Споры Брауэра и Гильберта

Дэвид Гилберт (1862–1943)

Споры Брауэра -Гильберта ( нем . Grundlagenstreit , букв.   «основополагающие дебаты») были дебатами в математике двадцатого века по фундаментальным вопросам о непротиворечивости аксиом и роли семантики и синтаксиса в математике. Л. Дж. Брауэр , сторонник конструктивистской школы интуиционизма , выступил против Дэвида Гильберта , сторонника формализма . Большая часть разногласий возникла, когда оба были связаны с Mathematische Annalen , ведущим математическим журналом того времени, с Гильбертом в качестве главного редактора и Брауэром в качестве члена его редакционной коллегии. В 1920 году Гильберт исключил Брауэра из редакции Mathematische Annalen .

Фон

Споры начались с Дэвидом Гильбертом аксиоматизации геометрии в конце 1890-х годов. В своей биографии Курта Гёделя Джон Доусон-младший заметил, что «в дебатах приняли участие сторонники трех основных философских позиций». – эти трое — логики ( Готлоб Фреге и Бертран Рассел ), формалисты ( Давид Гильберт и его коллеги) и конструктивисты ( Анри Пуанкаре и Герман Вейль ); Внутри этой конструктивистской школы был радикальный самопровозглашенный «интуиционист» Л. Дж. Брауэр .

История интуиционизма

Брауэр основал математическую философию интуиционизма как вызов господствующему формализму Давида Гильберта и его коллег Пауля Бернейса , Вильгельма Аккермана , Джона фон Неймана и других. Как разновидность конструктивной математики , интуиционизм представляет собой философию оснований математики , отвергающую закон исключенного третьего в математических рассуждениях.

Завершив диссертацию, Брауэр решил не делиться своей философией, пока не сделает карьеру. К 1910 году он опубликовал ряд важных статей, в частности, теорему о неподвижной точке . Гильберт восхищался Брауэром и помог ему получить в 1912 году регулярную академическую должность в Амстердамском университете. Утвердившись, Брауэр решил вернуться к интуиционизму. В конце 1920-х годов Брауэр оказался вовлеченным в публичную полемику с Гильбертом по поводу редакционной политики Mathematische Annalen , в то время ведущего научного журнала . Он стал относительно изолированным; Развитием интуиционизма у его истоков занялся его ученик Аренд Хейтинг .

Истоки разногласий

Характер доказательства Гильбертом базовой теоремы Гильберта 1888 года был спорным. Хотя Леопольд Кронекер , конструктивист, признал, Гильберт позже ответил на подобную критику других, что «многие различные конструкции подведены под одну фундаментальную идею» – другими словами (цитируя биографа Гильберта Констанс Рид ): «Через доказательство существования , Гильберту удалось получить конструкцию»; «Доказательство» (то есть символы на странице) было «объектом».

Брауэра это не убедило, и он, в частности, возражал против использования закона исключенного третьего над бесконечными множествами. Гильберт ответил: «Отнять у математика принцип исключенного третьего… это то же самое, что… запретить боксёру пользоваться кулаками».

Действие закона исключенного третьего

В обращении, произнесенном в 1927 году, Гильберт попытался защитить свою аксиоматическую систему как имеющую «важное общефилософское значение». Гильберт считает, что в его системе не признаются неявные предположения , заявляя: «В конце концов, частью задачи науки является освобождение нас от произвола, сантиментов и привычек и защита нас от субъективизма, который... находит свою кульминацию в интуиционизме». ."

Далее в своем обращении Гильберт говорит об отказе от закона исключенного третьего : «Самый острый и страстный вызов интуиционизма — это тот, который он бросает обоснованности принципа исключенного третьего…» Отказ от закона исключенного третьего, распространенного на канторовскую завершенную бесконечность , подразумевал отказ от аксиоматической системы Гильберта, в частности его «логической ε-аксиомы».

Наконец, Гильберт выделил Брауэра, скорее косвенно, чем по имени, как причину своих нынешних затруднений: «Я удивлен тем, что математик сомневается в том, что принцип исключенного третьего строго верен как способ вывода . что, по-видимому, так образовалось целое сообщество математиков, занимающихся тем же самым. Меня больше всего удивляет тот факт, что даже в математических кругах сохраняется сила внушения одного человека. человек, каким бы темпераментным и изобретательным он ни был, способен на самые невероятные и эксцентричные эффекты».

