Теоретико-множественное определение натуральных чисел
В теории множеств было предложено несколько способов построения натуральных чисел . К ним относятся представление через ординалы фон Неймана , обычно используемые в аксиоматической теории множеств , и система, основанная на равночисленности , которая была предложена Готтлобом Фреге и Бертраном Расселом .
как ординалы фон Определение Неймана
В теории множеств Цермело-Френкеля (ZF) натуральные числа определяются рекурсивно, позволяя 0 = {} быть пустым множеством и n + 1 (функция-преемник) = n ∪ { n } для каждого n . Таким образом, n = {0, 1, …, n − 1} для каждого натурального числа n . Это определение обладает тем свойством, что n представляет собой множество из n элементов. Первые несколько чисел, определенных таким образом: ( Goldrei 1996 ).
Множество N натуральных чисел определяется в этой системе как наименьшее множество, содержащее 0 и замкнутое относительно функции-преемника S, определяемой формулой S ( n ) = n ∪ { n } . Структура ⟨ N , 0, S ⟩ является моделью аксиом Пеано ( Goldrei 1996 ). Существование множества N эквивалентно аксиоме бесконечности в теории множеств ZF.
Множество N и его элементы, построенные таким образом, являются начальной частью ординалов фон Неймана. Куайн называет эти наборы «наборами счетчиков». [1]
Фреге и Рассел [ править ]
Готтлоб Фреге и Бертран Рассел предложили определить натуральное число n как совокупность всех множеств с n элементами. формально, натуральное число — это класс эквивалентности конечных множеств при условии эквивалентности равночисленности Более . Это определение может показаться закольцованным, но это не так, потому что равночисленность можно определять разными способами, например, говоря, что два множества равнозначны, если их можно привести во взаимно однозначное соответствие — это иногда называют принципом Юма .
Это определение работает в теории типов и в теориях множеств, выросших из теории типов, таких как « Новые основания» и связанные с ними системы. Однако это не работает ни в аксиоматической теории множеств ZFC, ни в некоторых родственных системах, поскольку в таких системах классы эквивалентности при равночисленности являются собственными классами, а не множествами.
Чтобы натуральные числа могли образовывать наборы, равночисленные классы заменяются специальными наборами, называемыми кардинальными . Самый простой способ ввести кардиналы — добавить примитивное понятие Card() и аксиому мощности в теорию множеств ZF (без аксиомы выбора). [2]
Аксиома мощности: множества A и B равнозначны тогда и только тогда, когда Card(A) = Card(B).
Определение: сумма кардиналов K и L, таких как K= Card(A) и L = Card(B), где множества A и B не пересекаются, есть Card (A ∪ B).
Определение конечного множества дается независимо от натуральных чисел: [3]
Определение: Множество является конечным тогда и только тогда, когда любое непустое семейство его подмножеств имеет минимальный элемент для порядка включения.
Определение: кардинал n является натуральным числом тогда и только тогда, когда существует конечное множество, кардиналом которого является n.
0 = Карта (∅)
1 = Карта({A}) = Карта({∅})
Определение: преемником кардинала К является кардинал К + 1.
Теорема: натуральные числа удовлетворяют аксиомам Пеано.
Хэтчер [ править ]
Уильям С. Хэтчер (1982) выводит аксиомы Пеано из нескольких основополагающих систем, включая ZFC и теорию категорий , а также из системы Фреге « Grundgesetze der Arithmetik», используя современные обозначения и естественную дедукцию . Парадокс Рассела доказал несостоятельность этой системы, но Джордж Булос (1998), Дэвид Дж. Андерсон и Эдвард Залта (2004) показывают, как ее исправить.
См. также [ править ]
Ссылки [ править ]
- Андерсон, DJ, и Эдвард Залта , 2004, «Фреге, Булос и логические объекты», Журнал философской логики 33 : 1–26.
- Джордж Булос , 1998. Логика, логика и логика .
- Голдрей, Дерек (1996). Классическая теория множеств . Чепмен и Холл .
- Френкель, Авраам (1968) [1953]. Абстрактная теория множеств (4-е изд.). Амстердам: Северная Голландия.
- Хэтчер, Уильям С., 1982. Логические основы математики . Пергамон. В этом тексте S относится к аксиомам Пеано.
- Холмс, Рэндалл, 1998. Элементарная теория множеств с универсальным набором . Академия-Брюйлан. Издатель любезно согласился разрешить распространение этого введения в NFU через Интернет. Авторские права защищены.
- Суппес, Патрик (1972) [1960]. Аксиоматическая теория множеств . Дувр.
Цитаты [ править ]
- ^ WVO Quine, Математическая логика (1981), стр.247. Издательство Гарвардского университета, 0-674-55451-5.
- ^ Френкель 1968 .
- ^ Суппес 1972 .
Внешние ссылки [ править ]
- Стэнфордская энциклопедия философии :
- Новые основы Куайна — Томас Форстер.
- Альтернативные аксиоматические теории множеств — Рэндалл Холмс.
- Макгуайр, Гэри, « Что такое натуральные числа? »
- Рэндалл Холмс: Домашняя страница новых фондов.