Реализация математики в теории множеств

В данной статье рассматривается реализация математических понятий в теории множеств . Реализация ряда основных математических концепций осуществляется параллельно в ZFC (доминирующая теория множеств) и в NFU , версии « Новых оснований » Куайна, непротиворечивость которой была показана Р.Б. Дженсеном в 1969 году (здесь понимается включающая по крайней мере аксиомы Бесконечность и выбор ).

Сказанное здесь применимо также к двум семействам теорий множеств: с одной стороны, ряд теорий, включая теорию множеств Цермело вблизи нижнего конца шкалы и восходящую к ZFC, расширен за счет крупных кардинальных гипотез, таких как «существует измеримая кардинал »; и, с другой стороны, иерархия расширений НФУ, которая рассматривается в статье «Новые основы» . Они соответствуют различным общим взглядам на то, что представляет собой теоретико-множественная вселенная, и именно подходы к реализации математических концепций в рамках этих двух общих взглядов сравниваются и противопоставляются.

Основной целью этой статьи не является сказать что-либо об относительных достоинствах этих теорий как основ математики. Причина использования двух разных теорий множеств состоит в том, чтобы проиллюстрировать возможность реализации нескольких подходов к реализации математики. Именно благодаря такому подходу данная статья не является источником «официальных» определений какого-либо математического понятия.

Предварительные сведения

В следующих разделах представлены некоторые конструкции двух теорий ZFC и NFU и сравниваются полученные реализации определенных математических структур (например, натуральных чисел ).

Математические теории доказывают теоремы (и ничего больше). Таким образом, утверждение о том, что теория допускает построение определенного объекта, означает, что теоремой этой теории является существование этого объекта. Это утверждение об определении формы «x такой, что $\phi$ существует", где $\phi$ — это формула нашего языка : теория доказывает существование «х такого, что $\phi$на всякий случай это теорема о том, что «существует один и только один x такой, что $\phi$(См. Бертрана Рассела теорию описаний .) Грубо говоря, в этом случае теория «определяет» или «конструирует» этот объект. Если утверждение не является теоремой, теория не может показать, что объект существует; если утверждение доказуемо ложный в теории, он доказывает, что объект не может существовать свободно, объект не может быть сконструирован;

ZFC и NFU используют общий язык теории множеств, поэтому одинаковые формальные определения «x такой, что $\phi$«можно рассматривать в двух теориях. Конкретной формой определения на языке теории множеств является нотация строителя множеств : $\{x\mid \phi \}$ означает «множество A такое, что для всех x $x\in A\leftrightarrow \phi$(А не может быть свободным в $\phi$). Это обозначение допускает некоторые традиционные расширения: $\{x\in B\mid \phi \}$ является синонимом $\{x\mid x\in B\wedge \phi \}$; $\{f(x_{1},\ldots ,x_{n})\mid \phi \}$ определяется как $\{z\mid \exists x_{1},\ldots ,x_{n}\,(z=f(x_{1},\dots ,x_{n})\wedge \phi )\}$, где $f(x_{1},\ldots ,x_{n})$ это уже определенное выражение.

Выражения, определяемые в нотации построителя множеств, имеют смысл как в ZFC, так и в NFU: возможно, обе теории доказывают, что данное определение успешно, или что ни одна из них не доказывает (выражение $\{x\mid x\not \in x\}$ не может ссылаться ни на что в любой теории множеств с классической логикой; в классов, теориях таких как NBG, это обозначение действительно относится к классу, но оно определяется по-другому), или что одно относится, а другое нет. Кроме того, объект, определенный одинаково в ZFC и NFU, может оказаться обладающим разными свойствами в двух теориях (или может существовать разница в том, что можно доказать, когда между их свойствами нет доказуемой разницы).

Кроме того, теория множеств импортирует концепции из других разделов математики (по замыслу, из всех разделов математики). В некоторых случаях существуют разные способы импорта концепций в ZFC и NFU. Например, обычное определение первого бесконечного ординала $\omega$ объект (определенный на чисто теоретическом языке как набор всех конечных ординалов фон Неймана в ZFC не подходит для NFU, потому что невозможно показать, что ) существует в NFU. Обычное определение $\omega$ в NFU - это (на языке чисто теории множеств) множество всех бесконечных правильных порядков, все собственные начальные сегменты которых конечны, - объект, который, как можно показать, не существует в ZFC. В случае таких импортированных объектов могут быть разные определения: одно для использования в ZFC и связанных теориях, а другое для использования в NFU и связанных теориях. Чтобы такие «реализации» импортированных математических концепций имели смысл, необходимо показать, что две параллельные интерпретации обладают ожидаемыми свойствами: например, реализации натуральных чисел в ZFC и NFU различны, но обе они реализации одной и той же математической структуры, поскольку обе включают определения всех примитивов арифметики Пеано и удовлетворяют (переводам) аксиом Пеано. Тогда можно сравнить, что происходит в двух теориях, когда используется только установленный теоретический язык, при условии, что определения, соответствующие ZFC, понимаются как используемые в контексте ZFC , а определения, соответствующие NFU, понимаются как используемые. в контексте НФУ.

Все, что доказано, существует в теории, очевидно, что оно существует в любом расширении этой теории; более того, анализ доказательства существования объекта в данной теории может показать, что он существует в более слабых версиях этой теории ( можно рассматривать теорию множеств Цермело например, для большей части того, что делается в этой статье, вместо ZFC ).

Пустое множество, синглтон, неупорядоченные пары и кортежи

Эти конструкции появляются первыми, потому что они являются простейшими конструкциями в теории множеств, а не потому, что они первые конструкции, которые приходят на ум в математике (хотя понятие конечного множества, безусловно, является фундаментальным). Несмотря на то, что NFU также позволяет создавать ur-элементы набора , которые еще не стали членами набора, пустой набор является уникальным набором без членов:

$\left.\varnothing \right.\,{\overset {\mathrm {def.} }{=}}\left\{x:x\neq x\right\}$

Для каждого объекта $x$, есть набор $\{x\}$ с $x$ как его единственный элемент:

$\left\{x\right\}{\overset {\mathrm {def.} }{=}}\left\{y:y=x\right\}$

Для объектов $x$ и $y$, есть набор $\{x,y\}$ содержащий $x$ и $y$ как его единственные элементы:

$\left\{x,y\right\}{\overset {\mathrm {def.} }{=}}\left\{z:z=x\vee z=y\right\}$

Объединение двух множеств определяется обычным образом:

$\left.x\cup y\right.\,{\overset {\mathrm {def.} }{=}}\left\{z:z\in x\vee z\in y\right\}$

Это рекурсивное определение неупорядоченного $n$-кортежи для любого бетона $n$ (конечные множества заданы в виде списков своих элементов:)

$\left\{x_{1},\ldots ,x_{n},x_{n+1}\right\}{\overset {\mathrm {def.} }{=}}\left\{x_{1},\ldots ,x_{n}\right\}\cup \left\{x_{n+1}\right\}$

В НФУ все заданные определения работают за счет послойного понимания; в ZFC существование неупорядоченной пары задается аксиомой спаривания , существование пустого набора следует из разделения из существования любого набора, а бинарное объединение двух наборов существует аксиомами спаривания и объединения ( $x\cup y=\bigcup \{x,y\}$).

