Вписанный угол
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5b/Inscribed_angles2.svg/220px-Inscribed_angles2.svg.png)
В геометрии — вписанный угол это угол , образующийся внутри круга при пересечении двух хорд круга. Его также можно определить как угол, образуемый в точке окружности двумя заданными точками окружности.
Аналогично, вписанный угол определяется двумя хордами окружности, имеющими общую конечную точку.
Теорема о вписанном угле связывает меру вписанного угла с мерой центрального угла, образующего ту же дугу .
Теорема о вписанном угле появляется как предложение 20 в книге 3 « Евклида Начал» .
Теорема [ править ]
Заявление [ править ]
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a1/ArcCapable.gif/220px-ArcCapable.gif)
Теорема о вписанном угле утверждает, что угол θ, вписанный в окружность, равен половине центрального угла 2 θ , образующего ту же дугу на окружности. Следовательно, угол не меняется при перемещении его вершины в разные положения на окружности.
Доказательство [ править ]
диаметру которых равна Вписанные углы , одна хорда
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0c/InscribedAngle_1ChordDiam.svg/220px-InscribedAngle_1ChordDiam.svg.png)
Пусть O — центр круга, как на рисунке справа. Выберите две точки на окружности и назовите V и A. их Нарисуйте линию OV и продлите ее за точку O так, чтобы она пересекала окружность в точке B которая диаметрально противоположна точке V. , Нарисуйте угол, вершиной которого является точка V , а стороны проходят через точки A, B.
Нарисуйте линию ОА . Угол ∠ BOA — центральный угол ; назовите это θ . Линии OV и OA являются радиусами круга, поэтому они имеют одинаковую длину. Следовательно, треугольник △ VOA равнобедренный , поэтому угол ∠ BVA (вписанный угол) и угол ∠ VAO равны; обозначим каждый из них как ψ .
Углы ∠ BOA и ∠ AOV являются дополнительными и в сумме образуют прямой угол (180°), поэтому угол ∠ AOV равен 180° − θ .
Сумма трех углов треугольника △ VOA должна составлять 180° :
Добавление обеим сторонам уступает
Вписанные углы с центром круга внутри [ править ]
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/db/Circle-angles-21add-inscribed.svg/220px-Circle-angles-21add-inscribed.svg.png)
Дан круг, центром которого является точка O. три точки V, C, D. Выберите на нем Нарисуйте линии VC и VD : угол ∠ DVC — вписанный угол. Теперь нарисуйте линию OV и продлите ее за точку O чтобы она пересекала окружность в точке E. так , Угол ∠ DVC стягивает дугу DC на окружность.
Предположим, что эта дуга включает точку E. в себя Точка Е точке V. диаметрально противоположна Углы ∠ DVE , ∠ EVC также являются вписанными углами, но у обоих этих углов одна сторона проходит через центр окружности, поэтому к ним можно применить теорему из приведенной выше части 1.
Поэтому,
тогда пусть
так что
Нарисуйте линии OC и OD . Угол ∠ DOC является центральным углом, как и углы ∠ DOE и ∠ EOC , и
Позволять
так что
Из первой части мы знаем, что и это . Объединение этих результатов с уравнением (2) дает
следовательно, по уравнению (1)
Вписанные углы с центром круга снаружи [ править ]
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/InscribedAngle_CenterCircleExtV2.svg/220px-InscribedAngle_CenterCircleExtV2.svg.png)
Предыдущий случай можно расширить, чтобы охватить случай, когда мерой вписанного угла является разность между двумя вписанными углами, как обсуждалось в первой части этого доказательства.
Дан круг, центром которого является точка O. три точки V, C, D. Выберите на нем Нарисуйте линии VC и VD : угол ∠ DVC — вписанный угол. Теперь нарисуйте линию OV и продлите ее за точку O чтобы она пересекала окружность в точке E. так , Угол ∠ DVC стягивает дугу DC на окружность.
Предположим, что эта дуга не включает точку Е. в себя Точка Е точке V. диаметрально противоположна Углы ∠EVD являются вписанными углами, но у , ∠EVC также обоих этих углов одна сторона проходит через центр окружности, поэтому к ним можно применить теорему из приведенной выше части 1.
Поэтому,
тогда пусть
так что
Нарисуйте линии OC и OD . Угол ∠ DOC является центральным углом, как и углы ∠ EOD и ∠ EOC , и
Позволять
так что
Из первой части мы знаем, что и это . Объединение этих результатов с уравнением (4) дает
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/90/Animated_gif_of_proof_of_the_inscribed_angle_theorem.gif/400px-Animated_gif_of_proof_of_the_inscribed_angle_theorem.gif)
Следствие [ править ]
По аналогичному аргументу угол между хордой и касательной в одной из точек ее пересечения равен половине центрального угла, образуемого хордой. См. также Касательные линии к окружностям .
Приложения [ править ]
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9c/Cyclic_quadrilateral_supplementary_angles_visual_proof.svg/220px-Cyclic_quadrilateral_supplementary_angles_visual_proof.svg.png)
2𝜃 + 2𝜙 = 360° ∴ 𝜃 + 𝜙 = 180°
о вписанном угле Теорема используется во многих доказательствах элементарной евклидовой геометрии плоскости . Частным случаем теоремы является теорема Фалеса , которая утверждает, что угол, опирающийся на диаметр , всегда равен 90°, т. е. прямой угол. Как следствие теоремы, сумма противоположных углов вписанных четырехугольников равна 180 °; и наоборот, любой четырехугольник, для которого это верно, можно вписать в окружность. Другой пример: теорема о вписанном угле является основой для нескольких теорем, связанных со степенью точки относительно окружности. Кроме того, это позволяет доказать, что при пересечении двух хорд в окружности произведения длин их отрезков равны.
вписанных углах для эллипсов, гипербол и парабол о Теоремы
Теоремы о вписанных углах существуют также для эллипсов, гипербол и парабол. Существенные различия заключаются в измерении угла. (Уголом считается пара пересекающихся прямых.)
Ссылки [ править ]
- Огилви, CS (1990). Экскурсии по геометрии . Дувр. стр. 17–23. ISBN 0-486-26530-7 .
- Геллерт В., Кюстнер Х., Хеллвич М., Кестнер Х. (1977). Краткая математическая энциклопедия ВНР . Нью-Йорк: Ван Ностранд Рейнхольд. п. 172. ИСБН 0-442-22646-2 .
- Мойс, Эдвин Э. (1974). Элементарная геометрия с продвинутой точки зрения (2-е изд.). Чтение: Аддисон-Уэсли. стр. 192–197. ISBN 0-201-04793-4 .
Внешние ссылки [ править ]
- Вайсштейн, Эрик В. «Вписанный угол» . Математический мир .
- Связь между центральным углом и вписанным углом
- Жевание вписанных углов при разрезании узла
- Центральный угол дуги С интерактивной анимацией
- Периферийная дуга (вписанная) Угол С интерактивной анимацией
- Теорема о центральном угле дуги с интерактивной анимацией
- На bookofproofs.github.io.