11] ( Кук 2005 , стр. 198): «Арифметическое содержание Шульва -сутр состоит из правил поиска пифагорейских троек, таких как (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17). , и (12, 35, 37). Неизвестно, какое практическое значение имели эти арифметические правила. Лучшее предположение состоит в том, что в индуистском доме должно было гореть три огня на трех разных алтарях. три алтаря должны были иметь разную форму, но все три должны были иметь одинаковую площадь. Эти условия приводили к определенным «диофантовым» проблемам, частным случаем которых является генерация пифагорейских троек, чтобы одно квадратное целое число было равно. сумма двух других».

[12] Математический факультет Университета Британской Колумбии, Вавилонский стол Плимптона 322 .

[13] Три положительных целых числа $(a,b,c)$ образуют примитивную тройку Пифагора, если $c^{2}=a^{2}+b^{2}$ и если наибольший общий делитель $a,b,c$ равно 1. В конкретном примере Plimpton322 это означает, что $13500^{2}+12709^{2}=18541^{2}$ и что эти три числа не имеют общих делителей. Однако некоторые ученые оспаривают пифагорейскую интерпретацию этой таблички; подробности см. в Plimpton 322.

[FOOTNOTEDani2003223-14] Перейти обратно: ^а ^б Дэни 2003 , стр. 223.

[FOOTNOTEDani2003223–224-15] Дэни 2003 , стр. 223–224.

[16] Черовицо, Билл. «Что именно было написано над дверью Академии Платона?» (PDF) . www.math.ucdenver.edu/ . Архивировано (PDF) из оригинала 25 июня 2013 г. Проверено 8 апреля 2015 г.

[17] «Архимед» . Британская энциклопедия.

[18] Лучано Канфора ; Исчезнувшая библиотека ; Издательство Калифорнийского университета, 1990. — Google Books.

[hayashi2005-371-19] ( Хаяши 2005 , стр. 371)

[hayashi2003-p121-122-20] Перейти обратно: ^а ^б ( Хаяси 2003 , стр. 121–122)

[21] ( Стилвелл 2004 , стр. 77)

[22] Радха Чаран Гупта [1977] «Правило Парамешвары для описанного радиуса вписанного четырехугольника», Historia Mathematica 4: 67–74

[needham_volume_3_91-23] Перейти обратно: ^а ^б Нидэм, Том 3, 91.

[needham_volume_3_92-24] Перейти обратно: ^а ^б ^с Нидэм, Том 3, 92.

[needham_volume_3_92_93-25] Нидхэм, Том 3, 92-93.

[needham_volume_3_93-26] Нидхэм, Том 3, 93.

[needham_volume_3_93_94-27] Нидхэм, Том 3, 93-94.

[needham_volume_3_94-28] Нидхэм, Том 3, 94.

[needham_volume_3_99-29] Нидхэм, Том 3, 99.

[needham_volume_3_101-30] Нидхэм, Том 3, 101.

[needham_volume_3_22-31] Нидхэм, Том 3, 22.

[needham_volume_3_21-32] Нидхэм, Том 3, 21.

[needham_volume_3_100-33] Нидхэм, Том 3, 100.

[needham_volume_3_98_99-34] Перейти обратно: ^а ^б ^с Нидэм, Том 3, 98–99.

[needham_volume_3_98-35] Нидхэм, Том 3, 98.

[36] Сайили, Айдын (1960). «Обобщение теоремы Пифагора Сабитом ибн Куррой». Исида . 51 (1): 35–37. дои : 10.1086/348837 . S2CID 119868978 .

[Lu-37] Питер Дж. Лу и Пол Дж. Стейнхардт (2007), «Декагональные и квазикристаллические плитки в средневековой исламской архитектуре» (PDF) , Science , 315 (5815): 1106–1110, Бибкод : 2007Sci...315.1106L , doi : 10.1126/science.1135491 , PMID 17322056 , S2CID 10374218 , заархивировано из оригинала (PDF) 7 октября 2009 г.

[38] Дополнительные данные. Архивировано 26 марта 2009 г. в Wayback Machine.

[39] д'Альверни, Мария-Тереза . «Переводы и переводчики», в книге Роберта Л. Бенсона и Джайлза Констебла, ред., «Возрождение и обновление в двенадцатом веке» , 421–462. Кембридж: Гарвардский университет. Пр., 1982, стр. 433–4.

[40] М.-Т. д'Альверни, «Переводы и переводчики», с. 435

[41] Говард Заалман. Филиппо Брунеллески: Здания . (Лондон: Пловец, 1993).

[42] «...и эти работы (перспективы Брунеллески) были средством пробудить умы других мастеров, которые впоследствии посвятили себя этому с большим рвением».
Вазари Глава «Жизнеописания художников» о Брунеллески

[43] «Мессер Паоло даль Поццо Тосканелли, вернувшись после учебы, пригласил Филиппо с другими друзьями на ужин в саду, и, когда беседа коснулась математических предметов, Филиппо подружился с ним и научился у него геометрии».
Васараи Жизнь художников , глава о Брунеллески

[44] Тайный язык Возрождения - Ричард Стемп

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]

[38]

[39]

[40]

[41]

[42]

[43]

[44]

v т Это Геометрия
History Timeline Lists
Euclidean geometry	Combinatorial Convex Discrete Plane geometry Polygon Polyform Solid geometry
Non-Euclidean geometry	Elliptic Hyperbolic Symplectic Spherical Affine Projective Riemannian
Other	Trigonometry Lie group Algebraic geometry Differential geometry
Lists	Shape Lists List of geometry topics List of differential geometry topics
Category

v т Это История науки
Background	Theories and sociology Historiography Pseudoscience History and philosophy of science
By era	Ancient world Classical Antiquity Medieval European Renaissance Scientific Revolution Age of Enlightenment Romanticism
By culture	African Argentine Brazilian Byzantine French Chinese Indian Medieval Islamic Japanese Korean Mexican Russian Spanish
Natural sciences	Astronomy Biology Chemistry Earth science Physics
Mathematics	Algebra Calculus Combinatorics Geometry Logic Probability Statistics Trigonometry
Social sciences	Anthropology Archaeology Economics History Political science Psychology Sociology
Technology	Agricultural science Computer science Materials science Engineering
Medicine	Human medicine Veterinary medicine Anatomy Neuroscience Neurology and neurosurgery Nutrition Pathology Pharmacy
Timelines Portal Category

v т Это История математики ( хронология )
By topic	Algebra timeline Algorithms timeline Arithmetic timeline Calculus timeline Grandi's series Category theory timeline Topos theory Combinatorics Functions Logarithms Geometry Trigonometry timeline Group theory Information theory timeline Logic timeline Math notation Number theory timeline Statistics timeline Probability Topology Manifolds timeline Separation axioms
Numeral systems	Prehistoric Ancient Hindu-Arabic
By ancient cultures	Mesopotamia Ancient Egypt Ancient Greece China India Medieval Islamic world
Controversies	Brouwer–Hilbert Over Cantor's theory Leibniz–Newton Hobbes–Wallis
Other	Women in mathematics timeline Approximations of π timeline Future of mathematics
Category