Хронология теории категорий и связанной с ней математики

    Add links

    Это временная шкала теории категорий и связанной с ней математики . Его область применения («родственная математика») принимается как:

    В этой статье и в теории категорий в целом ∞ = ω .

    Хронология до 1945 года определений до :

    Год Авторы Событие
    1890 Дэвид Хилберт Разрешение модулей модулей и свободное разрешение .
    1890 Дэвид Хилберт Теорема о сизигиях Гильберта является прототипом понятия размерности в гомологической алгебре .
    1893 Дэвид Хилберт Фундаментальная теорема алгебраической геометрии , Гильберт Нуллстелленсатц . категория аффинных многообразий над полем k эквивалентна ( категории Позднее она была переформулирована так : редуцированных конечно порожденных коммутативных) k -алгебр .
    1894 Анри Пуанкаре Фундаментальная группа топологического пространства .
    1895 Анри Пуанкаре Симплициальная гомология .
    1895 Анри Пуанкаре Фундаментальный труд «Анализ ситуса» , начало алгебраической топологии .
    около 1910 г. ЛЭЙ Брауэр Брауэр развивает интуиционизм как вклад в основополагающие дебаты по математике примерно с 1910 по 1930 годы, при этом интуиционистская логика является побочным продуктом все более бесплодной дискуссии о формализме.
    1923 Герман Кюннет Формула Кюннета для гомологии произведения пространств.
    1926 Генрих Брандт определяет понятие группоида .
    1928 Аренд Хейтинг Интуиционистская логика Брауэра превратилась в формальную математику как логику, в которой алгебра Гейтинга заменяет булеву алгебру .
    1929 Вальтер Майер Цепные комплексы .
    1930 Эрнст Цермело – Авраам Френкель Изложение окончательных ZF-аксиом , теории множеств впервые сформулированных в 1908 году и с тех пор усовершенствованных.
    около 1930 г. Эмми Нётер Теория модулей разрабатывается Нётер и ее учениками, и алгебраическая топология начинает основываться на абстрактной алгебре, а не на специальных аргументах.
    1932 Эдуард Чех Чехские когомологии , гомотопические группы топологического пространства.
    1933 Соломон Лефшец Сингулярные гомологии топологических пространств.
    1934 Рейнхольд Баер Ext группы, Ext функтор (для абелевых групп и в других обозначениях).
    1935 Витольд Гуревич Высшие гомотопические группы топологического пространства.
    1936 Маршалл Стоун Теорема Стоуна о представлении булевых алгебр инициирует различные двойственности Стоуна .
    1937 Ричард Брауэр — Сесил Несбитт Алгебры Фробениуса .
    1938 Хасслер Уитни «Современное» определение когомологий , подытоживающее работу с тех пор, как Джеймс Александер и Андрей Колмогоров впервые определили коцепи .
    1940 Рейнхольд Баер Инъективные модули .
    1940 Курт Гёдель — Пол Бернейс Собственные классы теории множеств.
    1940 Хайнц Хопф Алгебры Хопфа .
    1941 Витольд Гуревич Первая фундаментальная теорема гомологической алгебры: для короткой точной последовательности пространств существует связующий гомоморфизм такой, что длинная последовательность групп когомологий пространств точна.
    1942 Сэмюэл Эйленберг — Сондерс Мак Лейн Теорема об универсальных коэффициентах для когомологий Чеха ; позже это стало общей теоремой об универсальных коэффициентах . Обозначения Hom и Ext впервые появляются в их статье.
    1943 Норман Стинрод Гомологии с локальными коэффициентами .
    1943 Израиль Гельфанд – Марк Наймарк Теорема Гельфанда–Наймарка (иногда называемая теоремой Гельфанда об изоморфизме): Категория Haus с локально компактных хаусдорфовых пространств непрерывными собственными отображениями в качестве морфизмов эквивалентна категории C* Alg коммутативных C*-алгебр с собственными *-гомоморфизмами в качестве морфизмов.
    1944 Гаррет Биркгоф — Эйстейн Руд Связи Галуа, обобщающие соответствие Галуа: пара сопряженных функторов между двумя категориями, возникающими из частично упорядоченных множеств (в современной формулировке).
    1944 Сэмюэл Эйленберг «Современное» определение сингулярных гомологии и сингулярных когомологий.
    1945 Бено Экманн Определяет построение колец когомологий по Хайнца Хопфа работе .

