Египетская геометрия

Ринда Математический папирус

Египетская геометрия относится к геометрии в том виде, в каком она была разработана и использовалась в Древнем Египте . Их геометрия была необходимым результатом геодезии, чтобы сохранить планировку и право собственности на сельскохозяйственные угодья, которые ежегодно затоплялись рекой Нил .

У нас есть лишь ограниченное количество задач из Древнего Египта, касающихся геометрии. Геометрические задачи встречаются как в Московском математическом папирусе (ММП), так и в Математическом папирусе Ринда (РМП). На примерах показано, что древние египтяне умели вычислять площади нескольких геометрических фигур, объемы цилиндров и пирамид.

Площадь

Древние египтяне записывали свои проблемы в нескольких частях. Они давали название и данные для данной задачи, в некоторых текстах показывали, как решить задачу, и на последнем этапе проверяли правильность задачи. Переписчики не использовали никаких переменных, а задачи записывались в прозаической форме. Решения были записаны поэтапно с описанием процесса.

Египетский круг

Египетские единицы длины засвидетельствованы с раннего династического периода . Хотя он датируется 5-й династией, на камне Палермо зафиксирован уровень реки Нил во время правления раннединастического фараона Джера , когда высота Нила была зафиксирована как 6 локтей и 1 ладонь (около 3,217 м или 10 футов 6,7 метра). в). Диаграмма Третьей династии показывает, как построить круглый свод, используя размеры тела по дуге. Если площадь площади 434 ед. Площадь круга равна 433,7.

Остракон , изображающий эту схему, был найден возле Ступенчатой ​​пирамиды в Саккаре . Кривая разделена на пять участков, и высота кривой указана в локтях, ладонях и цифрах в каждом из участков.

В какой-то момент длины были стандартизированы локтевыми стержнями. Примеры были найдены в гробницах чиновников, отметив длину до ремэна. Королевские локти использовались для измерения земель, таких как дороги и поля. Четырнадцать палочек, в том числе один двулоктевой, описал и сравнил Лепсиус . Два примера известны из , в Саккаре гробницы Майи , казначея Тутанхамона .

Другой был найден в гробнице Ха ( ТТ8 ) в Фивах . Эти локти имеют длину 52,5 см (20,7 дюйма) и разделены на ладони и кисти: каждая ладонь разделена на четыре пальца слева направо, а пальцы далее подразделяются на ро справа налево. Правила также разделены на руки. так что, например, одна ступня равна трем рукам и пятнадцати пальцам, а также четырем ладоням и шестнадцати пальцам.

Кубитовый стержень из Туринского музея.

Геодезические и странствующие измерения проводились с использованием стержней, шестов и веревочных шнуров с узлами. Сцена в гробнице Менны в Фивах показывает, как геодезисты измеряют участок земли с помощью веревки с узлами, завязанными через равные промежутки времени. Подобные сцены можно встретить в гробницах Аменхотепа-Сеси, Хаемхата и Джесеркаресенеба. Клубки веревки также изображены на Нового Королевства статуях чиновников , таких как Сененмут , Аменемхет-Сурер и Пенанхор.

Области

Объект	Источник	Формула (в современных обозначениях)
треугольник	Задача 51 в RMP и задачи 4, 7 и 17 в MMP.	$A={\frac {1}{2}}bh$ b = основание, h = высота
прямоугольники	Задача 49 в RMP и задача 6 в MMP и Lahun LV.4. проблема 1	$A=bh$ b = основание, h = высота
круг	Задачи 51 в RMP и задачи 4, 7 и 17 в MMP.	$A={\frac {1}{4}}({\frac {256}{81}})d^{2}$ d= диаметр. Здесь используется значение 256/81 = 3,16049... для $\pi =3.14159...$
полушарие	Задача 10 в ММП

Треугольники:
Древние египтяне знали, что площадь треугольника равна $A={\frac {1}{2}}bh$ где b = основание и h = высота. Расчеты площади треугольника появляются как в RMP, так и в MMP.

Прямоугольники:
Задача 49 из RMP находит площадь прямоугольного участка земли. Задача 6 MMP находит длины сторон прямоугольной области по отношению длин сторон. Эта задача, кажется, идентична одному из математических папирусов Лахуна в Лондоне. Задача также показывает, что египтяне были знакомы с квадратными корнями. У них даже был специальный иероглиф для нахождения квадратного корня. Он выглядит как угол и появляется в пятой строке задачи. Ученые подозревают, что у них были таблицы, дающие квадратные корни некоторых часто используемых чисел. Однако таких таблиц не обнаружено. Задача 18 ММП вычисляет площадь швейной ткани.