Заказанная пара

Основная статья: Заказанная пара

Сначала рассмотрим упорядоченную пару . Причина, по которой это происходит на первом месте, техническая: упорядоченные пары необходимы для реализации отношений и функций , которые необходимы для реализации других концепций, которые могут показаться более ранними.Первым определением упорядоченной пары было определение $(x,y){\overset {\mathrm {def} }{=}}\{\{\{x\},\emptyset \},\{\{y\}\}\}$ предложен Норбертом Винером в 1914 году в контексте теории типов Principia Mathematica . типы n -арных отношений для n Винер заметил, что это позволило исключить из системы этой работы > 1.Сейчас более привычно использовать определение $(x,y){\overset {\mathrm {def.} }{=}}\{\{x\},\{x,y\}\}$, благодаря Куратовскому .Любое из этих определений работает как в ZFC, так и в NFU. В НФУ эти два определения имеют технический недостаток: упорядоченная пара Куратовского на два типа выше своих проекций, а упорядоченная пара Винера — на три типа выше. Принято постулировать существование упорядоченной пары уровня типа (пара $(x,y)$ который того же типа, что и его проекции ) в НФУ. В обеих системах удобно использовать пару Куратовского до тех пор, пока использование пар уровня типа не будет формально оправдано.Внутренние детали этих определений не имеют ничего общего с их реальной математической функцией. Для любого понятия $(x,y)$ упорядоченной пары, важно то, чтобы она удовлетворяла определяющему условию

$(x,y)=(z,w)\ \equiv \ x=z\wedge y=w$

…и что упорядоченные пары будет достаточно легко собирать в наборы.

Отношения

Отношения — это множества, все члены которых являются упорядоченными парами . Там, где это возможно, отношение $R$ (понимаемый как двоичный предикат ) реализуется как $\{(x,y)\mid xRy\}$ (что можно записать как $\{z\mid \pi _{1}(z)R\pi _{2}(z)\}$). Когда $R$ это отношение, обозначение $xRy$ означает $\left(x,y\right)\in R$.

В ZFC некоторые отношения (например, общее отношение равенства или отношение подмножества на множествах) «слишком велики».быть множествами (но могут быть безвредно реифицированы как собственные классы ). В NFU некоторые отношения (например, отношение принадлежности) не являются множествами, поскольку их определения не стратифицированы: в $\{(x,y)\mid x\in y\}$, $x$ и $y$ быдолжны иметь один и тот же тип (поскольку они представляют собой проекции одной пары), но такжепоследовательные типы (поскольку $x$ рассматривается как элемент $y$).

Связанные определения

Позволять $R$ и $S$ быть заданы бинарные отношения . Тогда будут полезны следующие понятия:

Обратное ​ ​ $R$ это отношение $\left\{\left(y,x\right):xRy\right\}$.

Домен ​ ​ $R$ это набор $\left\{x:\exists y\left(xRy\right)\right\}$.

Диапазон ​ ​ $R$ является областью обратного $R$. То есть набор $\left\{y:\exists x\left(xRy\right)\right\}$.

Область ​ ​ $R$ это объединение домена и диапазона $R$.

Прообраз ​ члена $x$ области $R$ это набор $\left\{y:yRx\right\}$ (используется в определении термина «обоснованный» ниже.)

Закрытие вниз члена $x$ области $R$ это самый маленький набор $D$ содержащий $x$и содержащий каждый $zRy$ для каждого $y\in D$ (т.е. включая прообраз каждого из его элементов по отношению к $R$ как подмножество.)

Относительный продукт $R|S$ из $R$ и $S$ это отношение $\left\{\left(x,z\right):\exists y\,\left(xRy\wedge ySz\right)\right\}$.

Обратите внимание, что в нашем формальном определении бинарного отношения диапазон и кодомен отношения не различаются. Это можно сделать, представив отношение $R$ с кодоменом $B$ как $\left(R,B\right)$, но наше развитие этого не потребует.

В ZFC любое отношение, областью действия которого является подмножество множества $A$ и чей диапазон является подмножеством множества $B$ будет множеством, поскольку декартово произведение $A\times B=\left\{\left(a,b\right):a\in A\wedge b\in B\right\}$ представляет собой множество (будучи подклассом ${\mathcal {P}}\!\left(A\cup B\right)$), а разделение предусматривает существование $\left\{\left(x,y\right)\in A\times B:xRy\right\}$. В NFU некоторые отношения с глобальной областью действия (например, равенство и подмножество) могут быть реализованы как множества. В НФУ имейте в виду, что $x$ и $y$ на три типа ниже, чем $R$ в $xRy$ (на один тип ниже, если используется упорядоченная пара уровня типа).

Свойства и виды отношений

Бинарное отношение $R$ является:

• Рефлексивный, если $xRx$ для каждого $x$ в области $R$.
• Симметрично, если $\forall x,y\,(xRy\to yRx)$.
• Транзитивен, если $\forall x,y,z\,(xRy\wedge yRz\rightarrow xRz)$.
• Антисимметрично, если $\forall x,y\,(xRy\wedge yRx\rightarrow x=y)$.
• Обосновано, если для каждого множества $S$ который соответствует области $R$, $\ \exists x\in S$ чей прообраз под $R$ не встречается $S$.
• Экстенсиональный, если для каждого $x,y$ в области $R$, $x=y$ тогда и только тогда, когда $x$ и $y$ иметь тот же прообраз под $R$.

Отношения, имеющие определенные комбинации вышеперечисленных свойств, имеют стандартные имена. Бинарное отношение $R$ является:

• Отношение эквивалентности, если $R$ является рефлексивным, симметричным и транзитивным.
• Частичный заказ , если $R$ является рефлексивным, антисимметричным и транзитивным.
• Линейный порядок , если $R$ является частичным порядком и для каждого $x,y$ в области $R$, или $xRy$ или $yRx$.
• Хорошо упорядоченный, если $R$ является линейным порядком и хорошо обоснован.
• Установленная картина, если $R$ является хорошо обоснованным и обширным, а область $R$ либо равен закрытию вниз одного из его членов (называемого его верхним элементом ), либо пуст.

Функции

Функциональное отношение – это бинарный предикат $F$ такой, что $\forall x,y,z\,\left(xFy\wedge xFz\to y=z\right).$ Такое отношение ( предикат ) реализуется как отношение (множество) точно так, как описано в предыдущем разделе. Итак, предикат $F$ реализуется набором $\left\{\left(x,y\right):xFy\right\}$. Отношение $F$ является функцией тогда и только тогда, когда $\forall x,y,z\,\left(\left(x,y\right)\in F\wedge \left(x,z\right)\in F\to y=z\right).$ Таким образом, можно определить функцию ценности $F\!\left(x\right)$ как уникальный объект $y$ такой, что $xFy$ – то есть: $x$ является $F$-относящийся к $y$ такое, что отношение $f$ держится между $x$ и $y$ – или как уникальный объект $y$ такой, что $\left(x,y\right)\in F$. Присутствие в обеих теориях функциональных предикатов, не являющихся множествами, делает полезным разрешить обозначение $F\!\left(x\right)$ оба для наборов $F$ и для важных функциональных предикатов. Пока функции не количественно оцениваются в последнем смысле, все такие виды использования в принципе устранимы.

