Формализм (философия математики)
 | В данной статье поднимается несколько вопросов. Пожалуйста, помогите улучшить его или обсудите эти проблемы на странице обсуждения . ( Узнайте, как и когда удалять эти шаблонные сообщения )
|
В математики философии формализм — это точка зрения, согласно которой утверждения математики и логики можно рассматривать как утверждения о последствиях манипуляций со строками (буквенно-цифровыми последовательностями символов, обычно в виде уравнений) с использованием установленных правил манипуляции . Центральная идея формализма «заключается в том, что математика не является совокупностью предложений, представляющих абстрактный сектор реальности, а гораздо больше похожа на игру, не приносящую с собой большей приверженности онтологии объектов или свойств, чем лудо или шахматы ». [1] Согласно формализму, истины, выраженные в логике и математике, не касаются чисел, множеств, треугольников или каких-либо других сопутствующих предметов — на самом деле, они вообще ни о чем «ни о чем». Скорее, математические утверждения представляют собой синтаксические формы, формы и расположение которых не имеют значения, пока им не будет дана интерпретация (или семантика ). В отличие от математического реализма , логицизма или интуиционизма , контуры формализма менее определены из-за широких подходов, которые можно отнести к формалистическим.
Наряду с реализмом и интуиционизмом формализм является одной из основных теорий философии математики, сложившейся в конце XIX — начале XX века. Среди формалистов Дэвид Гильберт . наиболее известным защитником был [2]
формализм Ранний
Ранние математические формалисты пытались «заблокировать, избежать или обойти (каким-то образом) любую онтологическую приверженность проблемной области абстрактных объектов». [1] Немецкие математики Эдуард Гейне и Карл Йоханнес Томае считаются ранними сторонниками математического формализма. [1] Формализм Гейне и Томаэ можно найти в критических замечаниях Готлоба Фреге в «Основах арифметики» .
По словам Алана Вейра, формализм Гейне и Томаэ, на который нападает Фреге, можно «описать [d] как формализм терминов или формализм игр». [1] Термин формализм — это точка зрения, согласно которой математические выражения относятся к символам, а не к числам. Гейне выразил эту точку зрения следующим образом: «Когда дело доходит до определения, я занимаю чисто формальную позицию, заключающуюся в том, что некоторые осязаемые знаки я называю числами, так что существование этих чисел не подвергается сомнению». [3]
Томаэ характеризуется как игровой формалист, который утверждал, что «[для формалиста] арифметика представляет собой игру со знаками, которые называются пустыми. Это означает, что они не имеют другого содержания (в вычислительной игре), чем они заданы их поведением». относительно определенных правил комбинации (правил игры)». [4]
Фреге дает три критических замечания в адрес формализма Гейне и Томаэ: «что [формализм] не может объяснить применение математики; что он путает формальную теорию с метатеорией; [и] что он не может дать связного объяснения концепции бесконечной последовательности». [5] Критика Фреге формализма Гейне заключается в том, что его формализм не может объяснить бесконечные последовательности. Даммет утверждает, что более развитые теории формализма, чем теория Гейне, могли бы избежать возражений Фреге, утверждая, что они касаются абстрактных символов, а не конкретных объектов. [6] Фреге возражает против сравнения формализма с формализмом игры, например шахмат. [7] Фреге утверждает, что формализм Томаэ не позволяет провести различие между игрой и теорией.
Формализм Гильберта [ править ]
Главной фигурой формализма был Давид Гильберт , чья программа была задумана как полная и последовательная аксиоматизация всей математики. [8] Гильберт стремился показать непротиворечивость математических систем, исходя из предположения, что «финитарная арифметика» (подсистема обычной арифметики положительных целых чисел , выбранная как философски бесспорная) непротиворечива (т. е. никакие противоречия из системы не могут быть выведены ).
Способ, которым Гильберт пытался показать непротиворечивость аксиоматической системы, заключался в ее формализации с использованием определенного языка. [9] Чтобы формализовать аксиоматическую систему, вы должны сначала выбрать язык, на котором вы можете выражать и выполнять операции внутри этой системы. Этот язык должен включать в себя пять компонентов:
- Он должен включать такие переменные, как x, который может обозначать некоторое число.
- Он должен иметь кванторы, такие как символ существования объекта.
- Оно должно включать равенство.
- Оно должно включать такие связки, как ↔, обозначающее «тогда и только тогда».
- Он должен включать определенные неопределенные термины, называемые параметрами. В геометрии эти неопределенные термины могут быть чем-то вроде точки или линии, для которых мы до сих пор выбираем символы.
Приняв этот язык, Гильберт думал, что мы сможем доказать все теоремы в любой аксиоматической системе, используя не что иное, как сами аксиомы и выбранный формальный язык.