Задача 1 папируса Лахуна в LV.4 дается следующим образом: Площадь 40 мГ на 3 мГ должна быть разделена на 10 областей, каждая из которых должна иметь ширину, равную 1/2 1/4 их длины. . Перевод задачи и ее решение в том виде, в котором оно представлено во фрагменте, приведены на сайте Университетского колледжа Лондона.

Круги:
Задача 48 RMP сравнивает площадь круга (приближенного восьмиугольником) и описывающего его квадрата. Результат этой задачи используется в задаче 50.

Разделите каждую сторону пополам. Удалите угловые треугольники. Получившаяся восьмиугольная фигура приближается к кругу. Площадь восьмиугольной фигуры равна:

$9^{2}-4{\frac {1}{2}}(3)(3)=63$Далее мы приближаем 63 к 64 и отмечаем, что $64=8^{2}$

Таким образом, число $4({\frac {8}{9}})^{2}=3.16049...$ играет роль π = 3,14159....

То, что эта восьмиугольная фигура, площадь которой легко вычислить, так точно приближается к площади круга, — это просто удача. Получить лучшее приближение площади, используя более точное деление квадрата и аналогичные аргументы, непросто.

Задача 50 РМП находит площадь круглого поля диаметром 9 хет. Это решается с использованием приближения, согласно которому круглое поле диаметром 9 имеет ту же площадь, что и квадрат со стороной 8. Задача 52 находит площадь трапеции с (по-видимому) одинаково наклоненными сторонами. Длины параллельных сторон и расстояние между ними заданы числами.

Полушарие:
Задача 10 ММП вычисляет площадь полушария.

Тома

Изображение задачи 14 из Московского математического папируса . В задачу входит схема с указанием размеров усеченной пирамиды.

Несколько задач вычисляют объем цилиндрических зернохранилищ (41, 42 и 43 RMP), тогда как задача 60 RMP, похоже, касается столба или конуса, а не пирамиды. Он довольно небольшой и крутой, с секедом (склоном) в четыре пальмы (на локоть).

Задача, возникающая в разделе IV.3 Математических папирусов Лахуна, заключается в вычислении объема зернохранилища с круглым основанием. Аналогичную задачу и процедуру можно найти в папирусе Ринда (задача 43).Несколько задач в Московском математическом папирусе (задача 14) и в математическом папирусе Ринда (номера 44, 45, 46) вычисляют объем прямоугольного зернохранилища.

Задача 14 Московского математического папируса вычисляет объем усеченной пирамиды, также известной как усеченная пирамида.

Объемы

Объект	Источник	Формула (в современных обозначениях)
Цилиндрические зернохранилища	РМП 41	$V={\frac {256}{81}}r^{2}\ h$ измеряется в кубических кубитах
Цилиндрические зернохранилища	ПУР 42, раздел IV.3	$V={\frac {32}{27}}d^{2}\ h={\frac {128}{27}}r^{2}\ h$ (измеряется в кхарах).
Прямоугольные зернохранилища	РМП 44-46 и ММП 14	$V=w\ l\ h$ w = ширина, l = длина, h = высота
Усеченная пирамида (усеченная пирамида)	ММП 14	$V={\frac {1}{3}}(a^{2}+ab+b^{2})h$

Секед

Задача 56 ПРМ свидетельствует о понимании идеи геометрического подобия. В этой задаче обсуждается соотношение run/rise, также известное как seked . Такая формула понадобится для построения пирамид. В следующей задаче (задача 57) высота пирамиды вычисляется на основе длины основания и секеда (по-египетски «наклон»), а в задаче 58 определяются длина основания и высота и используются эти измерения для вычисления секеда.

В задаче 59 часть 1 вычисляет секед, а вторая часть может представлять собой вычисление для проверки ответа: если вы построите пирамиду со стороной основания 12 [локтей] и с секедом из 5 ладоней и 1 пальца; какова его высота?

Библиография

• Клагетт, Маршалл (1999). Древнеегипетская наука: Справочник, Том. III: Древнеегипетская математика . Воспоминания АПС , Том. 232. Филадельфия: Американское философское общество. ISBN  978-0-87169-232-0 .
• Лепсиус, Карл Рихард (1865). Древнеегипетский локоть и его деление (на немецком языке). Берлин: Дюммлер.