Брауэр ответил на это, сказав: «Формализм не получил ничего, кроме благодеяний от интуиционизма, и может ожидать дальнейших благодеяний. Поэтому формалистическая школа должна признать некоторое признание интуиционизма вместо того, чтобы полемизировать против него в насмешливых тонах, даже не соблюдая надлежащего упоминания об авторстве».

Более глубокие философские различия

Истина аксиом

До тех пор, пока Гильберт не предложил свой формализм, аксиомы математики выбирались интуитивно, в попытке использовать математику для поиска истины. Аристотелевская логика является одним из таких примеров: кажется «логичным», что объект либо имеет заявленное свойство (например, «Этот грузовик желтый»), либо не имеет этого свойства («Этот грузовик не желтый»), но не то и другое одновременно ( Аристотелевский закон непротиворечия). Примитивная форма аксиомы индукции является еще одним примером: если предикат P(n) истинен для n = 0 и если для всех натуральных чисел n, если P(n) истинно, подразумевает, что P(n+1) истинно, тогда P(n) верно для всех натуральных чисел n.

Аксиоматическая система Гильберта иная. Вначале он объявляет свои аксиомы: и любой (произвольный, абстрактный) набор аксиом может быть выбран свободно. Вейль раскритиковал формализацию Гильберта, заявив, что она превратила математику «из системы интуитивных результатов в игру с формулами, которая протекает в соответствии с фиксированными правилами», и задался вопросом, чем можно руководствоваться при выборе этих правил. Вейль пришел к выводу, что «последовательность действительно является необходимым, но недостаточным условием» и заявил: «Если точка зрения Гильберта преобладает над интуиционизмом, как это, по-видимому, имеет место, то я вижу в этом решающее поражение философской позиции чистой феноменологии , которая, таким образом, доказывает быть недостаточным для понимания творческой науки даже в той области познания, которая наиболее первична и наиболее открыта для доказательств – математике».

Закон исключенного третьего простирался до бесконечности.

Кантор (1897) расширил интуитивное понятие «бесконечности» (одна нога ставится за другой в бесконечном марше к горизонту) до понятия «завершенной бесконечности» — прибытия «до конца, туда». «одним махом, и он символизировал это понятие одним знаком ℵ ₀ (алеф-ноль). По мнению Брауэра, принятие Гильбертом понятия оптовой торговли было «бездумным». Брауэр в своих (1927а) «Интуиционистских размышлениях о формализме» утверждает: «ВТОРОЕ ПОНИМАНИЕ Отказ от бездумного использования логического принципа исключенного третьего, а также признание, во-первых, того факта, что исследование вопроса, почему оправданность упомянутого принципа и то, насколько он справедлив, составляет существенный объект исследования оснований математики, и, во-вторых, то, что в интуитивной (содержательной) математике этот принцип справедлив только для конечных ТРЕТЬЕ ИНСТИТУЦИЯ. Отождествление принципа исключенного третьего с принципом разрешимости каждой математической задачи».

Это Третье прозрение относится ко второй проблеме Гильберта и продолжающимся попыткам Гильберта аксиоматизировать всю арифметику и с помощью этой системы найти «доказательство непротиворечивости» для всей математики – подробнее см. ниже. Итак, в эту драку (начатую Пуанкаре) Брауэр бросился с головой, имея Вейля в качестве поддержки.

Их первая жалоба (Второе прозрение Брауэра, выше) возникла из-за расширения Гильбертом «Закона исключенного третьего» Аристотеля (и «двойного отрицания») – до сих пор ограниченного конечными областями аристотелевского дискурса – на бесконечные области дискурса. В конце 1890-х годов Гильберт аксиоматизировал геометрию. Затем он начал использовать вдохновленное Кантором понятие завершенной бесконечности для создания элегантных, радикально сокращенных доказательств в анализе (1896 г. и позже). По его собственным словам в защиту, Гильберт считал себя оправданным в том, что он сделал (далее он называет этот тип доказательства доказательством существования): «...Я сформулировал общую теорему (1896 г.) об алгебраических формах, которая является чистой утверждение существования и по самой своей природе не может быть преобразовано в утверждение, предполагающее конструктивность. Чисто с помощью этой теоремы существования я избежал длинной и неясной аргументации Вейерштрасса и весьма сложных вычислений Дедекинда, а кроме того, я полагаю, только своего доказательства. раскрывает внутреннюю причину справедливости утверждений, сформулированных Гауссом. и сформулировано Вейерштрассом и Дедекиндом». «Ценность чистых доказательств существования состоит именно в том, что ими устраняется индивидуальная конструкция и что многие различные конструкции подводятся под одну основную идею, так что ясно выделяется только то, что существенно для доказательства; краткость и экономия мысли являются смысл существования доказательств существования».

