Постулат параллельности

Если сумма внутренних углов α и β меньше 180°, две прямые линии, образующиеся бесконечно, встречаются на этой стороне.

В геометрии постулат параллельности , также называемый , пятым постулатом Евклида поскольку он является пятым постулатом в Евклида «Началах» , является отличительной аксиомой евклидовой геометрии . В нем говорится, что в двумерной геометрии:

Если отрезок пересекает две прямые линии, образуя два внутренних угла на одной и той же стороне, которые меньше двух прямых углов , то две линии, если они продлены до бесконечности, встречаются на той стороне, на которой сумма углов составляет менее двух прямых углов.

В этом постулате конкретно не говорится о параллельных линиях; это всего лишь постулат, относящийся к параллелизму. Евклид дал определение параллельных прямых в книге I, определении 23. непосредственно перед пятью постулатами.

Евклидова геометрия — это изучение геометрии, которая удовлетворяет всем аксиомам Евклида, включая постулат о параллельности.

Этот постулат долгое время считался очевидным или неизбежным, но доказательства были неуловимы. В конце концов было обнаружено, что инвертирование постулата дает действительную, хотя и другую геометрию. Геометрия, в которой постулат параллельности не выполняется, называется неевклидовой геометрией . Геометрия, которая не зависит от пятого постулата Евклида (т. е. предполагает только современный эквивалент первых четырех постулатов), известна как абсолютная геометрия (или иногда «нейтральная геометрия»).

Эквивалентные свойства

Вероятно, самым известным эквивалентом постулата параллельности Евклида, зависящим от других его постулатов, является аксиома Плейфэра , названная в честь шотландского математика Джона Плейфэра , которая гласит:

На плоскости, если дана прямая и точка, не лежащая на ней, через эту точку можно провести не более одной прямой, параллельной данной прямой.

не Эта аксиома сама по себе логически эквивалентна постулату Евклида о параллельности, поскольку существуют геометрии, в которых один верен, а другой нет. Однако при наличии остальных аксиом, дающих евклидову геометрию, каждую из них можно использовать для доказательства другой, поэтому они эквивалентны в контексте абсолютной геометрии .

Было предложено множество других утверждений, эквивалентных постулату о параллельности, некоторые из них на первый взгляд казались не связанными с параллелизмом, а некоторые казались настолько самоочевидными , что они были бессознательно приняты людьми, которые утверждали, что доказали постулат о параллельности на основе других постулатов Евклида. . Эти эквивалентные утверждения включают в себя:

1. Существует не более одной прямой, которую можно провести параллельно другой данной через внешнюю точку. ( аксиома Плейфэра )
2. Сумма углов любого треугольника равна 180° ( постулат треугольника ).
3. Существует треугольник, сумма углов которого равна 180°.
4. Сумма углов одинакова для любого треугольника.
5. Существует пара подобных , но не равных треугольников.
6. Любой треугольник можно описать .
7. Если три угла четырёхугольника прямые , то четвёртый угол тоже прямой.
8. Существует четырехугольник, у которого все углы прямые, то есть прямоугольник .
9. Существует пара прямых, находящихся на постоянном расстоянии друг от друга.
10. Две прямые, параллельные одной прямой, также параллельны друг другу.
11. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух других сторон ( теорема Пифагора ).
12. Закон косинусов , обобщение теоремы Пифагора.
13. не существует Верхнего предела площади треугольника . ( аксиома Уоллиса )
14. Углы вершины четырехугольника Саккери составляют 90 °.
15. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, обе из которых компланарны исходной прямой, то она пересекает и другую. ( Прокла ) аксиома

