Jump to content

Четырехугольник Саккери

Четырехугольники Саккери

Четырехугольник Саккери это четырёхугольник у которого две равные стороны перпендикулярны основанию , . Он назван в честь Джованни Джероламо Саккери , который широко использовал его в своей книге 1733 года «Euclides ab omni naevo vindicatus» ( «Евклид, освобожденный от всякого недостатка »), попытке доказать постулат о параллельности, используя метод доведения до абсурда . Такой четырехугольник иногда называют четырехугольником Хайяма-Саккери в честь персидского ученого Омара Хайяма, который описал их в своей книге XI века Рисала фи шарх ма ашкала мин мусадарат китаб Уклидис ( Объяснения трудностей в постулатах Евклида ). [1]

Для четырехугольника Саккери ноги и равны по длине и каждая перпендикулярна основанию Верх называется вершиной , а углы при ней и называются углами вершины .

Преимущество использования четырехугольников Саккери при рассмотрении постулата параллельности состоит в том, что они ясно представляют три взаимоисключающих варианта: являются ли вершинные углы прямыми , тупыми или острыми углами ?

Сам Саккери не рассматривал возможность неевклидовой геометрии и полагал, что как тупые, так и острые случаи могут оказаться противоречащими другим постулатам Евклида. Он действительно показал, что тупой случай противоречив, но не смог должным образом разобраться с острым случаем. [2]

Существование четырехугольника Саккери с прямыми углами при вершине для любого основания и сторон эквивалентно постулату параллельности, ведущему к евклидовой геометрии . В гиперболической геометрии , возникающей в результате отрицания постулата параллельности, вершинные углы всегда острые. В эллиптической или сферической геометрии (которые требуют некоторых модификаций других постулатов Евклида) [3] углы вершины всегда тупые.

История [ править ]

Хотя четырехугольники названы в честь Саккери, они рассматривались в работах более ранних математиков. Первое предложение Саккери гласит, что если две равные линии и образовать с линией равные углы углы на будут равняться друг другу; версия этого утверждения появляется в трудах ученого девятого века Сабита ибн Курры . [4] , Абнера Бургосского « Сефер Мейашер 'Аков» ( «Исправление искривленности Трактат XIV века, написанный в Кастилии ») основан на работе Сабита ибн Курры и также содержит описания четырехугольников Саккери. [5]

Омар Хайям (1048-1131) описал их в конце XI века в I книге « Объяснения трудностей постулатов Евклида» . [1] В отличие от многих комментаторов Евклида до и после него (включая Саккери), Хайям не пытался устранить параллельный постулат, а заменить его эквивалентным постулатом, сформулированным им из «принципов Философа» ( Аристотеля ):

Две сходящиеся прямые пересекаются, и две сходящиеся прямые не могут расходиться в направлении, в котором они сходятся. [6]

Затем Хайям рассмотрел три случая правильных, тупых и острых, которые могут принимать вершинные углы четырехугольника Саккери, и после доказательства ряда теорем о них он (правильно) опроверг тупой и острый случаи на основе своего постулата и, следовательно, вывел классический постулат Евклида.

Итальянский математик 17-го века Джордано Витале использовал четырехугольник в своем «Евклиде restituo» (1680, 1686), чтобы доказать, что если три точки равноудалены от основания и саммит затем и везде равноудалены.

Сам Саккери основывал все свое длинное и в конечном итоге ошибочное доказательство постулата параллельности на четырехугольнике и трех его случаях, попутно доказывая множество теорем о его свойствах.

Саккери в гиперболической геометрии Четырехугольники

Позволять быть четырехугольником Саккери, имеющим основание саммит и ноги и Следующие свойства действительны в любом четырехугольнике Саккери в гиперболической геометрии : [7]

  • Углы вершины и равны и остры.
  • Вершина длиннее основания.
  • Два четырехугольника Саккери равны, если:
    • сегменты основания и углы вершины конгруэнтны
    • сегменты вершины и углы вершины совпадают.
  • Отрезок, соединяющий середину основания и середину вершины:
    • Перпендикулярно основанию и вершине,
    • — единственная линия симметрии четырёхугольника,
    • это самый короткий отрезок, соединяющий основание и вершину,
    • перпендикулярен линии, соединяющей середины сторон,
    • делит четырехугольник Саккери на два четырехугольника Ламберта .
  • Отрезок, соединяющий середины сторон, не перпендикулярен ни одной из сторон.

Уравнения [ править ]

В гиперболической плоскости постоянной кривизны , саммит четырехугольника Саккери можно вычислить по катету и база используя формулы [8] [9]

Доказательство находится в «Страницы Кабри Уилсона Стотерса» .

в модели Пуанкаре Тайлинги диска

Существуют плитки модели диска Пуанкаре гиперболической плоскости, имеющие четырехугольники Саккери в качестве фундаментальных областей . Помимо двух прямых углов, эти четырехугольники имеют острые углы вершины. Мозаики демонстрируют симметрию *nn22 ( орбифолдное обозначение ) и включают:


*3322 симметрия

*∞∞22 симметрия

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

  1. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Борис Абрамович Розенфельд (1988). История неевклидовой геометрии: эволюция концепции геометрического пространства (перевод Эйба Шеницера). Спрингер. п. 65. ИСБН  0-387-96458-4 .
  2. ^ Фабер 1983 , стр. 145
  3. ^ Коксетер 1998 , стр. 11
  4. ^ Бравер, Сет (2011). Лобачевский Иллюминированный . Американское математическое общество . п. 58. ИСБН  9781470456405 .
  5. ^ «Исправление искривленности» Альфонсо: еврейский геометрическо-философский трактат четырнадцатого века . Перевод Рут Гласнер. Спрингер. 2020. с. 113-114.
  6. ^ Борис А. Розенфельд и Адольф П. Юшкевич (1996), Геометрия , стр. 467 в Рошди Рашид, Режис Морелон (1996), Энциклопедия истории арабской науки , Routledge, ISBN   0-415-12411-5 .
  7. ^ Фабер 1983 , стр. 146–147.
  8. ^ П. Бузер и Х. Керхер. Почти плоские многообразия Громова. Звездочка 81 (1981), стр. 104.
  9. ^ Гринберг, Марвин Джей (2003). Евклидова и неевклидова геометрия: развитие и история (3-е изд.). Нью-Йорк: Фриман. п. 411. ИСБН  9780716724469 .

Ссылки [ править ]

  • Коксетер, HSM (1998), Неевклидова геометрия (6-е изд.), Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки, ISBN  0-88385-522-4
  • Фабер, Ричард Л. (1983), Основы евклидовой и неевклидовой геометрии , Нью-Йорк: Марсель Деккер, ISBN  0-8247-1748-1
  • М. Дж. Гринберг , Евклидова и неевклидова геометрия: развитие и история , 4-е издание, WH Freeman, 2008.
  • Джордж Э. Мартин, Основы геометрии и неевклидова плоскость , Springer-Verlag, 1975 г.
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: f4897bc9b98a855df024b7954c909321__1715455020
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/f4/21/f4897bc9b98a855df024b7954c909321.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Saccheri quadrilateral - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)