От чего Гильберту пришлось отказаться, так это от «конструктивности». Его доказательства не производили бы «объектов» (за исключением самих доказательств – т. е. строк символов), а, скорее, приводили бы к противоречиям посылок и должны были бы действовать путем доведения до абсурда, простирающегося на бесконечность.

Поиски Гильберта обобщенного доказательства непротиворечивости аксиом арифметики

Брауэр считал эту потерю конструктивности плохой, но еще хуже, когда она применялась к обобщенному «доказательству непротиворечивости» всей математики. В своем обращении 1900 года Гильберт определил в качестве второй из своих 23 задач двадцатого века поиск обобщенного доказательства (процедуры определения) непротиворечивости аксиом арифметики. Гильберт, в отличие от Брауэра, считал, что формализованное понятие математической индукции может быть применено для поиска обобщенного доказательства непротиворечивости.

Следствием этого чудесного доказательства/процедуры P было бы следующее: Учитывая любую произвольную математическую теорему T (формулу, процедуру, доказательство), помещенную в P (таким образом, P(T)) включая сам P (таким образом, P(P)), P будет окончательно определить, была ли теорема Т (и Р) доказуемой , т. е. выводимой из ее предпосылок, аксиом арифметики. Таким образом, для всех T T будет доказуемо P или не доказуемо P и при всех условиях (т. е. при любом присвоении числовых значений переменным T). Это прекрасная иллюстрация использования закона исключенного третьего, распространенного на бесконечность, фактически расширенного дважды – сначала на все теоремы (формулы, процедуры, доказательства), а во-вторых, на данную теорему, на все присвоения ее переменных. На этот момент, упущенный Гильбертом, впервые указали ему Пуанкаре, а затем Вейль в его комментариях к лекции Гильберта в 1927 году: с любым 0' ^... ', с произвольно конкретно заданным числительным. Здесь можно подчеркнуть «конкретно данное»; с другой стороны, столь же существенно, чтобы содержательные аргументы в теории доказательств проводились в гипотетической общности , для любого доказательства, для любого числа. ... Мне кажется, что теория доказательств Гильберта показывает, что Пуанкаре был совершенно прав в этом вопросе».

В своем обсуждении, предшествовавшем комментариям Вейля 1927 года, ван Хейенорт объясняет, что Гильберт настаивал на том, что он рассмотрел вопрос о том, «приводит ли формула, взятая как аксиома, к противоречию, вопрос в том, может ли доказательство, ведущее к противоречию, быть представлено мне".

«Но [пишет ван Хейеноорт] в доказательстве непротиворечивости этот аргумент не имеет дело с одной конкретной формулой; он должен быть распространен на все формулы. Именно это имеет в виду Вейль…».

В случае успеха поиск приведет к замечательному результату: при таком обобщенном доказательстве вся математика может быть заменена автоматом, состоящим из двух частей: (i) генератора формул для создания формул одну за другой, за которым следует (ii) обобщенное доказательство непротиворечивости, которое дает «Да – действительно (т.е. доказуемо)» или «Нет – недействительно (не доказуемо)» для каждой представленной ему формулы (и каждого возможного присвоения чисел ее переменным). Другими словами: математика перестанет быть творческим предприятием и превратится в машину.

Возражения, связанные с законом исключенного третьего и индукцией.

