Теорема о внешнем угле

Теорема о внешнем угле — это предложение 1.16 в Евклида , в котором говорится, что мера внешнего угла треугольника «Началах » больше любой из мер удаленных внутренних углов. Это фундаментальный результат в абсолютной геометрии , поскольку его доказательство не зависит от постулата параллельности .

В некоторых школьных трактовках геометрии термин «теорема о внешнем угле» применялся к другому результату: а именно та часть предложения 1.32, которая утверждает, что мера внешнего угла треугольника равна сумме мер удаленных внутренних углов. Этот результат, основанный на постулате Евклида о параллельности, будет называться «Теоремой о внешнем угле средней школы» (HSEAT), чтобы отличить его от теоремы Евклида о внешнем угле.

Некоторые авторы называют «теорему о внешнем угле средней школы» сильной формой теоремы о внешнем угле, а «теорему Евклида о внешнем угле» - слабой формой .

Внешние углы

Треугольник имеет три угла, называемые вершинами . Стороны треугольника (отрезки линий), сходящиеся в вершине, образуют два угла (четыре угла, если считать стороны треугольника прямыми, а не отрезками прямых). Только один из этих углов содержит внутри себя третью сторону треугольника, и этот угол называется внутренним углом треугольника. На рисунке ниже углы ∠ABC , ∠BCA и ∠CAB — это три внутренних угла треугольника. Внешний угол образуется путем продолжения одной из сторон треугольника; угол между вытянутой стороной и другой стороной является внешним углом. На рисунке угол ∠ACD — внешний угол.

Евклида о

Доказательство предложения 1.16, данное Евклидом, часто упоминается как одно из мест, где Евклид дает ошибочное доказательство.

Евклид доказывает теорему о внешнем угле следующим образом:

• построить середину E отрезка AC,
• нарисуй луч БЭ,
• построить точку F на луче BE так, чтобы E была (также) средней точкой B и F,
• нарисуйте отрезок FC.

Используя конгруэнтные треугольники, мы можем заключить, что ∠ BAC = ∠ ECF и ∠ ECF меньше, чем ∠ ECD, ∠ ECD = ∠ ACD, следовательно, ∠ BAC меньше, чем ∠ ACD, и то же самое можно сделать для угла ∠ CBA, разделив BC пополам.

Недостаток заключается в предположении, что точка (F, выше) лежит «внутри» угла (∠ ACD). Никаких оснований для этого утверждения не приводится, но прилагаемая диаграмма делает его похожим на истинное утверждение. При использовании полного набора аксиом евклидовой геометрии (см. Основы геометрии ) это утверждение Евклида можно доказать.

Недействительность в сферической геометрии

Маленькие треугольники могут вести себя почти евклидово, но внешние углы при основании большого треугольника равны 90°, что противоречит теореме Евклида о внешнем угле.

Теорема о внешнем угле недействительна ни в сферической геометрии , ни в связанной с ней эллиптической геометрии . Рассмотрим сферический треугольник, одна из вершин которого является Северным полюсом , а две другие лежат на экваторе . Стороны треугольника, исходящие от Северного полюса ( большие круги сферы), пересекают экватор под прямым углом, поэтому внешний угол этого треугольника равен удаленному внутреннему углу. Другой внутренний угол (на Северном полюсе) можно сделать больше 90°, что еще больше подчеркивает несостоятельность этого утверждения. Однако, поскольку теорема Евклида о внешнем угле является теоремой абсолютной геометрии, она автоматически справедлива и в гиперболической геометрии .

средней школы

Теорема о внешнем угле средней школы (HSEAT) гласит, что размер внешнего угла в вершине треугольника равен сумме размеров внутренних углов в двух других вершинах треугольника (отдаленных внутренних углах). Итак, на рисунке размер угла ACD равен размеру угла ABC плюс размер угла CAB .

HSEAT логически эквивалентен утверждению Евклида о том, что сумма углов треугольника равна 180°. Если известно, что сумма мер углов треугольника равна 180°, то HSEAT доказывается следующим образом:

$b+d=180^{\circ }$

$b+d=b+a+c$

$\therefore d=a+c.$

С другой стороны, если HSEAT принять за истинное утверждение, то:

$d=a+c$

$b+d=180^{\circ }$

$\therefore b+a+c=180^{\circ }.$

Иллюстрация доказательства HSEAT

Доказать, что сумма углов треугольника равна 180°.

Евклидово доказательство HSEAT (и одновременно результат о сумме углов треугольника) начинается с построения линии, параллельной стороне AB, проходящей через точку C , а затем использования свойств соответствующих углов и альтернативных внутренних углов параллельных прямых, чтобы получить вывод, как на иллюстрации.

HSEAT может быть чрезвычайно полезен при попытке вычислить размеры неизвестных углов треугольника.

Ссылки

• Фабер, Ричард Л. (1983), Основы евклидовой и неевклидовой геометрии , Нью-Йорк: Marcel Dekker, Inc., ISBN  0-8247-1748-1
• Гринберг, Марвин Джей (1974), Евклидова и неевклидова геометрия / Развитие и история , Сан-Франциско: WH Freeman, ISBN  0-7167-0454-4
• Хит, Томас Л. (1956). Тринадцать книг «Элементов Евклида» (2-е изд. [Факсимиле. Оригинальная публикация: Cambridge University Press, 1925] изд.). Нью-Йорк: Dover Publications.

(3 тома): ISBN   0-486-60088-2 (т. 1), ISBN   0-486-60089-0 (т. 2), ISBN   0-486-60090-4 (т. 3).

• Хендерсон, Дэвид В.; Тайминя, Дайна (2005), Изучение геометрии/евклидовой и неевклидовой геометрии с помощью истории (3-е изд.), Пирсон/Прентис-Холл, ISBN  0-13-143748-8
• Венема, Джерард А. (2006), Основы геометрии , Аппер-Седл-Ривер, Нью-Джерси: Пирсон Прентис-Холл, ISBN  0-13-143700-3
• Уайли, Ч. Р. младший (1964), Основы геометрии , Нью-Йорк: McGraw-Hill.

Ссылки на HSEAT

• Учебник по геометрии — Стандарт IX , Махараштра Совет среднего и высшего среднего образования штата , Пуна — 411 005, Индия .
• Geometry Common Core , «Pearson Education: Upper Saddle River», © 2010, страницы 171–173 | Соединенные Штаты .
• Уитер, Кэролайн К. (2007), Помощники по выполнению домашних заданий: геометрия , Франклин Лейкс, Нью-Джерси: Career Press, стр. 88–90, ISBN  978-1-56414-936-7 .