За пределами формальной теории множеств мы обычно определяем функцию в терминах ее области определения и кодомена, как во фразе «Пусть $f:A\to B$ быть функцией». Область определения функции — это просто ее область определения как отношения, но мы еще не определили кодомене функции. Для этого введем терминологию, из которой происходит функция. $A$ к $B$ если его домен равен $A$ и его диапазон содержится в $B$. Таким образом, каждая функция является функцией от своей области определения до своего диапазона, а функция $f$ от $A$ к $B$ также является функцией от $A$ к $C$ для любого набора $C$ содержащий $B$.

Действительно, независимо от того, какое множество мы считаем кодоменом функции, функция не меняется как множество, поскольку по определению это просто набор упорядоченных пар. То есть функция не определяет свою область определения по нашему определению. Если кому-то это кажется непривлекательным, то вместо этого можно определить функцию как упорядоченную пару. $(f,B)$, где $f$ является функциональным отношением и $B$ является его кодоменом, но мы не используем этот подход в этой статье (более элегантно, если сначала определить упорядоченные тройки - например, как $(x,y,z)=(x,(y,z))$- тогда можно было бы определить функцию как упорядоченную тройку $(f,A,B)$ чтобы также включить домен). Обратите внимание, что та же проблема существует и для отношений: вне формальной теории множеств мы обычно говорим: «Пусть $R\subseteq A\times B$ быть бинарным отношением", но формально $R$ представляет собой набор упорядоченных пар таких, что ${\text{dom}}\,R\subseteq A$ и ${\text{ran}}\,R\subseteq B$.

В НФУ, $x$ имеет тот же тип, что и $F\!\left(x\right)$, и $F$ на три типа выше, чем $F\!\left(x\right)$ (на один тип выше, если используется упорядоченная пара уровня типа). Для решения этой проблемы можно было бы определить $F\left[A\right]$ как $\left\{y:\exists x\,\left(x\in A\wedge y=F\!\left(x\right)\right)\right\}$ для любого набора $A$, но это удобнее записать как $\left\{F\!\left(x\right):x\in A\right\}$. Тогда, если $A$ представляет собой набор и $F$ является любым функциональным отношением, аксиома замены гарантирует, что $F\left[A\right]$ это набор в ZFC . В НФУ, $F\left[A\right]$ и $A$ теперь имеют тот же тип, и $F$ на два типа выше, чем $F\left[A\right]$ (того же типа, если используется упорядоченная пара на уровне типа).

Функция $I$ такой, что $I\!\left(x\right)=x$ не является набором в ZFC, поскольку он «слишком велик». $I$ однако это набор в NFU. Функция (предикат) $S$ такой, что $S\!\left(x\right)=\left\{x\right\}$ не является ни функцией, ни множеством ни в одной из теорий; в ZFC это верно, потому что такой набор был бы слишком большим, а в NFU это верно, потому что его определение не было бы стратифицировано . Более того, $S$ можно доказать, что он не существует в НФУ (см. разрешение парадокса Кантора в «Новых основах »).

Операции над функциями

Позволять $f$ и $g$ быть произвольными функциями. Состав ​ ​ $f$ и $g$, $g\circ f$, определяется как относительное произведение $f\,|\,g$, но только если это приводит к функции такой, что $g\circ f$ также является функцией, причем $\left(g\circ f\right)\!\left(x\right)=g\!\left(f\!\left(x\right)\right)$, если диапазон $f$ является подмножеством домена $g$. Обратная сторона ​ $f$, $f^{\left(-1\right)}$, определяется обращение как $f$ если это функция. Учитывая любой набор $A$, тождественная функция $i_{A}$ это набор $\left\{\left(x,x\right)\mid x\in A\right\}$, и этот набор есть и в ZFC, и в NFU по разным причинам.

Специальные виды функций

Функция является инъективной (также называемой взаимно однозначной ), если она имеет обратную функцию.

Функция $f$ от $A$ к $B$ это:

• Инъекция из $A$ к $B$ если изображения под $f$ отдельных членов $A$ являются отдельными членами $B$.
• Сюръекция от $A$ к $B$ если диапазон $f$ является $B$.
• Биекция из $A$ к $B$ если $f$ является одновременно инъекцией и сюръекцией.

Определение функций как упорядоченных пар $(f,B)$ или заказал тройки $(f,A,B)$ имеет то преимущество, что нам не нужно вводить терминологию функции «из $A$ к $B$и что мы можем напрямую говорить о «сюръективности», а не только о «сюръективности по отношению к $B$".

Размер наборов

И в ZFC , и в NFU два множества A и B имеют одинаковый размер (или равнозначны когда существует биекция f из A в B. ) тогда и только тогда , Это можно записать как $|A|=|B|$, но обратите внимание, что (на данный момент) это выражает отношение между A и B, а не отношение между еще неопределенными объектами $|A|$ и $|B|$. Обозначим это соотношение через $A\sim B$ в таких контекстах, как фактическое определение кардиналов , где следует избегать даже появления предполагающих абстрактных кардиналов.

Аналогично определите $|A|\leq |B|$ когда существует инъекция из A в B. как справедливо тогда и только тогда ,

Несложно показать, что отношение равноправности является отношением эквивалентности : равноправность А с А подтверждается $i_{A}$; если есть свидетели $|A|=|B|$, затем $f^{-1}$ свидетели $|B|=|A|$; и если есть свидетели $|A|=|B|$ и свидетели ​ $|B|=|C|$, затем $g\circ f$ свидетели $|A|=|C|$.

Можно показать, что $|A|\leq |B|$ является линейным порядком абстрактных кардиналов, но не множеств. Рефлексивность очевидна, а транзитивность доказана так же, как и равноравномерность. Теорема Шредера -Бернштейна , доказуемая в ZFC и NFU совершенно стандартным способом, устанавливает, что

• $|A|\leq |B|\wedge |B|\leq |A|\rightarrow |A|=|B|$

(это устанавливает антисимметрию кардиналов) и

• $|A|\leq |B|\vee |B|\leq |A|$

В любой теории стандартным образом следует из аксиомы выбора .

множества и

Натуральные числа можно рассматривать либо как конечные ординалы, либо как конечные кардиналы. Здесь рассмотрим их как конечные кардинальные числа. Это первое место, где становится очевидной основная разница между реализациями ZFC и NFU .

Аксиома бесконечности ZFC говорит нам, что существует множество A , которое содержит $\emptyset$ и содержит $y\cup \{y\}$ для каждого $y\in A$. Это множество A не определено однозначно (его можно увеличить, сохраняя это свойство замыкания): множество N натуральных чисел есть

• $\{x\in A\mid \forall B\,(\emptyset \in B\wedge \forall y\,(y\in B\rightarrow y\cup \{y\}\in B)\rightarrow x\in B)\}$

которое является пересечением всех множеств, содержащих пустое множество и закрывающихся операцией «преемник». $y\mapsto y\cup \{y\}$.