В комментарии ван Хейеноорта, предваряющем «Комментарии ко второй лекции Гильберта об основах математики» Вейля (1927), Пуанкаре указывает Гильберту (1905), что существует два типа «индукции» (1) интуитивное следование ногами по животной логике; фут-версия, которая дает нам ощущение, что после последнего шага всегда есть еще один шаг, и (2) формальная версия - например, версия Пеано версия: строка символов. Группа из трех человек – Пуанкаре, Вейль и Брауэр – утверждала, что Гильберт молчаливо и неоправданно принял в качестве одной из своих предпосылок формальную индукцию (строку символов Клина). Пуанкаре (1905) утверждал, что в результате рассуждения Гильберта стали замкнутыми. Согласие Вейля (1927) и полемика Брауэра в конечном итоге вынудили Гильберта и его учеников Эрбрана, Бернейса и Аккермана пересмотреть свое понятие «индукции» – отказаться от предположения о «совокупности всех объектов x бесконечной коллекции» и (интуиционистски ) предположим, что общий аргумент продолжается один x за другим, до бесконечности (ван Хейеноорт, стр. 481, сноска а). Фактически это так называемая «схема индукции», используемая в понятии «рекурсия», которое в то время все еще находилось в разработке (ван Хейеноорт, стр. 493). Эта схема была приемлема для интуиционистов, поскольку она была выведена из «интуиции».

Чтобы продолжить это различие, Клини 1952/1977 различает три типа математической индукции: (1) формальное правило индукции (аксиома Пеано, пример см. в следующем разделе); (2) индуктивное определение (примеры: счет, «доказательство по индукции»); и (3) определение по индукции (рекурсивное определение «теоретико-числовых функций или предикатов»). Что касается (3), Клини рассматривает примитивные рекурсивные функции :

«интуитивная теория об определенном классе теоретико-числовых функций и предикатов... В этой теории, как и в метаматематике, мы будем пользоваться только финитными методами.

Ряд натуральных чисел 0, 0', 0 ' ' , 0 ' ' ' , ... или 0, 1, 2, 3, ... мы описали как класс объектов, созданных из одного примитивного объекта 0 с помощью одной примитивной операции 'или +1. Это представляет собой индуктивное определение класса натуральных чисел.

Доказательство по индукции... непосредственно соответствует этому способу получения чисел. Определение по индукции (не путать с «индуктивным определением»…) — это аналогичный метод определения теоретико-числовой функции φ(y) или предиката P(y). [Теоретико-числовая функция или предикат принимает в качестве переменных только выбранные натуральные числа и, в свою очередь, производит только одно натуральное число]. Сначала задается φ(0) или P(0) (значение функции или предиката для 0 в качестве аргумента). Тогда для любого натурального числа y φ(y') или P(y') (следующее значение y после этого) выражается через y и φ(y) или P(y) (значение y) . ... Две части определения позволяют нам, генерируя любое натуральное число y, одновременно определить значение φ(y) или P(y)» (стр. 217).

Отголоски спора

Настойчивость Брауэра на «конструктивности» в поисках «доказательства непротиворечивости арифметики» привела к чувствительности к этому вопросу, что отражено в работах Финслера и Гёделя. В конечном итоге Гёдель «оцифровал» свои формулы; Затем Гёдель использовал примитивную рекурсию (и ее реализацию интуитивной, конструктивной формы индукции, т. е. подсчета и пошаговой оценки), а не строку символов, представляющих формальную индукцию. Гёдель был настолько чувствителен к этому вопросу, что в своей статье 1931 года он приложил большие усилия, чтобы указать, что его теорема VI (так называемая «Первая теорема о неполноте») «конструктивна; ^45а то есть следующее было доказано интуиционистски неоспоримым способом...» Затем он демонстрирует то, что он считает конструктивным характером своей «формулы обобщения» 17 Генерал. Сноска 45а подкрепляет его точку зрения.

Статья Гёделя 1931 года действительно включает формалистскую символическую версию аксиомы индукции Пеано; это выглядит так, где "." - логическое И, f - знак-преемник, x ₂ - функция, x ₁ - переменная, x ₁ Π обозначает "для всех значений переменной x ₁ " и $\supset$ обозначает импликацию:

$x_{2}(0).x_{1}\Pi (x_{2}(x_{1})\supset x_{2}(fx_{1}))\supset x_{1}\Pi (x_{2}(x_{1}))$

Но он, похоже, не использует это в формалистическом смысле.