Вывод Гёделя в его теоремах о неполноте заключался в том, что невозможно доказать непротиворечивость внутри какой-либо последовательной аксиоматической системы, достаточно богатой, чтобы включать классическую арифметику. С одной стороны, вы должны использовать только формальный язык, выбранный для формализации этой аксиоматической системы; с другой стороны, невозможно доказать непротиворечивость этого языка самого по себе. [9] Гильберта изначально разочаровала работа Гёделя, потому что она разрушила цель его жизни — полностью формализовать все в теории чисел. [10] Однако Гёдель не чувствовал, что он противоречит всему в Гильберта . формалистической точке зрения [11] После того, как Гёдель опубликовал свою работу, стало очевидно, что теория доказательств все еще имеет какое-то применение, с той лишь разницей, что ее нельзя использовать для доказательства непротиворечивости всей теории чисел, как Гильберт . надеялся [10]
Гильберт изначально был дедуктивистом. [ нужна цитата ] но он считал, что определенные метаматематические методы дают внутренне значимые результаты, и был реалистом в отношении финитной арифметики. Позже он придерживался мнения, что никакой другой значимой математики, независимо от ее интерпретации, не существует.
Дальнейшие разработки [ править ]
Другие формалисты, такие как Рудольф Карнап , считали математику исследованием формальных систем аксиом . [12]
Хаскелл Карри определяет математику как «науку о формальных системах». [13] Формализм Карри отличается от формалистов терминов, игровых формалистов или формализма Гильберта. Для Карри математический формализм — это формальная структура математики, а не формальная система. [13] Стюарт Шапиро описывает формализм Карри как исходящий из «исторического тезиса о том, что по мере развития отрасли математики она становится все более и более строгой в своей методологии, а конечным результатом является кодификация отрасли в формальных дедуктивных системах». [14]
формализма Критика
Курт Гёдель указал на одно из слабых мест формализма, обратившись к вопросу непротиворечивости аксиоматических систем.
Бертран Рассел утверждал, что формализм не может объяснить, что подразумевается под лингвистическим применением чисел в таких утверждениях, как «в комнате трое мужчин». [15]
См. также [ править ]
Ссылки [ править ]
- ^ Перейти обратно: а б с д Вейр, Алан (2015), «Формализм в философии математики» , в Залте, Эдвард Н. (редактор), Стэнфордская энциклопедия философии (изд. весны 2015 г.), Лаборатория метафизических исследований, Стэнфордский университет , получено в 2019–2005 гг. -25
- ^ Саймонс, Питер (2009). "Формализм". Философия математики . Эльзевир. п. 292. ИСБН 9780080930589 .
- ^ Саймонс, Питер (2009). Философия математики . Эльзевир. п. 293. ИСБН 9780080930589 .
- ^ Фреге, Готтлоб (1903). Основы арифметики: логико-математическое исследование понятия числа . Чикаго: Издательство Северо-Западного университета. п. 183.
- ^ Даммет, Майкл (1991). Фреге: Философия математики . Кембридж: Издательство Гарвардского университета. п. 252. ИСБН 9780674319356 .
- ^ Даммет, Майкл (1991). Фреге: Философия математики . Кембридж: Издательство Гарвардского университета. п. 253. ИСБН 9780674319356 .
- ^ Фреге, Готтлоб; Эберт, Филип А.; Кук, Рой Т. (1893). Основные законы арифметики: получены с использованием концептуального сценария . Оксфорд: Издательство Оксфордского университета (опубликовано в 2013 г.). стр. § 93. ISBN 9780199281749 .
- ^ Зак, Ричард (2019), «Программа Гильберта» , в Залте, Эдвард Н. (редактор), Стэнфордская энциклопедия философии (изд. летом 2019 г.), Лаборатория метафизических исследований, Стэнфордский университет , получено 25 мая 2019 г.
- ^ Перейти обратно: а б Снаппер, Эрнст (сентябрь 1979 г.). «Три кризиса в математике: логицизм, интуиционизм и формализм» (PDF) . Журнал «Математика» . 52 (4): 207–216. дои : 10.1080/0025570X.1979.11976784 .
- ^ Перейти обратно: а б Рид, Констанс; Вейль, Герман (1970). Гильберт . Спрингер-Верлаг. п. 198. ИСБН 9783662286159 .
- ^ Гёдель, Курт (1986). Феферман, Соломон (ред.). Курт Гёдель: Собрание сочинений: Том I: Публикации 1929–1936 гг . Том. 1. Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. п. 195. ИСБН 9780195039641 .
- ^ Карнап, Рудольф (1937). Логический синтаксис языка . Рутледж. стр. 325–328. ISBN 9781317830597 .
- ^ Перейти обратно: а б Карри, Хаскелл Б. (1951). Очертания формалистической философии математики . Эльзевир. п. 56. ИСБН 9780444533685 .
- ^ Шапиро, Стюарт (2005). "Формализм". Оксфордский справочник по философии . Хондерих, Тед (2-е изд.). Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. ISBN 9780191532658 . ОСЛК 62563098 .
- ^ Бертран Рассел «Мое философское развитие» , 1959, гл. ИКС.
Внешние ссылки [ править ]
СМИ, связанные с формализмом (дедуктивным) на Викискладе?