В ZFC набор $A$ конечно тогда и только тогда, когда существует $n\in N$ такой, что $|n|=|A|$: далее, определить $|A|$ это n для конечного A. как (Можно доказать, что никакие два различных натуральных числа не имеют одинакового размера).

Обычные арифметические операции могут быть определены рекурсивно и в стиле, очень похожем на тот, в котором определяется сам набор натуральных чисел. Например, + (операция сложения натуральных чисел) можно определить как наименьшее множество, содержащее $((x,\emptyset ),x)$ для каждого натурального числа $x$ и содержит $((x,y\cup \{y\}),z\cup \{z\})$ всякий раз, когда он содержит $((x,y),z)$.

В NFU неочевидно, что этот подход можно использовать, поскольку операция-преемник $y\cup \{y\}$ нестратифицирован, и поэтому нельзя показать, что набор N , определенный выше, существует в NFU (существование множества конечных ординалов фон Неймана в NFU согласуется, но это усиливает теорию, поскольку существование этого набора подразумевает аксиому Подсчет (см. ниже или статью «Новые основы »)).

Стандартное определение натуральных чисел, которое на самом деле является старейшим теоретико-множественным определением натуральных чисел , представляет собой классы эквивалентности конечных множеств при равнозначности. По сути, то же определение подходит для NFU (это не обычное определение, но результаты те же): определите Fin , множество конечных множеств, как

$\{A\mid \forall F\,(\emptyset \in F\wedge \forall x,y\,(x\in F\rightarrow x\cup \{y\}\in F)\rightarrow A\in F)\}$

Для любого набора $A\in Fin$, определять $|A|$ как $\{B\mid A\sim B\}$. Определите N как набор $\{|A|\mid A\in Fin\}$.

Аксиому бесконечности НФУ можно выразить как $V\not \in Fin$: этого достаточно, чтобы установить, что каждое натуральное число имеет непустого преемника (преемника $|A|$ существование $|A\cup \{x\}|$ для любого $x\not \in A$), что является самой сложной частью доказательства того, что арифметические аксиомы Пеано выполняются.

Арифметические операции могут быть определены в стиле, аналогичном стилю, приведенному выше (с использованием только что данного определения преемника). Их также можно определить естественным теоретико-множественным способом: если A и B — непересекающиеся конечные множества, определите |A|+|B| как $|A\cup B|$. Более формально, определите m+n для m и n в N как

$\{A\mid \exists B,C\,(B\in m\wedge C\in n\wedge B\cap C=\emptyset \wedge A=B\cup C)\}$

(Но обратите внимание, что этот стиль определения возможен и для цифр ZFC, но он более запутан: форма определения NFU облегчает манипуляции с множествами, тогда как форма определения ZFC облегчает рекурсивные определения, но любая теория поддерживает любой стиль определения) .

Эти две реализации совершенно разные. В ZFC выберите представителя каждой конечной мощности (сами классы эквивалентности слишком велики, чтобы быть множествами); в NFU классы эквивалентности сами по себе являются множествами и, таким образом, являются очевидным выбором объектов для замены мощностей. Однако арифметика двух теорий одинакова: одна и та же абстракция реализуется этими двумя внешне разными подходами.

Отношения эквивалентности и разделы

Общий метод реализации абстракций в теории множеств — использование классов эквивалентности. Если отношение эквивалентности R говорит нам, что элементы его поля A одинаковы в каком-то конкретном отношении, то для любого набора x рассмотрим набор $[x]_{R}=\{y\in A\mid xRy\}$ как представление абстракции от множества x, относящейся только к этим функциям (идентифицируйте элементы от A до R ).

Для любого множества А существует множество $P$ является разбиением A , если все элементы P непусты, любые два различных элемента P не пересекаются и $A=\bigcup P$.

Для каждого отношения эквивалентности R с A полем $\{[x]_{R}\mid x\in A\}$ является разделом A . , каждое разбиение P A Более того определяет отношение эквивалентности $\{(x,y)\mid \exists A\in P\,(x\in A\wedge y\in A)\}$.

Этот метод имеет ограничения как в ZFC , так и в NFU . В ZFC, поскольку вселенная не является множеством, представляется возможным абстрагировать функции только от элементов небольших областей. Этого можно обойти, используя трюк, предложенный Даной Скотт : если R — отношение эквивалентности во вселенной, определите $[x]_{R}$ как набор всех y таких, что $yRx$ и ранг y меньше или равен рангу любого $zRx$. Это работает, потому что ранги являются наборами. Конечно, все еще может существовать соответствующий класс $[x]_{R}$х. В НФУ основная трудность заключается в том, что $[x]_{R}$ на один тип выше, чем x, например, «карта» $x\mapsto [x]_{R}$ вообще не является функцией (множества) (хотя $\{x\}\mapsto [x]_{R}$ это набор). Этого можно обойти, используя аксиому выбора, чтобы выбрать представителя из каждого класса эквивалентности для замены. $[x]_{R}$, который будет того же типа, что и x , или путем выбора канонического представителя, если есть способ сделать это без вызова Choice (использование представителей также вряд ли неизвестно в ZFC). В НФУ более распространено использование конструкций классов эквивалентности для абстрагирования свойств общих множеств, как, например, в определениях кардинального и порядкового числа ниже.

Порядковые номера

Два хороших заказа $W_{1}$ и $W_{2}$ похожи напишите и $W_{1}\sim W_{2}$ на всякий случай существует биекция f из поля $W_{1}$ в область $W_{2}$ такой, что $xW_{1}y\leftrightarrow f(x)W_{2}f(y)$ для всех x и y .

Показано, что сходство является отношением эквивалентности во многом таким же образом, как выше было показано, что равнозначность является отношением эквивалентности.

В New Foundations (NFU) тип порядка хорошо упорядоченного W представляет собой набор всех хорошо упорядоченных объектов, подобных W . Множество порядковых чисел — это множество всех типов порядков хорошо упорядочений.

Это не работает в ZFC , поскольку классы эквивалентности слишком велики. Формально можно было бы использовать прием Скотта метод фон Неймана для определения ординалов по существу таким же образом, но чаще используется .

Для любого частичного заказа $\leq$, соответствующий строгий частичный порядок < определяется как $\{(x,y)\mid x\leq y\wedge x\neq y\}$. Строгие линейные порядки и строгие правильные порядки определяются аналогично.

Множество A называется транзитивным, если $\bigcup A\subseteq A$ каждый элемент элемента A также является элементом A. : Порядковый номер (фон Неймана) — это транзитивное множество, членство в котором является строгим упорядочением.

В ZFC тип порядка хорошо упорядоченного W затем определяется как уникальный ординал фон Неймана, который равнозначен полю W и принадлежность к которому изоморфна строгому хорошему порядку, связанному с W . (условие равнозначности различает хорошие упорядочения с полями размера 0 и 1, связанные с ними строгие правильные упорядочения неразличимы).