Однако альтернативы, использующие слово «параллельность», перестают казаться такими простыми, когда приходится объяснять, какое из четырех общих определений слова «параллельность» имеется в виду – постоянное разделение, никогда не встречающееся, одинаковые углы, пересекаемые какой-то третьей линией, или те же углы пересекаются любой третьей линией, поскольку эквивалентность этих четырех сама по себе является одним из бессознательно очевидных предположений, эквивалентных пятому постулату Евклида. В приведенном выше списке всегда принято относиться к непересекающимся прямым. Например, если слово «параллель» в аксиоме Плейфэра понимать как «постоянное разделение» или «одни и те же углы, где их пересекает любая третья линия», то оно больше не эквивалентно пятому постулату Евклида и доказуемо на основе первых четырех постулатов. (аксиома гласит: «Существует не более одной линии...», что согласуется с отсутствием таких линий). Однако если принять определение так, что параллельные линии - это линии, которые не пересекаются или имеют некоторую линию, пересекающую их под одними и теми же углами, аксиома Плейфэра контекстуально эквивалентна пятому постулату Евклида и, таким образом, логически независима от первых четырех постулатов. Обратите внимание, что последние два определения не эквивалентны, поскольку в гиперболической геометрии второе определение справедливо только для ультрапараллельные линии.

История

С самого начала постулат подвергался нападкам как доказуемый и, следовательно, не постулат, и на протяжении более двух тысяч лет предпринималось множество попыток доказать (вывести) постулат о параллельности, используя первые четыре постулата Евклида. Основная причина того, что такое доказательство было столь востребовано, заключалась в том, что, в отличие от первых четырех постулатов, постулат о параллельности не является самоочевидным. Если порядок, в котором постулаты были перечислены в «Началах», важен, это указывает на то, что Евклид включил этот постулат только тогда, когда понял, что не может доказать его или действовать без него. Было предпринято множество попыток доказать пятый постулат из четырех других, многие из них принимались в качестве доказательства в течение длительного времени, пока не была обнаружена ошибка. Ошибка неизменно заключалась в допущении какого-то «очевидного» свойства, которое оказывалось эквивалентным пятому постулату ( аксиоме Плейфэра ). Хотя это известно со времен Прокла, оно стало известно как аксиома Плейфэра после того, как Джон Плейфэр написал знаменитый комментарий к Евклиду в 1795 году, в котором он предложил заменить пятый постулат Евклида своей собственной аксиомой. Сегодня, более двух тысяч двухсот лет спустя, пятый постулат Евклида остается постулатом.

Прокл (410–485) написал комментарий к «Элементам» , где комментирует попытки доказательства вывода пятого постулата из четырех других; в частности, он отмечает, что Птолемей представил ложное «доказательство». Затем Прокл приводит собственное ложное доказательство. Однако он дал постулат, эквивалентный пятому постулату.

Ибн аль-Хайсам (Альхазен) (965–1039), арабский математик , предпринял попытку доказать постулат о параллельности, используя доказательство от противного : в ходе которого он ввел в геометрию понятие движения и превращения . Он сформулировал четырехугольник Ламберта , который Борис Абрамович Розенфельд называет «четырехугольником Ибн аль-Хайсама – Ламберта». и его попытка доказательства содержит элементы, подобные тем, которые найдены в четырехугольниках Ламберта и аксиоме Плейфэра .

Персидский математик, астроном, философ и поэт Омар Хайям (1050–1123) пытался доказать пятый постулат, используя другой явно данный постулат (основанный на четвертом из пяти принципов, принадлежащих Философу ( Аристотелю ), а именно: «Два сходящиеся прямые пересекаются, и невозможно, чтобы две сходящиеся прямые расходились в том направлении, в котором они сходятся». Он получил некоторые из более ранних результатов, относящихся к эллиптической геометрии и гиперболической геометрии , хотя его постулат исключал последнюю возможность. также Четырехугольник Саккери был впервые рассмотрен Омаром Хайямом в конце 11 века в Книге I « Объяснений трудностей в постулатах Евклида» . В отличие от многих комментаторов Евклида до и после него (включая Джованни Джироламо Саккери ), Хайям не пытался доказать постулат о параллельности как таковой, а вывести его из эквивалентного ему постулата. Он признал, что в результате исключения пятого постулата Евклида возникли три возможности; если два перпендикуляра к одной линии пересекают другую линию, разумный выбор последней может сделать внутренние углы в месте пересечения двух перпендикуляров равными (тогда он будет параллелен первой линии). Если эти равные внутренние углы являются прямыми, мы получаем пятый постулат Евклида, в противном случае они должны быть либо острыми, либо тупыми. Используя его постулат, он показал, что острые и тупые случаи приводят к противоречиям, но теперь известно, что его постулат эквивалентен пятому постулату.