Обратите внимание, что по этому поводу существуют некоторые разногласия. Гёдель указывает эту строку символов в своем I.3., т. е. формализованная индуктивная аксиома выглядит так, как показано выше, но даже эту строку можно «оцифровать», используя метод Гёделя. С другой стороны, он, похоже, не использует эту аксиому. Скорее, его рекурсия проходит через целые числа, присвоенные переменной k (см. его (2) на стр. 602). Однако его скелетное доказательство теоремы V «использует индукцию по степени φ» и использует «гипотезу индукции». Без полного доказательства этого нам остается предположить, что использование им «гипотезы индукции» является интуитивной версией, а не символической аксиомой. Его рекурсия просто повышает степень функций, интуитивное действие, до бесконечности . Но Нагель и Ньюман отмечают, что доказательства Гёделя бесконечны по своей природе: не финитны, как того требовал Гильберт (см. вторую проблему Гильберта ), в то время как Гёдель настаивал на том, что они интуиционистски удовлетворительны. Это не несовместимые истины, пока нигде в доказательствах не упоминается закон исключенного третьего над завершенной бесконечностью.

Несмотря на продолжающуюся абстракцию математики в последней половине двадцатого века, проблема не исчезла полностью. Вот два примера. Во-первых, предпосылки спора – даже те, которые считаются не подлежащими сомнению – всегда являются честной добычей. Тщательный взгляд на предпосылки работы Тьюринга 1936–1937 годов привел Робина Ганди (1980) к предложению своих «принципов механизмов», которые включают скорость света в качестве ограничения. Во-вторых, Брегер (2000) в своей книге «Неявное знание и математический прогресс» глубоко углубляется в вопрос «семантики и синтаксиса» - в его статье своевременно появляются Гильберт, Пуанкаре, Фреге и Вейль. Брегер утверждает, что аксиоматические доказательства предполагают опытный, думающий ум. В частности, он утверждает, что к аргументации должен прийти разум, вооружённый предварительным знанием символов и их использования (семантика, лежащая в основе бессмысленного синтаксиса): «Математика как чисто формальная система символов без человеческого существа, обладающего ноу-хау для обращения с с символами невозможно [согласно химику Поланьи (1969, 195), идеал строго явной формы знания противоречив, потому что без неявного знания все формулы, слова и иллюстрации стали бы бессмысленно]» (скобки в оригинале, Breger 2000: 229).

Клини о Брауэре-Гильберте

Серьезное исследование этого противоречия можно найти во «Введении в метаматематику» Стивена Клини , особенно в главе III: «Критика математических рассуждений». Он обсуждает §11. Парадоксы , §12. Первые выводы из парадоксов [импредикативные определения, логицизм и т. д.], §13. Интуиционизм , §14. Формализм , §15. Формализация теории . Клини серьезно относится к дискуссии и на протяжении всей своей книги фактически строит две «формальные системы» (например, на странице 119 он показывает логические законы, такие как двойное отрицание, которые недопустимы в интуиционистской системе).