В ZFC не может быть набора всех ординалов. Фактически, ординалы фон Неймана представляют собой противоречивую совокупность в любой теории множеств: с помощью скромных теоретико-множественных предположений можно показать, что каждый элемент ординала фон Неймана является ординалом фон Неймана, а ординалы фон Неймана строго упорядочены по членству. . Отсюда следует, что класс ординалов фон Неймана был бы ординалом фон Неймана, если бы он был множеством: но тогда он был бы элементом самого себя, что противоречит тому факту, что членство является строгим упорядочением ординалов фон Неймана.

Существование типов порядка для всех правильных порядков не является теоремой теории множеств Цермело : оно требует аксиомы замены . Даже трюк Скотта нельзя использовать в теории множеств Цермело без дополнительного предположения (например, предположения, что каждое множество принадлежит рангу , который является множеством, что, по сути, не имеет значения).усилить теорию множеств Цермело, но не является теоремой этой теории).

В NFU коллекция всех порядковых номеров представляет собой набор стратифицированного понимания. Парадокс Бурали-Форти обходит неожиданным образом. Существует естественный порядок ординалов, определяемый формулой $\alpha \leq \beta$ тогда и только тогда, когда некоторые (и поэтому любые) $W_{1}\in \alpha$ подобен начальному сегменту некоторого (и так любого) $W_{2}\in \beta$. Далее, можно показать, что этот естественный порядок является правильным упорядочением ординалов и поэтому должен иметь тип порядка $\Omega$. Казалось бы, тип порядка ординалов меньше, чем $\Omega$ с естественным порядком будет $\Omega$, что противоречит тому факту, что $\Omega$ — это тип порядка всего естественного порядка ординалов (и, следовательно, не любого из его собственных начальных сегментов). Но это зависит от интуиции (правильной в ZFC), что тип порядка естественного порядка для порядковых номеров меньше $\alpha$ является $\alpha$ для любого порядкового номера $\alpha$. Это утверждение является нестратифицированным, поскольку тип второго $\alpha$ на четыре выше, чем тип первого (на два выше, если используется пара уровней типа). Утверждение, которое верно и доказуемо в НФУ, состоит в том, что тип естественного порядка на ординалах меньше $\alpha$ является $T^{4}(\alpha )$ для любого порядкового номера $\alpha$, где $T(\alpha )$ это тип заказа $W^{\iota }=\{(\{x\},\{y\})\mid xWy\}$ для любого $W\in \alpha$ (легко показать, что это не зависит от выбора W; обратите внимание, что T повышает тип на единицу). Таким образом, тип порядка ординалов меньше $\Omega$ с естественным порядком $T^{4}(\Omega )$, и $T^{4}(\Omega )<\Omega$. Все виды использования $T^{4}$ здесь можно заменить на $T^{2}$ если используется пара уровня типа.

Это показывает, что операция T нетривиальна, что имеет ряд последствий. Отсюда сразу следует, что одноэлементное отображение $x\mapsto \{x\}$ не является множеством, так как в противном случае ограничения этого отображения установили бы подобие W и $W^{\iota }$ для любого вполне упорядоченного W . T (внешне) биективен и сохраняет порядок. Из-за этого факт $T^{4}(\Omega )<\Omega$ устанавливает, что $\Omega >T(\Omega )>T^{2}(\Omega )\ldots$ представляет собой «убывающую последовательность» порядковых номеров, которая не может быть множеством.

Ординалы, фиксированные T, называются канторовскими ординалами, а ординалы, которые доминируют только над канторовскими ординалами (которые, как легко показать, сами являются канторовскими), называются сильно канторовыми . Не может быть набора канторовых ординалов или набора строго канторовых ординалов.

ординалы фон Неймана в

О ординалах фон Неймана можно рассуждать в НФУ . Напомним, что ординал фон Неймана — это транзитивное множество A такое, что ограничение принадлежности к A является строгим хорошим упорядочением. Это довольно строгое условие в контексте NFU, поскольку отношение членства предполагает различие типов. Порядковый номер фон Неймана A не является ординалом в смысле NFU, но $\in \lceil A$ принадлежит к ординалу $\alpha$ который можно назвать типом заказа (членства в) A . Легко показать, что тип порядка ординала фон Неймана A является канторовым: для любого хорошо упорядочивающегося W типа порядка $\alpha$, индуцированное правильное упорядочение начальных сегментов W путем включения имеет тип порядка $T(\alpha )$ (он на один тип выше, отсюда и применение T): но типы порядка хорошего упорядочения ординала фон Неймана A по принадлежности и правильного упорядочения его начальных сегментов по включению явно одинаковы, поскольку оба они хорошо упорядочены. -упорядочения на самом деле являются одним и тем же отношением, поэтому тип порядка A фиксирован под T. Более того, тот же аргумент применим к любому меньшему порядковому номеру (который будет типом порядка начального сегмента A , также ординалом фон Неймана), поэтому тип порядка любого ординала фон Неймана строго канторианский.

Единственные ординалы фон Неймана, существование которых в NFU можно доказать без дополнительных предположений, - это конкретные конечные ординалы. Однако применение метода перестановок может преобразовать любую модель NFU в модель, в которой каждый строго канторовский ординал является порядковым типом ординала фон Неймана. Это говорит о том, что концепция «строго канторианский ординал NFU» может быть лучшим аналогом «порядкового номера ZFC», чем очевидный аналог «порядковый номер NFU».

Кардинальные числа

Кардинальные числа определяются в НФУ таким образом, который обобщает определение натуральных чисел.число: для любого набора A , $|A|\,{\overset {\mathrm {def} }{=}}\left\{B\mid B\sim A\right\}$.

В ZFC эти классы эквивалентности обычно слишком велики. Можно использовать трюк Скотта (и он действительно используется в ZF ), $|A|$ обычно определяется как наименьший тип порядка (здесь ординал фон Неймана) хорошего порядка A (то, что каждое множество может быть хорошо упорядочено, следует изаксиому выбора обычным для обеих теорий способом).

Естественный порядок кардинальных чисел выглядит хорошо упорядоченным: то, что он рефлексивный, антисимметричный (для абстрактных кардинальных чисел, которые теперь доступны) и транзитивный, было показано выше. То, что это линейный порядок, следует из аксиомы выбора: два множества хорошо упорядочены и одно начальный сегмент одного хорошего упорядочения будет изоморфен другому, поэтому одно множество будет иметь мощность меньше, чем мощность другого. То, что это хороший порядок, аналогичным образом следует из аксиомы выбора.

С каждым бесконечным кардиналом по обычным причинам (в любой теории множеств) связано множество типов порядков.

