Независимость (математическая логика)

В математической логике независимость — это недоказуемость предложения от других предложений.

Предложение T σ независимо данной теории первого порядка T, если от не доказывает и не опровергает σ; то есть невозможно доказать σ на основе T , а также невозможно доказать на основе T , что σ ложно. Иногда говорят (синонимно), что σ неразрешима из T ; это не то же самое значение « разрешимости », что и в проблеме решения .

Теория T независима , если каждая аксиома из T не доказуема из остальных аксиом из T . Теория, для которой существует независимый набор аксиом, является независимо аксиоматизируемой .

Примечание по использованию

Некоторые авторы говорят, что σ не зависит от T, когда T просто не может доказать σ, и не обязательно утверждают при этом, что T не может опровергнуть σ. Эти авторы иногда говорят, что «σ не зависит от T и согласуется с ним », чтобы указать, что T не может ни доказать, ни опровергнуть σ.

Независимость приводит к теории множеств

Многие интересные утверждения теории множеств не зависят от теории множеств Цермело–Френкеля (ZF). Известно, что следующие утверждения теории множеств не зависят от ZF в предположении, что ZF непротиворечив:

Аксиома выбора
Гипотеза континуума и обобщенная гипотеза континуума
Гипотеза Суслина

Следующие утверждения (ни одно из которых не было доказано ложным) не могут быть доказаны в ZFC (теория множеств Цермело – Френкеля плюс аксиома выбора) как независимые от ZFC при добавленной гипотезе о том, что ZFC непротиворечив.

Существование сильно недоступных кардиналов
Существование крупных кардиналов
Отсутствие деревьев Курепа

Следующие утверждения несовместимы с аксиомой выбора и, следовательно, с ZFC. Однако они, вероятно, независимы от ZF в том же смысле, что и вышеизложенное: они не могут быть доказаны в ZF, и немногие работающие теоретики множеств надеются найти опровержение в ZF. Однако ZF не может доказать, что они независимы от ZF, даже с добавленной гипотезой о непротиворечивости ZF.

Приложения к физической теории

С 2000 года логическая независимость стала пониматься как имеющая решающее значение в основах физики. ^[1]^[2]

См. также

Примечания

^ Патерек, Т.; Кофлер Дж.; Преведель, Р.; Климек, П.; Аспельмейер, М.; Цайлингер, А.; Брукнер, Ч. (2010), «Логическая независимость и квантовая случайность», New Journal of Physics , 12 : 013019, arXiv : 0811.4542 , Bibcode : 2010NJPh...12a3019P , doi : 10.1088/1367-2630/12/1/013019
^ Секели, Гергеи (2013), «Существование сверхсветовых частиц согласуется с кинематикой специальной теории относительности Эйнштейна», Отчеты по математической физике , 72 (2): 133–152, arXiv : 1202.5790 , Bibcode : 2013RpMP... 72..133С , дои : 10.1016/S0034-4877(13)00021-9

Ссылки

Мендельсон, Эллиотт (1997), Введение в математическую логику (4-е изд.), Лондон: Chapman & Hall , ISBN 978-0-412-80830-2
Монк, Дж. Дональд (1976), Математическая логика , Тексты для выпускников по математике, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90170-1
Стейблер, Эдвард Рассел (1948), Введение в математическую мысль , Ридинг, Массачусетс: Аддисон-Уэсли

[1] Патерек, Т.; Кофлер Дж.; Преведель, Р.; Климек, П.; Аспельмейер, М.; Цайлингер, А.; Брукнер, Ч. (2010), «Логическая независимость и квантовая случайность», New Journal of Physics , 12 : 013019, arXiv : 0811.4542 , Bibcode : 2010NJPh...12a3019P , doi : 10.1088/1367-2630/12/1/013019

[2] Секели, Гергеи (2013), «Существование сверхсветовых частиц согласуется с кинематикой специальной теории относительности Эйнштейна», Отчеты по математической физике , 72 (2): 133–152, arXiv : 1202.5790 , Bibcode : 2013RpMP... 72..133С , дои : 10.1016/S0034-4877(13)00021-9

[1]

[2]