Вписанный угол

Окружность с вписанным углом θ .

  Центральный угол 2 θ

  Вписанный угол θ на большой дуге

  Дополнительный вписанный угол θ на малой дуге

В геометрии вписанный угол — это угол, образующийся внутри круга при пересечении двух хорд круга. Его также можно определить как угол, образуемый в точке окружности двумя заданными точками окружности.

Аналогично, вписанный угол определяется двумя хордами окружности, имеющими общую конечную точку.

Теорема о вписанном угле связывает меру вписанного угла с мерой центрального угла, образующего ту же дугу .

Теорема о вписанном угле появляется как предложение 20 в книге 3 Евклида «Начал» .

Теорема

Заявление

Для неподвижных точек A и B множество точек M на плоскости, для которых угол ∠ AMB равен α, представляет собой дугу окружности. Мера ∠ AOB , где O — центр круга, равна 2 α .

Теорема о вписанном угле утверждает, что угол θ, вписанный в окружность, равен половине центрального угла 2 θ , образующего ту же дугу на окружности. Следовательно, угол не меняется при его вершины перемещении в разные положения на окружности.

Доказательство

Вписанные углы, одна хорда

Случай: Одна хорда — это диаметр.

Пусть O — центр круга, как на рисунке справа. Выберите две точки на окружности и назовите V и A. их Нарисуйте линию OV и продлите ее за точку O так, чтобы она пересекала окружность в точке B которая диаметрально противоположна точке V. , Нарисуйте угол, вершиной которого является точка V , а стороны проходят через точки A, B.

Нарисуйте линию ОА . Угол ∠ BOA — центральный угол ; назовите это θ . Линии OV и OA являются радиусами круга, поэтому они имеют одинаковую длину. Следовательно, треугольник △ VOA равнобедренный ∠ , поэтому угол ∠ BVA (вписанный угол) и угол VAO равны ; обозначим каждый из них как ψ .

Углы ∠ BOA и ∠ AOV являются дополнительными и в сумме дают прямой угол (180°), поэтому угол ∠ AOV равен 180° − θ .

Сумма трех углов треугольника △ VOA должна составлять 180° :

$$(180^{\circ }-\theta )+\psi +\psi =180^{\circ }.$$

Добавление $\theta -180^{\circ }$ обеим сторонам уступает

$$2\psi =\theta .$$

Вписанные углы с центром круга внутри

Корпус: Отцентрировать внутреннюю часть под углом

  φ ₀ = ∠ DVC , θ ₀ = ∠ DOC

  φ ₁ = ∠ EVD , θ ₁ = ∠ EOD

  φ ₂ = ∠ EVC , θ ₂ = ∠ EOC

Дан круг, центром которого является точка O. три точки V, C, D. Выберите на нем Нарисуйте линии VC и VD : угол ∠ DVC — вписанный угол. Теперь нарисуйте линию OV и продлите ее за точку O чтобы она пересекала окружность в точке E. так , Угол ∠ DVC стягивает дугу DC на окружность.

Предположим, что эта дуга включает себя точку E. в Точка Е противоположна точке V. диаметрально Углы ∠ DVE , ∠ EVC также являются вписанными углами, но у обоих этих углов одна сторона проходит через центр окружности, поэтому к ним можно применить теорему из приведенной выше части 1.

Поэтому,

$$\angle DVC=\angle DVE+\angle EVC.$$

тогда пусть

$${\begin{aligned}\psi _{0}&=\angle DVC,\\\psi _{1}&=\angle DVE,\\\psi _{2}&=\angle EVC,\end{aligned}}$$

так что

$$\psi _{0}=\psi _{1}+\psi _{2}.\qquad \qquad (1)$$

Нарисуйте линии OC и OD . Угол ∠ DOC является центральным углом, как и углы ∠ DOE и ∠ EOC , и

$$\angle DOC=\angle DOE+\angle EOC.$$

Позволять

$${\begin{aligned}\theta _{0}&=\angle DOC,\\\theta _{1}&=\angle DOE,\\\theta _{2}&=\angle EOC,\end{aligned}}$$

так что

$$\theta _{0}=\theta _{1}+\theta _{2}.\qquad \qquad (2)$$

Из первой части мы знаем, что $\theta _{1}=2\psi _{1}$ и это $\theta _{2}=2\psi _{2}$. Объединение этих результатов с уравнением (2) дает

$$\theta _{0}=2\psi _{1}+2\psi _{2}=2(\psi _{1}+\psi _{2})$$

следовательно, по уравнению (1)

$$\theta _{0}=2\psi _{0}.$$

Вписанные углы с центром круга снаружи

Корпус: центрировать внешнюю сторону под углом

  ψ ₀ = ∠ DVC , θ ₀ = ∠ DOC

  ψ ₁ = ∠ EVD , θ ₁ = ∠ EOD

  ψ ₂ = ∠ EVC , θ ₂ = ∠ EOC

Предыдущий случай можно расширить, чтобы охватить случай, когда мерой вписанного угла является разность между двумя вписанными углами, как обсуждалось в первой части этого доказательства.