Теорема Кантора показывает (в обеих теориях), что существуют нетривиальные различия между бесконечными кардинальными числами. В ZFC доказывается $|A|<|P(A)|.$ В NFU обычная форма теоремы Кантора неверна (рассмотрим случай A=V), но теорема Кантора является неверно типизированным утверждением. Правильная форма теоремы в НФУ : $|P_{1}(A)|<|P(A)|$, где $P_{1}(A)$ — множество одноэлементных подмножеств A. $|P_{1}(V)|<|P(V)|$ показывает, что синглтонов «меньше», чем множеств (очевидная биекция $x\mapsto \{x\}$ от $P_{1}(V)$ уже было замечено, что V не является множеством). В NFU + Choice на самом деле доказано, что $|P_{1}(V)|<|P(V)|\ll |V|$ (где $\ll$ сигнализирует о существовании множества вмешивающихся кардиналов; там много-много урэлементов!). Определите операцию T повышения типа над кардиналами, аналогичную операции T над порядковыми числами: $T(|A|)=|P_{1}(A)|$; это внешний эндоморфизм кардиналов, точно так же, как операция T над ординалами является внешним эндоморфизмом ординалов.

Множество A называется канторовым . на всякий случай $|A|=|P_{1}(A)|=T(|A|)$; кардинал $|A|$ также считается канторским кардиналом. Множество A называется сильно канторовым (и его кардинал также сильно канторовым) в том случае, если ограничение одноэлементного отображения на A ( $(x\mapsto \{x\})\lceil A$) представляет собой набор. Хорошо упорядоченные сильно канторовы множества всегда являются сильно канторовыми ординалами; это не всегда верно в отношении хорошего порядка канторовых множеств (хотя кратчайший правильный порядок канторова множества будет канторовым). Канторово множество — это множество, которое удовлетворяет обычной форме теоремы Кантора.

Операции кардинальной арифметики определяются теоретико-множественным образом в обеих теориях. $|A|+|B|=\{C\cup D\mid C\sim A\wedge D\sim B\wedge C\cap D=\emptyset \}$. Хотелось бы определить $|A|\cdot |B|$ как $|A\times B|$, и это делается в ZFC возникает препятствие , но в NFU при использовании пары Куратовского: определяется $|A|\cdot |B|$ как $T^{-2}(|A\times B|)$ из-за смещения типа 2 между парой и ее проекциями, что подразумевает смещение типа 2 между декартовым произведением и его факторами. Доказать, что произведение всегда существует, несложно (но это требует внимания, поскольку обратное к T не является полным).

Определение экспоненциальной операции над кардиналами существенно требует T: если $B^{A}$ определялся как набор функций от A до B , это на три типа выше, чем A или B , поэтому разумно определить $|B|^{|A|}$ как $T^{-3}(|B^{A}|)$ так что он того же типа, что и A или B ( $T^{-1}$ заменяет $T^{-3}$ с парами уровня типа). В результате экспоненциальная операция является частичной: например, $2^{|V|}$ является неопределенным. В ZFC определяется $|B|^{|A|}$ как $|B^{A}|$ без труда.

Экспоненциальная операция является полной и ведет себя точно так, как ожидалось, на канторовых кардиналах, поскольку T фиксирует такие кардиналы, и легко показать, что функциональное пространство между канторовыми множествами является канторовым (как и степенные множества, декартовы произведения и другие конструкторы обычного типа). Это еще больше подтверждает мнение о том, что «стандартные» мощности в NFU являются канторианскими (действительно, сильно канторианскими) мощностями, точно так же, как «стандартные» порядковые номера кажутся сильно канторианскими порядковыми числами.

Теперь можно доказать обычные теоремы кардинальной арифметики с выбранной аксиомой, в том числе $\kappa \cdot \kappa =\kappa$. Из дела $|V|\cdot |V|=|V|$ о существовании упорядоченной пары уровня типа можно узнать: $|V|\cdot |V|=T^{-2}(|V\times V|)$ равно $|V|$ на всякий случай $|V\times V|=T^{2}(|V|)=|P_{1}^{2}(V)|$, о чем свидетельствует взаимно однозначное соответствие между парами Куратовского. $(a,b)$ и двойные синглтоны $\{\{c\}\}$: переопределить $(a,b)$ как c такой, что $\{\{c\}\}$ связан с Куратовским $(a,b)$: это понятие упорядоченной пары на уровне типа.

Аксиома подсчета

существуют две разные реализации натуральных чисел Итак, в NFU они одинаковы (хотя в ZFC ): конечные ординалы и конечные кардиналы. Каждый из них поддерживает операцию T в NFU (по сути, одну и ту же операцию). Легко доказать, что $T(n)$ является натуральным числом, если n является натуральным числом в NFU + Infinity + Choice (и поэтому $|N|$ и первыйбесконечный порядковый номер $\omega$ являются канторианскими), но в этой теории невозможно доказать, что $T(n)=n$. Однако здравый смысл подсказывает, что это должно быть правдой, и поэтому это можно принять как аксиому:

• Аксиома счета Россера : для каждого натурального n числа $T(n)=n$.

Одним из естественных следствий этой аксиомы (и ее первоначальной формулировки) является

• $|\{1,\ldots ,n\}|=n$ для каждого натурального числа n .

Все, что можно доказать в НФУ без подсчета, это $|\{1,\ldots ,n\}|=T^{2}(n)$.

Следствием подсчета является то, что N является сильно канторовым множеством (опять же, это эквивалентное утверждение).

Свойства

Тип любой переменной, ограниченной строго канторовым множеством A, можно по желанию повысить или понизить, заменив ссылки на $a\in A$ со ссылками на $\bigcup f(a)$ (тип поднятого ; это предполагает, что известно, что a является множеством; в противном случае надо говорить «элемент $f(a)$", чтобы получить этот эффект) или $f^{-1}(\{a\})$ (тип пониженного), где $f(a)=\{a\}$ для всех $a\in A$, поэтому нет необходимости назначать типы таким переменным в целях стратификации.

Любое подмножество сильно канторова множества является сильно канторовым. Набор степеней сильно канторова множества является сильно канторовым. Декартово произведение двух сильно канторовых множеств является сильно канторовым.

Введение аксиомы счета означает, что типы не нужно присваивать переменным, ограниченным N или P ( N ), R (множеством действительных чисел) или вообще любым множеством, когда-либо рассматриваемым в классической математике за пределами теории множеств.

нет Аналогичных явлений в ZFC . В основной статье « Новые основы» приведены более сильные аксиомы, которые можно присоединить к NFU, чтобы обеспечить «стандартное» поведение знакомых математических объектов.

Знакомые системы счисления: положительные рациональные числа, величины

Представляйте положительные дроби как пары положительных натуральных чисел (0 исключается): ${\frac {p}{q}}$ представлена ​​парой $(p,q)$. Сделать ${\frac {p}{q}}={\frac {r}{s}}\leftrightarrow ps=qr$, введем соотношение $\sim$ определяется $(p,q)\sim (r,s)\leftrightarrow ps=qr$. Доказуемо, что это отношение эквивалентности: определите положительные рациональные числа как классы эквивалентности пар положительных натуральных чисел относительно этого отношения. Арифметические операции над положительными рациональными числами и отношение порядка над положительными рациональными числами определяются так же, как в начальной школе, и доказано (с некоторыми усилиями), что они обладают ожидаемыми свойствами.

Представляйте величины (положительные действительные числа) как непустые собственные начальные сегменты положительных рациональных чисел без наибольшего элемента. Операции сложения и умножения величин реализуются путем поэлементного сложения положительных рациональных элементов величин. Порядок реализуется как включение множества.

