Соизмеримость (математика)

В математике два ненулевых действительных числа a и b называются соизмеримыми, если их отношение a / b — рациональное число ; в противном случае a и b называются несоизмеримыми . (Напомним, что рациональное число — это число, эквивалентное отношению двух целых чисел существует более общее понятие .) В теории групп соизмеримости .

Например, числа 3 и 2 соизмеримы, так как их соотношение 3/2 — . рациональное число Числа ${\sqrt {3}}$ и $2{\sqrt {3}}$ соизмеримы еще и потому, что их соотношение, ${\textstyle {\frac {\sqrt {3}}{2{\sqrt {3}}}}={\frac {1}{2}}}$ , является рациональным числом. Однако цифры ${\textstyle {\sqrt {3}}}$ и 2 несоизмеримы, поскольку их отношение, ${\textstyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$ , является иррациональным числом .

В более общем смысле, из определения сразу следует, что если a и b — любые два ненулевых рациональных числа, то a и b соизмеримы; также очевидно, что если a — любое иррациональное число, а b — любое ненулевое рациональное число, то a и b несоизмеримы. С другой стороны, если и a, и b — иррациональные числа, то a и b могут быть соизмеримы, а могут и не быть соизмеримыми.

История концепции [ править ]

Пифагорейцам чисел приписывают доказательство существования иррациональных . ^[1]^[2] Когда соотношение длин отрезки двух отрезков иррационально, сами (а не только их длины) также описываются как несоизмеримые.

Отдельная, более общая и запутанная древнегреческая доктрина пропорциональности геометрической величины » Евклида была развита в Книге V «Начал , чтобы позволить доказательства, включающие несоизмеримые длины, избегая тем самым аргументов, которые применимы только к исторически ограниченному определению числа .

Идея соизмеримости Евклида предвосхищается в дискуссии между Сократом и мальчиком-рабом в диалоге Платона под названием «Менон» , в котором Сократ использует собственные врожденные способности мальчика для решения сложной геометрической проблемы с помощью сократического метода. Он разрабатывает доказательство, которое по сути является очень евклидовым по своей природе и говорит о понятии несоизмеримости. ^[3]

Использование в основном происходит из переводов Евклида » « Начал , в которых два отрезка a и b называются соизмеримыми именно в том случае, если существует какой-то третий отрезок c , который можно уложить встык целое число раз, чтобы получить конгруэнтный отрезок. к a , а также, с другим целым числом, отрезок, соответствующий b . Евклид не использовал никакого понятия действительного числа, но он использовал понятие равенства отрезков прямой и того, что один такой отрезок длиннее или короче другого.

Что a / b является рациональным, является необходимым и достаточным условием существования некоторого действительного числа c и целых чисел m и n , таких, что

а = mc и b = nc .

Предполагая для простоты, что a и b положительны линейка , можно сказать, что , размеченная в единицах длины c , может использоваться для измерения как отрезка длины a , так и отрезка длины b . То есть существует общая единица длины , в которой a , и b можно измерить и ; это происхождение термина. пары a и b несоизмеримы В противном случае .

В теории групп [ править ]

В теории групп две подгруппы Γ ₁ и Γ ₂ группы G называются соизмеримыми , если пересечение Γ ₁ ∩ Γ ₂ имеет конечный индекс как в Γ ₁ , так и в Γ ₂ .

Пример: Пусть a и b — ненулевые действительные числа. Тогда подгруппа действительных чисел R, порожденная соизмерима a, с подгруппой, порожденной b тогда и только тогда, когда действительные числа a и b соизмеримы в том смысле, что a / b рационально. Таким образом, теоретико-групповое понятие соизмеримости обобщает понятие действительных чисел.

Аналогичное понятие существует для двух групп, которые не являются подгруппами одной и той же группы. группы G1 _, и G2 ( абстрактно ) соизмеримы существуют H1 ⊂ G1 _такие и H2 _что ⊂ G2 _если индекса H1 _{изоморфна} H2 Две , подгруппы _. конечного

В топологии [ править ]

Два линейно-связных топологических пространства иногда называют соизмеримыми, если они имеют гомеоморфные конечнолистные накрытия . В зависимости от типа рассматриваемого пространства может возникнуть желание использовать в определении гомотопические эквивалентности или диффеоморфизмы вместо гомеоморфизмов. Если два пространства соизмеримы, то их фундаментальные группы соизмеримы и .

Пример: любые две замкнутые поверхности рода не ниже 2 соизмеримы между собой.

Ссылки [ править ]

^ Курт фон Фриц (1945). «Открытие несоизмеримости Гиппасом Метапонтумским». Анналы математики . 46 (2): 242–264. дои : 10.2307/1969021 . JSTOR 1969021 .
^ Джеймс Р. Чойк (1980). «Пентаграмма и открытие иррационального числа». Двухлетний математический журнал колледжа . 11 (5): 312–316. дои : 10.2307/3026893 . JSTOR 3026893 .
^ Платона Менон . Переведено с аннотациями Джорджа Анастапло и Лоуренса Бернса . Издательство Focus: Ньюберипорт, Массачусетс. 2004. ISBN 0-941051-71-4

[1] Курт фон Фриц (1945). «Открытие несоизмеримости Гиппасом Метапонтумским». Анналы математики . 46 (2): 242–264. дои : 10.2307/1969021 . JSTOR 1969021 .

[2] Джеймс Р. Чойк (1980). «Пентаграмма и открытие иррационального числа». Двухлетний математический журнал колледжа . 11 (5): 312–316. дои : 10.2307/3026893 . JSTOR 3026893 .

[3] Платона Менон . Переведено с аннотациями Джорджа Анастапло и Лоуренса Бернса . Издательство Focus: Ньюберипорт, Массачусетс. 2004. ISBN 0-941051-71-4

[1]

[2]

[3]