Сумма углов треугольника

В евклидовом пространстве сумма углов треугольника равна прямому углу (180 градусов , $π$ радиан , двум прямым углам или полуобороту ) .Треугольник вершине имеет три угла, по одному в каждой , ограниченных парой смежных сторон .

Долгое время было неизвестно, существуют ли другие геометрии, для которых эта сумма иная. Влияние этой проблемы на математику было особенно сильным в XIX веке. В конечном итоге ответ оказался положительным: в других пространствах (геометриях) эта сумма может быть больше или меньше, но тогда она должна зависеть от треугольника. Его отличие от 180° является случаем углового дефекта и служит важным отличием для геометрических систем.

Случаи

Евклидова геометрия

В евклидовой геометрии постулат треугольника гласит, что сумма углов треугольника равна двум прямым углам . Этот постулат эквивалентен постулату параллельности . ^[1] При наличии остальных аксиом евклидовой геометрии следующие утверждения эквивалентны: ^[2]

Постулат треугольника : сумма углов треугольника равна двум прямым углам.
Аксиома Плейфэра : если дана прямая линия и точка, не лежащая на этой прямой, то через точку, параллельную данной прямой, можно провести ровно одну прямую линию.
Аксиома Прокла : если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, она должна пересечь и другую. ^[3]
Постулат равноудаления : параллельные линии везде равноудалены (т. е. расстояние от каждой точки одной линии до другой линии всегда одинаково).
Свойство площади треугольника : площадь треугольника может быть сколь угодно большой.
Свойство Fourpoints : четыре точки лежат либо на прямой, либо на окружности .
Четырехугольник: они равны обе стороны
Теорема Пифагора : В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух других сторон. ^[1]

Гиперболическая геометрия

Сумма углов гиперболического треугольника меньше 180°. Связь между угловым дефектом и площадью треугольника была впервые доказана Иоганном Генрихом Ламбертом . ^[4]

Можно легко увидеть, как гиперболическая геометрия нарушает аксиому Плейфера, аксиому Прокла (параллелизм, определяемый как непересечение, непересекающийся в гиперболической плоскости), постулат равноудаленности (точки, находящиеся по одну сторону от заданной прямой и равноудаленные от нее). не образуют линию) и теорему Пифагора. Круг ^[5] не может иметь сколь угодно малой кривизны , ^[6] поэтому свойство трех точек также не работает.

Сумма углов может быть сколь угодно малой (но положительной). Для идеального треугольника , обобщения гиперболических треугольников, эта сумма равна нулю.

Сферическая геометрия

У сферического треугольника сумма углов больше 180° и может достигать 540°. В частности, сумма углов равна

180° × (1 + 4 ж ),

где f — доля площади сферы, заключенная в треугольник.

Обратите внимание, что сферическая геометрия не удовлетворяет некоторым аксиомам Евклида (включая постулат о параллельности ).

Внешние углы

Углы между соседними сторонами треугольника называются внутренними углами в евклидовой и других геометриях. внешние Также можно определить углы, а постулат Евклидова треугольника можно сформулировать как теорему о внешнем угле . Можно также рассмотреть сумму всех трех внешних углов, которая равна 360°. ^[7] в евклидовом случае (как и для любого выпуклого многоугольника ), меньше 360° в сферическом случае и больше 360° в гиперболическом случае.

В дифференциальной геометрии

В дифференциальной геометрии поверхностей вопрос об угловом дефекте треугольника понимается как частный случай теоремы Гаусса-Бонне , где кривизна замкнутой кривой является не функцией, а мерой с опорой ровно в трёх точках – вершинах. треугольника.

См. также

Евклида Элементы
Основы геометрии
Аксиомы Гильберта
Четырехугольник Саккери (рассматриваемый Омаром Хайямом раньше, чем Саккери )
Четырехугольник Ламберта

Ссылки

↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Эрик В. Вайсштейн (2003). CRC краткая энциклопедия математики (2-е изд.). п. 2147. ИСБН 1-58488-347-2 . Постулат параллельности эквивалентен постулату равноудаления , аксиоме Плейфэра , аксиоме Прокла , постулату треугольника и теореме Пифагора .
^ Кейт Дж. Девлин (2000). Язык математики: делаем невидимое видимым . Макмиллан. п. 161. ИСБН 0-8050-7254-3 .
^ По сути, транзитивность параллелизма.
^ Рэтклифф, Джон (2006), Основы гиперболических многообразий , Тексты для аспирантов по математике, том. 149, Спрингер, с. 99, ISBN 9780387331973 То , что площадь гиперболического треугольника пропорциональна дефекту его угла, впервые появилось в монографии Ламберта «Теория параллелизма» , которая была опубликована посмертно в 1786 году.
^ Определяется как набор точек на фиксированном расстоянии от его центра.
^ Определяется в дифференциально-геометрическом смысле.
^ Судя по определению внешнего угла, он представляет собой прямой угол с внутренними углами. Итак, сумма трех внешних углов, добавленная к сумме трех внутренних углов, всегда дает три прямых угла.

[Parallel-1] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Эрик В. Вайсштейн (2003). CRC краткая энциклопедия математики (2-е изд.). п. 2147. ИСБН 1-58488-347-2 . Постулат параллельности эквивалентен постулату равноудаления , аксиоме Плейфэра , аксиоме Прокла , постулату треугольника и теореме Пифагора .

[Devlin-2] Кейт Дж. Девлин (2000). Язык математики: делаем невидимое видимым . Макмиллан. п. 161. ИСБН 0-8050-7254-3 .

[3] По сути, транзитивность параллелизма.

[4] Рэтклифф, Джон (2006), Основы гиперболических многообразий , Тексты для аспирантов по математике, том. 149, Спрингер, с. 99, ISBN 9780387331973 То , что площадь гиперболического треугольника пропорциональна дефекту его угла, впервые появилось в монографии Ламберта «Теория параллелизма» , которая была опубликована посмертно в 1786 году.

[5] Определяется как набор точек на фиксированном расстоянии от его центра.

[6] Определяется в дифференциально-геометрическом смысле.

[7] Судя по определению внешнего угла, он представляет собой прямой угол с внутренними углами. Итак, сумма трех внешних углов, добавленная к сумме трех внутренних углов, всегда дает три прямых угла.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]