Представляйте действительные числа как разности $m-n$ величин: формально говоря, действительное число — это класс эквивалентности пар $(m,n)$ величин согласно отношению эквивалентности $\sim$ определяется $(m,n)\sim (r,s)\leftrightarrow m+s=n+r$. Операции сложения и умножения действительных чисел определяются так же, как и следовало ожидать от алгебраических правил сложения и умножения разностей. С порядком обращаются так же, как и в элементарной алгебре.

Это кратчайший эскиз конструкции. совершенно одинаковы Обратите внимание, что конструкции в ZFC и в NFU , за исключением разницы в конструкциях натуральных чисел: поскольку все переменные ограничены строго канторовыми множествами, нет необходимости беспокоиться об ограничениях стратификации. Без аксиомы счета, возможно, было бы необходимо представить некоторые применения Т при полном обсуждении этих конструкций.

Операции с индексированными семействами множеств

В этом классе конструкций оказывается, что ZFC имеет преимущество перед NFU : хотя конструкции в NFU явно осуществимы , они сложнее, чем в ZFC, по причинам, связанным со стратификацией.

В этом разделе предполагается, что это упорядоченная пара на уровне типа. Определять $(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ как $(x_{1},(x_{2},\ldots ,x_{n}))$. Определение общего n -кортежа с использованием пары Куратовского сложнее, поскольку необходимо сохранять одинаковыми типы всех проекций, а смещение типов между n -кортежем и его проекциями увеличивается с увеличением n . Здесь n -кортеж имеет тот же тип, что и каждая его проекция.

Общие декартовы произведения определяются аналогично: $A_{1}\times A_{2}\times \ldots \times A_{n}=A_{1}\times (A_{2}\times \ldots \times A_{n})$

Определения в ZFC те же, но без каких-либо опасений по поводу стратификации (приведенная здесь группировка противоположна обычно используемой, но это легко исправить).

Теперь рассмотрим бесконечное декартово произведение $\Pi _{i\in I}A_{i}$. В ZFC это определяется как набор всех функций f с областью определения I таких, что $f(i)\in A_{i}$ (где A неявно понимается как функция, переводящая каждое i в $A_{i}$).

В НФУ это требует внимания к типу. Учитывая набор I и многозначную функцию A , значение которой в $\{i\}$ в $P_{1}(I)$ написано $A_{i}$, Определять $\Pi _{i\in I}A_{i}$ как набор всех функций f с областью определения I таких, что $f(i)\in A_{i}$: обратите внимание, что $f(i)\in A_{i}=A(\{i\})$ является стратифицированным из-за нашего соглашения о том, что A — это функция со значениями в отдельных элементах индексов. Обратите внимание, что самые большие семейства множеств (которые не могут быть проиндексированы наборами одиночных элементов) согласно этому определению не будут иметь декартовых произведений. Отметим далее, что множества $A_{i}$ имеют тот же тип, что и набор индексов I (поскольку на один тип выше, чем его элементы); продукт как набор функций с доменом I (то есть того же типа, что и I ) имеет один тип выше (при условии, что это упорядоченная пара на уровне типа).

Теперь рассмотрим продукт $\Pi _{i\in I}|A_{i}|$ кардиналов этих множеств. Мощность | $\Pi _{i\in I}A_{i}$| на один тип выше кардиналов $|A_{i}|$, поэтому правильное определение бесконечного произведения кардиналов есть $T^{-1}(|\Pi _{i\in I}A_{i}|)$ (поскольку инверсия T не является полной, возможно, что она не существует).

Повторите это для непересекающихся объединений семейств множеств и сумм семейств кардиналов. Опять же, пусть A — многозначная функция с областью определения $P_{1}(I)$: писать $A_{i}$ для $A(\{i\})$. Непересекающийся союз $\Sigma _{i\in I}A_{i}$ это набор $\{(i,a)\mid a\in A_{i}\}$. Этот набор того же типа, что и наборы $A_{i}$.

Правильное определение суммы $\Sigma _{i\in I}|A_{i}|$ таким образом $|\Sigma _{i\in I}A_{i}|$, поскольку смещения типа нет.

Эти определения можно расширить для обработки наборов индексов, которые не являются наборами одиночных элементов, но это вводит дополнительный уровень типа и не требуется для большинства целей.

В ZFC определите непересекающееся объединение $\Sigma _{i\in I}A_{i}$ как $\{(i,a)\mid a\in A_{i}\}$, где $A_{i}$ сокращает $A(i)$.

Методы перестановки можно использовать, чтобы показать относительную согласованность с NFU утверждения о том, что для каждого сильно канторова множества A существует множество I того же размера, элементы которого являются самостоятельными: $i=\{i\}$ для каждого я в я .

Совокупная иерархия

В ZFC определите кумулятивную иерархию как порядковую индексированную последовательность наборов, удовлетворяющую следующим условиям: $V_{0}=\emptyset$; $V_{\alpha +1}=P(V_{\alpha })$; $V_{\lambda }=\bigcup \{V_{\beta }\mid \beta <\lambda \}$ для предельных ординалов $\lambda$. Это пример конструкции с помощью трансфинитной рекурсии . ранг множества А равен Говорят, что $\alpha$ тогда и только тогда, когда $A\in V_{\alpha +1}-V_{\alpha }$. Существование рангов как множеств зависит от аксиомы замены на каждом предельном шаге (иерархия не может быть построена в теории множеств Цермело ); по аксиоме основания каждое множество принадлежит некоторому рангу.

Кардинал $|P(V_{\omega +\alpha })|$ называется $\beth _{\alpha }$.

Эту конструкцию невозможно выполнить в NFU , поскольку операция установки степени не является функцией установки в NFU ( $P(A)$ на один тип выше, чем А, для целей стратификации).

Последовательность кардиналов $\beth _{\alpha }$ может быть реализован в НФУ. Напомним, что $2^{|A|}$ определяется как $T^{-1}(|\{0,1\}^{A}|)$, где $\{0,1\}$ представляет собой удобный набор размера 2, а $|\{0,1\}^{A}|=|P(A)|$. Позволять $\beth$ — наименьшее множество кардиналов, содержащее $|N|$ (мощность множества натуральных чисел), содержит кардинал $2^{|A|}$ всякий раз, когда он содержит $|A|$, и которое замкнуто относительно супремумов множеств кардиналов.

Соглашение о порядковой индексации любых хорошо упорядоченных $W_{\alpha }$ определяется как элемент x поля $W$ такой, чтотип ордера ограничения $W$ к $\{y\mid yWx\}$ является $\alpha$; затем определите $\beth _{\alpha }$ как элемент с индексом $\alpha$ в естественном порядке по элементам $\beth$. Кардинал $\aleph _{\alpha }$ это элемент с индексом $\alpha$ в естественном порядке всех бесконечных кардиналов (что является хорошим упорядочением, см. выше). Обратите внимание, что $\aleph _{0}=|N|$ следует непосредственно из этого определения. Обратите внимание, что во всех этих конструкциях тип индекса $\alpha$ на два выше (с упорядоченной парой уровня типа), чем тип $W_{\alpha }$.

