Аксиома Аристотеля

Аксиома Аристотеля утверждает, что существует линия PQ, параллельная AB, но большая по длине. Обратите внимание: 1) линия AB не обязательно должна пересекать OY или OX; 2) P и Q должны лежать не на прямых OY и OX, а на их лучах (т.е. на бесконечном продолжении этих прямых).

Аксиома Аристотеля — это аксиома основ геометрии , предложенная Аристотелем в «На небесах» , которая гласит:

Если ${\widehat {\rm {XOY}}}$ — острый угол и AB — любой отрезок, то на луче существует точка P ${\overrightarrow {OY}}$ и точка Q на луче ${\overrightarrow {OX}}$, такой что PQ перпендикулярен OX и PQ > AB.

Аксиома Аристотеля является следствием свойства Архимеда . а соединение аксиомы Аристотеля и Лочниттаксиомы , в которой говорится, что «Перпендикуляры, поднятые с каждой стороны прямого угла, пересекаются», эквивалентно постулату параллельности .

Без постулата параллельности аксиома Аристотеля эквивалентна каждому из следующих трех утверждений геометрической инцидентности:

• Даны прямая A и точка P на A, а также две пересекающиеся прямые M и N, параллельные A, и существует линия G, проходящая через P, которая пересекает M, но не N.
• Дана прямая A, а также две пересекающиеся прямые M и N, параллельные A, существует линия G, которая пересекает A и M, но не N.
• Даны прямая А и две различные пересекающиеся прямые М и N, каждая из которых отличается от А, и существует линия G, пересекающая А и М, но не пересекающая N.

Источники

• Гринберг, Марвин Джей (1988), «Аксиома Аристотеля в основах геометрии» , Journal of Geometry , 33 (1–2): 53–57, doi : 10.1007/BF01230603 , S2CID   122416844
• Гринберг, Марвин Джей (2010), «Старые и новые результаты в основах элементарных плоских евклидовых и неевклидовых геометрий» (PDF) , American Mathematical Monthly , 117 (3): 198–219, doi : 10.4169/000298910x480063 , S2CID   7792750
• Гринберг, Марвин Джей (2008), Евклидова и неевклидова геометрия, 4-е издание , WH Freeman
• Мартин, Джордж Э. (1982), Основы геометрии и неевклидова плоскость , Спрингер
• Памбучиан, Виктор (2019), «Элементарная аксиома Архимеда в абсолютной геометрии (статья № 52)» , Journal of Geometry , 110 : 1–9, doi : 10.1007/s00022-019-0507-x , S2CID   209943756
• Памбучиан, Виктор (1994), «Zum Stufenaufbau des Parallelenaxioms» , Journal of Geometry , 51 (1–2): 79–88, doi : 10.1007/BF01226859 , hdl : 2027.42/43033 , S2CID   28056805
• Памбучян, Виктор; Шахт, Селия (2021), «Вездесущая аксиома» , Результаты по математике , 76 (3): 1–39, doi : 10.1007/s00025-021-01424-3 , S2CID   236236967