Четырехугольник Саккери
— Четырехугольник Саккери это четырёхугольник у которого две равные стороны перпендикулярны основанию , . Он назван в честь Джованни Джероламо Саккери , который широко использовал его в своей книге 1733 года «Euclides ab omni naevo vindicatus» ( «Евклид, освобожденный от всякого недостатка »), попытке доказать постулат о параллельности, используя метод доведения до абсурда . Такой четырехугольник иногда называют четырехугольником Хайяма-Саккери в честь персидского ученого Омара Хайяма, который описал их в своей книге XI века Рисала фи шарх ма ашкала мин мусадарат китаб Уклидис ( Объяснения трудностей в постулатах Евклида ). [1]
Для четырехугольника Саккери ноги и равны по длине и каждая перпендикулярна основанию Верх называется вершиной , а углы при ней и называются углами вершины .
Преимущество использования четырехугольников Саккери при рассмотрении постулата параллельности состоит в том, что они ясно представляют три взаимоисключающих варианта: являются ли вершинные углы прямыми , тупыми или острыми углами ?
Сам Саккери не рассматривал возможность неевклидовой геометрии и полагал, что как тупые, так и острые случаи могут оказаться противоречащими другим постулатам Евклида. Он действительно показал, что тупой случай противоречив, но не смог должным образом разобраться с острым случаем. [2]
Существование четырехугольника Саккери с прямыми углами при вершине для любого основания и сторон эквивалентно постулату параллельности, ведущему к евклидовой геометрии . В гиперболической геометрии , возникающей в результате отрицания постулата параллельности, вершинные углы всегда острые. В эллиптической или сферической геометрии (которые требуют некоторых модификаций других постулатов Евклида) [3] углы вершины всегда тупые.
История [ править ]
Хотя четырехугольники названы в честь Саккери, они рассматривались в работах более ранних математиков. Первое предложение Саккери гласит, что если две равные линии и образовать с линией равные углы углы на будут равняться друг другу; версия этого утверждения появляется в трудах ученого девятого века Сабита ибн Курры . [4] , Абнера Бургосского « Сефер Мейашер 'Аков» ( «Исправление искривленности Трактат XIV века, написанный в Кастилии ») основан на работе Сабита ибн Курры и также содержит описания четырехугольников Саккери. [5]
Омар Хайям (1048-1131) описал их в конце XI века в I книге « Объяснения трудностей постулатов Евклида» . [1] В отличие от многих комментаторов Евклида до и после него (включая Саккери), Хайям не пытался устранить параллельный постулат, а заменить его эквивалентным постулатом, сформулированным им из «принципов Философа» ( Аристотеля ):
- Две сходящиеся прямые пересекаются, и две сходящиеся прямые не могут расходиться в направлении, в котором они сходятся. [6]
Затем Хайям рассмотрел три случая правильных, тупых и острых, которые могут принимать вершинные углы четырехугольника Саккери, и после доказательства ряда теорем о них он (правильно) опроверг тупой и острый случаи на основе своего постулата и, следовательно, вывел классический постулат Евклида.
Итальянский математик 17-го века Джордано Витале использовал четырехугольник в своем «Евклиде restituo» (1680, 1686), чтобы доказать, что если три точки равноудалены от основания и саммит затем и везде равноудалены.
Сам Саккери основывал все свое длинное и в конечном итоге ошибочное доказательство постулата параллельности на четырехугольнике и трех его случаях, попутно доказывая множество теорем о его свойствах.
Саккери в гиперболической геометрии Четырехугольники
Позволять быть четырехугольником Саккери, имеющим основание саммит и ноги и Следующие свойства действительны в любом четырехугольнике Саккери в гиперболической геометрии : [7]
- Углы вершины и равны и остры.
- Вершина длиннее основания.
- Два четырехугольника Саккери равны, если:
- сегменты основания и углы вершины конгруэнтны
- сегменты вершины и углы вершины совпадают.
- Отрезок, соединяющий середину основания и середину вершины:
- Перпендикулярно основанию и вершине,
- — единственная линия симметрии четырёхугольника,
- это самый короткий отрезок, соединяющий основание и вершину,
- перпендикулярен линии, соединяющей середины сторон,
- делит четырехугольник Саккери на два четырехугольника Ламберта .
- Отрезок, соединяющий середины сторон, не перпендикулярен ни одной из сторон.
Уравнения [ править ]
В гиперболической плоскости постоянной кривизны , саммит четырехугольника Саккери можно вычислить по катету и база используя формулы [8] [9]
Доказательство находится в «Страницы Кабри Уилсона Стотерса» .
в модели Пуанкаре Тайлинги диска
Существуют плитки модели диска Пуанкаре гиперболической плоскости, имеющие четырехугольники Саккери в качестве фундаментальных областей . Помимо двух прямых углов, эти четырехугольники имеют острые углы вершины. Мозаики демонстрируют симметрию *nn22 ( орбифолдное обозначение ) и включают:
*3322 симметрия | *∞∞22 симметрия |
См. также [ править ]
Примечания [ править ]
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Борис Абрамович Розенфельд (1988). История неевклидовой геометрии: эволюция концепции геометрического пространства (перевод Эйба Шеницера). Спрингер. п. 65. ИСБН 0-387-96458-4 .
- ^ Фабер 1983 , стр. 145
- ^ Коксетер 1998 , стр. 11
- ^ Бравер, Сет (2011). Лобачевский Иллюминированный . Американское математическое общество . п. 58. ИСБН 9781470456405 .
- ^ «Исправление искривленности» Альфонсо: еврейский геометрическо-философский трактат четырнадцатого века . Перевод Рут Гласнер. Спрингер. 2020. с. 113-114.
- ^ Борис А. Розенфельд и Адольф П. Юшкевич (1996), Геометрия , стр. 467 в Рошди Рашид, Режис Морелон (1996), Энциклопедия истории арабской науки , Routledge, ISBN 0-415-12411-5 .
- ^ Фабер 1983 , стр. 146–147.
- ^ П. Бузер и Х. Керхер. Почти плоские многообразия Громова. Звездочка 81 (1981), стр. 104.
- ^ Гринберг, Марвин Джей (2003). Евклидова и неевклидова геометрия: развитие и история (3-е изд.). Нью-Йорк: Фриман. п. 411. ИСБН 9780716724469 .
Ссылки [ править ]
- Коксетер, HSM (1998), Неевклидова геометрия (6-е изд.), Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки, ISBN 0-88385-522-4
- Фабер, Ричард Л. (1983), Основы евклидовой и неевклидовой геометрии , Нью-Йорк: Марсель Деккер, ISBN 0-8247-1748-1
- М. Дж. Гринберг , Евклидова и неевклидова геометрия: развитие и история , 4-е издание, WH Freeman, 2008.
- Джордж Э. Мартин, Основы геометрии и неевклидова плоскость , Springer-Verlag, 1975 г.