Каждое множество A из ZFC имеет транзитивное замыкание. $TC(A)$ (пересечение всех транзитивных множеств, содержащих A ). По аксиоме основания ограничение отношения принадлежности на транзитивное замыкание A является вполне обоснованным отношением . Отношение $\in \lceil TC(A)$ либо пусто, либо имеет A в качестве верхнего элемента, поэтому это отношение является заданным изображением . В ZFC можно доказать, что каждое изображение множества изоморфно некоторому $\in \lceil TC(A)$.

Это предполагает, что (начальный сегмент) кумулятивной иерархии можно изучать, рассматривая классы изоморфизма изображений множеств. Эти классы изоморфизма являются множествами и составляют множество в NFU . Существует естественное отношение множеств, аналогичное принадлежности к классам изоморфизма изображений множеств: если $x$ это набор фотографий, напишите $[x]$ для его класса изоморфизма и определим $[x]E[y]$ как держится, если $[x]$ — класс изоморфизма ограничения y на замыкание вниз одного из элементов прообраза под y верхнего элемента y . Отношение E является отношением множества, и несложно доказать, что оно обосновано и экстенсионально. Если определение E сбивает с толку, то его можно вывести из наблюдения, что оно вызвано именно тем отношением, которое существует между заданным изображением, связанным с A , и установленным изображением, связанным с B , когда $A\in B$ в обычной теории множеств.

Существует операция T над классами изоморфизма изображений множеств, аналогичная операции T над ординалами: если x является изображением множества, то $x^{\iota }=\{(\{a\},\{b\})\mid (a,b)\in x\}$. Определять $T([x])$ как $[x^{\iota }]$. Это легко увидеть $[x]E[y]\leftrightarrow T([x])=T([y])$.

Аксиома экстенсиональности для этой моделируемой теории множеств следует из экстенсиональности Е. Из ее обоснованности вытекает аксиома обоснованности. Остается вопрос о том, какую аксиому понимания может иметь E. Рассмотрите любую коллекцию наборов изображений. $\{x^{\iota }\mid x\in S\}$ (коллекция наборов картинок, поля которых полностью состоят из одиночных элементов). Поскольку каждый $x^{\iota }$ на один тип выше, чем x (с использованием упорядоченной пары уровня типа), заменяя каждый элемент $\{a\}$ поля каждого $x^{\iota }$ в коллекции с $(x,\{a\})$ приводит к созданию набора изображений, изоморфных исходной коллекции, но с непересекающимися полями. Объединение этих множествimages с новым верхним элементом дает изображение множества, тип изоморфизма которого будет иметь в качестве прообразов под E в точности элементы исходной коллекции. То есть для любого набора типов изоморфизма $[x^{\iota }]=T([x])$, существует тип изоморфизма $[y]$ прообразом которого под E является именно этот набор.

В частности, будет тип изоморфизма [v] , прообразом которого под E является совокупность всех T [ x ] (включая T [ v ]). Поскольку T [ v ] E v и E обоснованы, $T[v]\neq v$. Это напоминает разрешение парадокса Бурали-Форти, обсуждавшегося выше и в статье « Новые основы» , и фактически является локальным разрешением парадокса Мириманова о множестве всех хорошо обоснованных множеств.

Существуют ранги классов изоморфизма картин множеств точно так же, как существуют ранги множеств в обычной теории множеств. Для любого набора изображений множества A определите S ( A ) как набор всех классов изоморфизма изображений множества, чей прообраз под E является подмножеством A; назовите A «полным» набором, если каждое подмножество A является прообразом относительно E. Коллекция «рангов» — это наименьшая коллекция, содержащая пустое множество и замкнутая относительно операции S (которая является своего рода построением степенного множества) и относительно объединения его подколлекций. Несложно доказать (так же, как и в обычной теории множеств), что ранги хорошо упорядочены путем включения, и поэтому ранги имеют индекс в этом правильном порядке: обратитесь к рангу с индексом $\alpha$ как $R_{\alpha }$. Доказуемо, что $|R_{\alpha }|=\beth _{\alpha }$ для полных званий $R_{\alpha }$. Объединение полных рангов (который будет первым неполным рангом) с отношением E выглядит как начальный сегмент вселенной теории множеств в стиле Цермело (не обязательно как полная вселенная ZFC , поскольку она может быть недостаточно большой). . Доказуемо, что если $R_{\alpha }$ – первый неполный ранг, тогда $R_{T(\alpha )}$ является полным рангом и, следовательно, $T(\alpha )<\alpha$. Итак, существует «ранг кумулятивной иерархии» с «внешним автоморфизмом» T, перемещающим ранг вниз, что является в точности условием нестандартной модели ранга в кумулятивной иерархии, в соответствии с которой строится модель НФУ в « Новые основы» статье . . Есть технические детали, которые нужно проверить, но есть интерпретация не только фрагмента ZFC, но и самого NFU в этой структуре, причем $[x]\in _{NFU}[y]$ определяется как $T([x])E[y]\wedge [y]\in R_{T(\alpha )+1}$: это «отношения» $E_{NFU}$ не является отношением множества, но имеет такое же смещение между своими аргументами, что и обычное отношение принадлежности. $\in$.

Таким образом, внутри НФУ существует естественная конструкция кумулятивной иерархии множеств, которая интернализует естественную конструкцию модели НФУ в теории множеств в стиле Цермело.

Согласно аксиоме канторовых множеств, описанной в статье « Новые основы» , сильно канторова часть множества классов изоморфизма изображений множеств с отношением E в качестве членства становится моделью (собственного класса) ZFC (в которой есть n - кардиналов Мало для каждого n это расширение NFU строго сильнее, чем ZFC). Это правильная модель классов, поскольку классы сильно канторова изоморфизма не составляют множества.

Методы перестановки можно использовать для создания из любой модели NFU модели, в которой каждый тип строго канторова изоморфизма изображений множеств фактически реализуется как ограничение истинного отношения принадлежности к транзитивному замыканию множества.

См. также

• Аксиоматическая теория множеств

Ссылки

• Кейт Девлин , 1994. Радость наборов , 2-е изд. Спрингер-Верлаг.
• Холмс, Рэндалл, 1998. Элементарная теория множеств с универсальным набором . Академия-Брюйлан. Издатель любезно согласился разрешить распространение этого введения в NFU через Интернет. Авторские права защищены.
• Поттер, Майкл, 2004. Теория множеств и ее философия , 2-е изд. Оксфордский университет. Нажимать.
• Суппес, Патрик, 1972. Аксиоматическая теория множеств . Дувр.
• Турлакис, Джордж, 2003. Лекции по логике и теории множеств, Vol. 2 . Кембриджский университет. Нажимать.

Внешние ссылки

• Метаматематика: веб-сайт, посвященный постоянному развитию математики на основе аксиом ZFC и логики первого порядка .
• Стэнфордская энциклопедия философии :
  • Новые основы Куайна — Томас Форстер.
  • Альтернативные аксиоматические теории множеств — Рэндалл Холмс.
• Рэндалл Холмс: домашняя страница новых фондов