Принцип Юма
 | Эта статья включает список общих ссылок , но в ней отсутствуют достаточные соответствующие встроенные цитаты . ( Май 2020 г. ) |
Принцип Юма или HP гласит, что количество F равно количеству G когда существует взаимно однозначное соответствие (биекция) между F и G. тогда и только тогда , HP формально может быть сформулирована в системах логики второго порядка . Принцип Юма назван в честь шотландского философа Дэвида Юма и был придуман Джорджем Булосом .
HP играет центральную роль в Готлоба Фреге философии математики . Фреге показывает, что HP и подходящие определения арифметических понятий влекут за собой все аксиомы того, что мы теперь называем арифметикой второго порядка . Этот результат известен как теорема Фреге , которая является основой философии математики, известной как неологицизм .
Происхождение
[ редактировать ]Принцип Юма появляется в «Основах арифметики» Фреге (§63), [ 1 ] который цитирует часть III книги I « Дэвида Юма » Трактата о человеческой природе (1740 г.). Юм устанавливает семь фундаментальных отношений между идеями. Что касается одного из них, пропорции в количестве или числе , Юм утверждает, что наши рассуждения о пропорциях в количестве, представленные геометрией , никогда не смогут достичь «совершенной точности и аккуратности», поскольку его принципы вытекают из чувственных явлений. Он противопоставляет это рассуждениям о числе или арифметике быть достигнута такая точность , в которых может :
Алгебра и арифметика [являются] единственными науками, в которых мы можем провести цепочку рассуждений любой степени сложности, сохраняя при этом совершенную точность и достоверность. У нас есть точная мерка, по которой мы можем судить о равенстве и пропорциях чисел; и в зависимости от того, соответствуют они или нет этому стандарту, мы определяем их отношения без всякой возможности ошибки. Когда два числа объединены таким образом, что одно всегда имеет единицу, соответствующую каждой единице другого, мы объявляем их равными ; и именно из-за отсутствия такого стандарта равенства в [пространственном] расширении геометрию вряд ли можно считать совершенной и непогрешимой наукой. (I. III. I.) [ 2 ]
Обратите внимание на использование Юмом слова « число» в древнем смысле, обозначающего набор или коллекцию вещей, а не общепринятое современное понятие «положительное целое число». Древнегреческое понятие числа ( арифмос ) представляет собой конечное множество, состоящее из единиц. См. Аристотель , «Метафизика» , 1020a14 и Евклид , « Элементы» , Книга VII, Определение 1 и 2. Контраст между старой и современной концепцией числа подробно обсуждается в Мэйберри (2000).
Влияние на теорию множеств
[ редактировать ]Принцип, согласно которому кардинальное число должно характеризоваться с точки зрения взаимно однозначного соответствия, ранее использовался Георгом Кантором , чьи работы Фреге знал . Поэтому было высказано предположение, что принцип Юма лучше называть «принципом Кантора» или «принципом Юма-Кантора». Но Фреге критиковал Кантора на том основании, что Кантор определяет кардинальные числа через порядковые числа , тогда как Фреге хотел дать характеристику кардиналов, независимую от порядковых чисел. Точка зрения Кантора, однако, заложена в современных теориях трансфинитных чисел , разработанных в аксиоматической теории множеств .
Ссылки
[ редактировать ]- Андерсон, Д.; Залта, Э. (2004). «Фреге, Булос и логические объекты» (PDF) . Журнал философской логики . 33 : 1–26. doi : 10.1023/B:LOGI.0000019236.64896.fd . S2CID 6620015 .
- Булос, Джордж (1990). «Стандарт равенства чисел». В Булосе, Г. (ред.). Смысл и метод: Очерки в честь Хилари Патнэм . Издательство Кембриджского университета. стр. 261–277. ISBN 978-0-521-36083-8 .
- Булос, Джордж (1998). «§II. «Исследования Фреге». Логика, логика и логика . Издательство Гарвардского университета. Стр. 133–342. ISBN 978-0-674-53767-5 .
- Берджесс, Джон (2018) [2005]. Исправление Фреге . Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-18706-8 .
- Фреге, Готтлоб (1884). Основы арифметики: логическое математическое исследование [ Основы арифметики ]. Вроцлав: Вильгельм Кебнер.
- Хьюм, Дэвид (1739–1740). Трактат о человеческой природе .
- Мэйберри, Джон П. (2000). Основы математики в теории множеств . Энциклопедия математики и ее приложений. Том. 83. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-77034-7 .
Цитаты
[ редактировать ]- ^ «IV. Понятие числа § 63. Возможность однозначного присвоения как такового. Логично беспокойство о том, что равенство объяснено специально для этого случая» . Фреге 1884 г. - через Проект Гутенберг.
§63. О таком средстве упоминает уже Юм: «Если два числа объединены таким образом, что одно всегда имеет единицу, соответствующую каждой единице другого, мы говорим, что они равны».
- ^ «Часть III. О знаниях и вероятностях: Раздел I. О знаниях» . Хьюм 1739–1740 - через Проект Гутенберг.