Библиография

• WS Anglin 1994, Математика: краткая история и философия , Springer-Verlag, Нью-Йорк. ISBN   0-387-94280-7 .
• Герберт Брегер, 2000. «Неявное знание и математический прогресс», опубликовано в Э. Грошозе и Х. Брегере (ред.) 2000, « Рост математических знаний» , Kluwer Academic Publishers, Дордрехт, Нидерланды, ISBN   0-7923-6151-2 , страницы 221–230.
• Мартин Дэвис , 1965. Неразрешимое: основные статьи о неразрешимых предложениях, неразрешимых проблемах и вычислимых функциях , Raven Press, Нью-Йорк, без ISBN. Это включает в себя:
  • Эмиль Пост , 1936. «Конечный комбинаторный процесс. Формула I», с комментариями (страницы 288 и далее).
  • Эмиль Пост , 1941 г., не публиковалось до 1965 г. «Абсолютно неразрешимые проблемы и относительно неразрешимые предложения: отчет об ожидании», с комментариями (стр. 338 и далее).
• ван Дален, Дирк (1990). «Война лягушек и мышей, или Кризис Математических анналов ». Математический интеллект . 12 (4): 17–31. дои : 10.1007/BF03024028 . S2CID   123400249 . О битве за редакционный контроль над журналом Mathematische Annalen между Гильбертом и Брауэром, частично вытекающей из их фундаментальных разногласий. Название этой работы является отсылкой к Батрахомиомахии , классической пародии на « Илиаду» .
• Мартин Дэвис , 2000. Логические машины , WW Norton, Лондон, ISBN   0-393-32229-7 пбк. См. Глава пятая: «Гильберт спешит на помощь», в которой Дэвис обсуждает Брауэра и его отношения с Гильбертом и Вейлем с краткой биографической информацией о Брауэре.
• Джон В. Доусон-младший , 1997. Логические дилеммы: жизнь и творчество Курта Гёделя , А.К. Питерс, Уэлсли, Массачусетс, ISBN   1-56881-256-6 .
• Робин Ганди , 1980. «Тезис Черча и принципы механизмов», опубликованный в книгах Дж. Барвайза , Х. Дж. Кейслера и К. Кунена , ред., 1980, The Kleene Symposium , North-Holland Publishing Company, страницы 123–148.
• Стивен Хокинг , 2005. Бог создал целые числа: математические прорывы, изменившие историю: под редакцией Стивена Хокинга с комментариями , Running Press, Филадельфия, ISBN   978-0-7624-1922-7 . Комментарий Хокинга и отрывок из книги Кантора «Вклад в создание теории трансфинитных чисел» опубликованы на стр. 971 и далее.
• Дэвид Гильберт (1927), «Основы математики», опубликованные по адресу http://www.marxists.org/reference/subject/philosophy/works/ge/hilbert.htm и, по-видимому, взятые из работы Сохотры Саркара (ред.), 1996 г., The Возникновение логического эмпиризма: с 1900 года до Венского кружка , Garland Publishing Inc, [нет местоположения издателя, нет ISBN]. Знаменитое выступление Гильберта, в котором он представляет и довольно подробно обсуждает свои аксиомы формализма, уделяя особое внимание двойному отрицанию, закону исключенного третьего и его «е-аксиоме». [Этот онлайн-документ содержит опечатки; лучшая версия — van «Гильберт» Хейеноорта (1927).]
• Стивен Клини , 1952 г., с исправлениями 1971 г., 10-е переиздание 1991 г., «Введение в метаматематику» , издательство North-Holland Publishing Company, Амстердам, Нидерланды, ISBN   0-7204-2103-9 . См. в частности, Глава III: Критика математического рассуждения , §13 «Интуиционизм» и §14 «Формализм».
• Жан ван Хейеноорт , 1976 (2-е издание с исправлениями), От Фреге до Гёделя: справочник по математической логике, 1879–1931 , издательство Гарвардского университета, Кембридж, Массачусетс, ISBN   0-674-32449-8 (пбк.). Следующие статьи и комментарии имеют отношение к делу и предлагают краткие сроки публикации. (Важные дополнительные дополнения Гёделя, касающиеся принятия им машин Тьюринга в качестве формальной логической системы для замены его системы (аксиомы Пеано + рекурсия), появляются в книге Мартина Дэвиса «Неразрешимое» ):
  • Гильберт (1904). Об основах логики и арифметики, с. 129
  • Брауэр (1923, 1954, 1954а). О значении принципа исключенного третьего в математике, особенно в теории функций, с. 334
  • Брауэр (1927). Об областях определения функций с. 446
  • Гильберт (1927). Основы математики с. 464. (Знаменитое обращение Гильберта).
  • Вейль (1927). Комментарии ко второй лекции Гильберта об основаниях математики с. 480.
  • Бернейс (1927). Приложение к лекции Гильберта «Основы математики» с. 485
  • Брауэр (1927а). Интуиционистские размышления о формализме с. 490
  • Гёдель (1930а, 1931, 1931а). Некоторые метаматематические результаты о полноте и непротиворечивости. О формально неразрешимых положениях Principia mathematica и родственных систем I, а также о полноте и непротиворечивости с. 592
  • Брауэр (1954, 1954а). Будет добавлено и исправлено, и Далее будет добавлено и исправлено, с. 334ff
• Эрнест Нагель и Джеймс Ньюманн, 1958, Доказательство Гёделя , Издательство Нью-Йоркского университета, без ISBN, каталожный номер карточки Библиотеки Конгресса 58-5610.
• Констанс Рид 1996. Гилберт , Спрингер , ISBN   0-387-94674-8 . Биография на английском языке.
• Бертран Рассел , первоначально опубликовано в 1912 году, с комментариями Джона Перри, 1997. «Проблемы философии» , Oxford University Press, Нью-Йорк, Нью-Йорк, ISBN   0-19-511552-X .