Дан круг, центром которого является точка O. три точки V, C, D. Выберите на нем Нарисуйте линии VC и VD : угол ∠ DVC — вписанный угол. Теперь нарисуйте линию OV и продлите ее за точку O чтобы она пересекала окружность в точке E. так , Угол ∠ DVC стягивает дугу DC на окружность.

Предположим, что эта дуга не включает точку Е. в себя Точка Е противоположна точке V. диаметрально Углы ∠EVD ∠EVC , также являются вписанными углами, но у обоих этих углов одна сторона проходит через центр окружности, поэтому к ним можно применить теорему из приведенной выше части 1.

Поэтому,

$$\angle DVC=\angle EVC-\angle EVD$$

.

тогда пусть

$${\begin{aligned}\psi _{0}&=\angle DVC,\\\psi _{1}&=\angle EVD,\\\psi _{2}&=\angle EVC,\end{aligned}}$$

так что

$$\psi _{0}=\psi _{2}-\psi _{1}.\qquad \qquad (3)$$

Нарисуйте линии OC и OD . Угол ∠ DOC является центральным углом, как и углы ∠ EOD и ∠ EOC , и

$$\angle DOC=\angle EOC-\angle EOD.$$

Позволять

$${\begin{aligned}\theta _{0}&=\angle DOC,\\\theta _{1}&=\angle EOD,\\\theta _{2}&=\angle EOC,\end{aligned}}$$

так что

$$\theta _{0}=\theta _{2}-\theta _{1}.\qquad \qquad (4)$$

Из первой части мы знаем, что $\theta _{1}=2\psi _{1}$ и это $\theta _{2}=2\psi _{2}$. Объединение этих результатов с уравнением (4) дает

$$\theta _{0}=2\psi _{2}-2\psi _{1}$$

следовательно, по уравнению (3)

$$\theta _{0}=2\psi _{0}.$$

Анимированная GIF-ка с доказательством теоремы о вписанном угле. Большой треугольник, вписанный в круг, делится на три треугольника поменьше, каждый из которых равнобедренный, поскольку две верхние стороны являются радиусами круга. Внутри каждого равнобедренного треугольника пары углов при основании равны друг другу и составляют половину от 180 ° минус угол при вершине в центре круга. Сложение этих равнобедренных углов при основании дает теорему, а именно, что вписанный угол ψ равен половине центрального угла θ .

Следствие

По аналогичному аргументу угол между хордой и касательной в одной из точек ее пересечения равен половине центрального угла, образуемого хордой. См. также Касательные линии к окружностям .

Приложения

Доказательство без слов с использованием теоремы о вписанном угле о том, что противоположные углы вписанного четырехугольника являются дополнительными:
2𝜃 + 2𝜙 = 360° ∴ 𝜃 + 𝜙 = 180°

о вписанном угле Теорема используется во многих доказательствах элементарной евклидовой геометрии плоскости . Частным случаем теоремы является теорема Фалеса , которая утверждает, что угол, опирающийся на диаметр, всегда равен 90°, т. е. прямой угол. Как следствие теоремы, сумма противоположных углов вписанных четырехугольников равна 180 °; и наоборот, любой четырехугольник, для которого это верно, можно вписать в окружность. Другой пример: теорема о вписанном угле является основой для нескольких теорем, связанных со степенью точки относительно окружности. Кроме того, это позволяет доказать, что при пересечении двух хорд в окружности произведения длин их отрезков равны.

углах для эллипсов, гипербол

Теоремы о вписанных углах существуют также для эллипсов, гипербол и парабол. Существенные различия заключаются в измерении угла. (Уголом считается пара пересекающихся прямых.)

• Эллипс
• Гипербола
• Парабола

Ссылки

• Огилви, CS (1990). Экскурсии по геометрии . Дувр. стр. 17–23. ISBN  0-486-26530-7 .
• Геллерт В., Кюстнер Х., Хеллвич М., Кестнер Х. (1977). Краткая математическая энциклопедия ВНР . Нью-Йорк: Ван Ностранд Рейнхольд. п. 172. ИСБН  0-442-22646-2 .
• Мойс, Эдвин Э. (1974). Элементарная геометрия с продвинутой точки зрения (2-е изд.). Чтение: Аддисон-Уэсли. стр. 192–197. ISBN  0-201-04793-4 .

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Вписанный угол» . Математический мир .
• Связь между центральным углом и вписанным углом
• Жевание вписанных углов при разрезании узла
• Центральный угол дуги С интерактивной анимацией
• Периферийная дуга (вписанная) Угол С интерактивной анимацией
• Теорема о центральном угле дуги с интерактивной анимацией
• На bookofproofs.github.io.