Насир ад-Дин ат-Туси (1201–1274) в своей книге «Аль-рисала аш-шафияан аш-шакк фил-хутут аль-мутавазия» ( «Обсуждение, устраняющее сомнения в отношении параллельных линий ») (1250) написал подробную критику. постулата о параллельности и о попытке доказательства Хайяма столетием ранее. Насир ад-Дин попытался получить доказательство, опровергнув постулат о параллельности. Он также рассмотрел случаи того, что сейчас известно как эллиптическая и гиперболическая геометрия, хотя исключил оба из них.

Евклидова, эллиптическая и гиперболическая геометрия. Постулат параллельности выполняется только для моделей евклидовой геометрии.

Сын Насир ад-Дина, Садр ад-Дин (иногда известный как « Псевдо-Туси »), написал книгу на эту тему в 1298 году, основанную на более поздних мыслях своего отца, которая представила один из самых ранних аргументов в пользу неевклидовой гипотезы. эквивалентен постулату параллельности. «Он существенно пересмотрел как евклидову систему аксиом и постулатов, так и доказательства многих положений из « Начал ». Его работа была опубликована в Риме в 1594 году и изучена европейскими геометрами. Эта работа стала отправной точкой для работы Саккери по этой теме. который начался с критики работы Садр ад-Дина и работы Уоллиса.

Джордано Витале (1633–1711) в своей книге Euclide restituo (1680, 1686) использовал четырехугольник Хайяма-Саккери, чтобы доказать, что если три точки равноудалены от основания AB и вершины CD, то AB и CD везде равноудалены. Джироламо Саккери (1667–1733) проводил ту же линию рассуждений более тщательно, правильно выводя абсурдность из тупого случая (исходя, как и Евклид, из неявного предположения, что линии могут быть продолжены до бесконечности и иметь бесконечную длину), но не сумев опровергнуть острый случай (хотя ему удалось ошибочно убедить себя в этом).

В 1766 году Иоганн Ламберт написал, но не опубликовал «Теорию параллелизма», в которой попытался, как и Саккери, доказать пятый постулат. Он работал с фигурой, которую сегодня мы называем четырехугольником Ламберта , четырехугольником с тремя прямыми углами (можно считать половиной четырехугольника Саккери). Он быстро исключил возможность того, что четвертый угол тупой, как это сделали Саккери и Хайям, а затем приступил к доказательству многих теорем в предположении острого угла. В отличие от Саккери, он никогда не чувствовал, что пришел к противоречию с этим предположением. Он доказал неевклидов результат о том, что сумма углов в треугольнике увеличивается с уменьшением площади треугольника, и это привело его к размышлению о возможности модели острого случая на сфере мнимого радиуса. Дальше он эту идею не развивал.

Там, где Хайям и Саккери пытались доказать пятую теорему Евклида, опровергая единственные возможные альтернативы, девятнадцатый век наконец увидел, как математики исследуют эти альтернативы и открывают логически последовательные геометрии, которые возникают в результате. В 1829 году Николай Иванович Лобачевский опубликовал отчет по острой геометрии в малоизвестном русском журнале (позже переизданном в 1840 году на немецком языке). В 1831 году Янош Бояи включил в книгу своего отца приложение, описывающее острую геометрию, которую он, несомненно, разработал независимо от Лобачевского. Карл Фридрих Гаусс также изучал эту проблему, но не опубликовал ни одного из своих результатов. Услышав о результатах Бояи в письме от отца Бояи, Фаркаса Бояи , Гаусс заявил:

Если бы я начал с того, что не могу похвалить эту работу, вы наверняка на мгновение удивились бы. Но я не могу сказать иначе. Хвалить его — значит хвалить самого себя. Действительно, всё содержание работы, путь, пройденный вашим сыном, результаты, к которым он приведён, почти целиком совпадают с моими размышлениями, занимавшими отчасти мой ум в течение последних тридцати или тридцати пяти лет.

Полученные геометрии были позже развиты Лобачевским , Риманом и Пуанкаре в гиперболическую геометрию (острый случай) и эллиптическую геометрию (тупой случай). Независимость Эухенио постулата параллельности от других аксиом Евклида была наконец продемонстрирована Бельтрами в 1868 году.

Обратный постулат Евклида о параллельности.

Обратный постулат параллельности: если сумма двух внутренних углов равна 180°, то прямые параллельны и никогда не пересекутся.

Евклид не постулировал обратное своему пятому постулату, который является одним из способов отличить евклидову геометрию от эллиптической геометрии . В «Началах» содержится доказательство эквивалентного утверждения (книга I, предложение 27): если прямая линия, падающая на две прямые, делает чередующиеся углы равными друг другу, то прямые линии будут параллельны друг другу. В роли Де Моргана Как указано выше, это логически эквивалентно (Книга I, предложение 16). Эти результаты не зависят от пятого постулата, но требуют второго постулата. что нарушается в эллиптической геометрии.

Критика

Попытки логически доказать постулат о параллельности, а не восьмую аксиому, подверглись критике со стороны Артура Шопенгауэра в «Мире как воля и идея» . Однако аргумент, использованный Шопенгауэром, заключался в том, что постулат очевиден для восприятия, а не в том, что он не является логическим следствием других аксиом.

Разложение постулата параллельности

Постулат параллельности эквивалентен соединению лочнтаксиомы и аксиомы Аристотеля . Первый утверждает, что перпендикуляры к сторонам прямого угла пересекаются, а второй утверждает, что не существует верхней границы для длин расстояний от катета угла до другого катета. Как показано в, Постулат параллельности эквивалентен соединению следующих геометрических форм инцидентности лочнтаксиомы и аксиомы Аристотеля :

Даны три параллельные прямые, и существует прямая, пересекающая все три из них.

Учитывая прямую a и две различные пересекающиеся прямые m и n , каждая из которых отличается от a , существует линия g , которая пересекает a и m , но не пересекает n .

Расщепление постулата параллельности на конъюнкцию этих аксиом инцидентно-геометрической формы возможно только при наличии абсолютной геометрии .

См. также

• Линия на бесконечности
• Неевклидова геометрия

Ссылки

• Кэрролл, Льюис , Евклид и его современные соперники , Дувр, ISBN   0-486-22968-8
• Фабер, Ричард Л. (1983), Основы евклидовой и неевклидовой геометрии , Нью-Йорк: Marcel Dekker Inc., ISBN  0-8247-1748-1
• Хендерсон, Дэвид В.; Тайминя, Дайна (2005), Опыт геометрии: евклидова и неевклидова с историей (3-е изд.), Аппер-Седл-Ривер, Нью-Джерси: Пирсон Прентис Холл, ISBN  0-13-143748-8
• Кац, Виктор Дж. (1998), История математики: введение , Аддисон-Уэсли , ISBN  0-321-01618-1 , OCLC   38199387
• Розенфельд, Борис А. (1988), История неевклидовой геометрии: эволюция концепции геометрического пространства , Springer Science + Business Media , ISBN  0-387-96458-4 , OCLC   15550634
• Смит, Джон Д. (1992), «Замечательный Ибн аль-Хайсам», The Mathematical Gazette , 76 (475), Mathematical Association : 189–198, doi : 10.2307/3620392 , JSTOR   3620392 , S2CID   118597450
• Бутри, Пьер; Грис, Чарли; Нарбу, Жюльен; Шрек, Паскаль (2019), «Параллельные постулаты и аксиомы непрерывности: механизированное исследование интуиционистской логики с использованием Coq» (PDF) , Journal of Automated Reasoning , 62 : 1–68, doi : 10.1007/s10817-017-9422-8 , S2CID   25900234
• Памбучян, Виктор; Шахт, Селия (2021), «Вездесущая аксиома», Результаты по математике , 76 (3): 1–39, doi : 10.1007/s00025-021-01424-3 , S2CID   236236967
• Памбучян, Виктор (2022), «О расщеплении постулата параллельности», Journal of Geometry , 113 (1): 1–13, doi : 10.1007/s00022-022-00626-6 , S2CID   246281748

Внешние ссылки

• В горах Гаусса

Эдер, Мишель (2000), Взгляды на постулат параллельности Евклида в Древней Греции и средневековом исламе , Университет Рутгерса , получено 23 января 2008 г.