    1945–1970 [ править ]

    Год Авторы Событие
    1945 Сондерс Мак Лейн — Сэмюэл Эйленберг Начало теории категорий: аксиомы для категорий , функторы и естественные преобразования .
    1945 Норман Стинрод — Сэмюэл Эйленберг Аксиомы Эйленберга – Стинрода для гомологии и когомологии.
    1945 Жан Лерэ Начинается теория пучков : в то время пучок представлял собой отображение, которое присваивало модуль или кольцо замкнутому подпространству топологического пространства. Первым примером был пучок, присваивающий замкнутому подпространству его p-ю группу когомологий.
    1945 Жан Лерэ Определяет когомологии пучка, используя свою новую концепцию пучка.
    1946 Жан Лерэ Изобретает спектральные последовательности как метод итеративного приближения групп когомологий предыдущими приближенными группами когомологий. В предельном случае оно дает искомые группы когомологий.
    1948 Расписание семинаров пишет теорию пучков Впервые .
    1948 Эл Блейкерс Скрещенные комплексы (названные Блейкерсом групповыми системами) по предложению Сэмюэля Эйленберга : неабелево обобщение цепных комплексов абелевых групп, которые эквивалентны строгим ω-группоидам . Они образуют категорию Crs , которая имеет множество удовлетворительных свойств, таких как моноидальная структура .
    1949 Джон Генри Уайтхед Перекрещенные модули .
    1949 Андре Вейль Сформулировал гипотезу Вейля о замечательных отношениях между когомологической структурой алгебраических многообразий над C и диофантовой структурой алгебраических многообразий над конечными полями .
    1950 Анри Картан В книге «Теория пучков» семинара Картана он определяет: пространство пучков (этальное пространство), носитель пучков аксиоматически, когомологии пучков с носителем в аксиоматической форме и многое другое.
    1950 Джон Генри Уайтхед Излагает алгебраическую гомотопическую программу для описания, понимания и вычисления гомотопических типов пространств и гомотопических классов отображений.
    1950 Сэмюэл Эйленберг — Джо Зилбер Симплициальные множества как чисто алгебраическая модель топологических пространств с хорошим поведением. Симплициальное множество также можно рассматривать как предпучок в категории симплекса . Категория — это симплициальное множество такое, что отображения Сигала являются изоморфизмами.
    1951 Анри Картан Современное определение теории пучков , в котором пучок определяется с использованием открытых подмножеств вместо закрытых подмножеств топологического пространства, и все открытые подмножества рассматриваются одновременно. Пучок в топологическом пространстве X становится функтором, напоминающим функцию, определенную локально на и принимающую значения в множествах, абелевых группах, коммутативных кольцах , модулях или вообще в любой категории C. X Фактически Александр Гротендик позже составил словарь пучков и функций . Другая интерпретация пучков — это непрерывно меняющиеся множества (обобщение абстрактных множеств ). Его цель — обеспечить единый подход для соединения локальных и глобальных свойств топологических пространств и классифицировать препятствия для перехода от локальных объектов к глобальным объектам в топологическом пространстве путем склеивания локальных частей. C -значные пучки в топологическом пространстве и их гомоморфизмы образуют категорию.
    1952 Уильям Мэсси Изобретает точные пары для расчета спектральных последовательностей.
    1953 Жан-Пьер Серр Серра C -теория и подкатегории Серра .
    1952 Нобуо Йонеда Йонеда публикует свою знаменитую лемму . Лемма Йонеды позволяет рассматривать объекты (малой) категории как предпучки . Лемма Йонеды играет решающую роль в изучении представимых функторов в алгебраической геометрии. Например, хотя это никогда не упоминается явно, оно занимает центральное место в идеях Гротендика «Fondements de la Géométrie Algébrique».
    1955 Жан-Пьер Серр Показывает, что существует соответствие 1–1 между алгебраическими векторными расслоениями над аффинным многообразием и конечно порожденными проективными модулями над его координатным кольцом ( теорема Серра – Свона ).
    1955 Жан-Пьер Серр Когерентные когомологии пучков в алгебраической геометрии.
    1956 Жан-Пьер Серр Переписка ГАГА .
    1956 Анри Картан — Сэмюэл Эйленберг Влиятельная книга «Гомологическая алгебра» , обобщающая состояние дел по этой теме на тот момент. Обозначения Tor n и Ext н , а также понятия проективного модуля , проективной и инъективной резольвенты модуля, производного функтора и гипергомологии появляются в этой книге впервые.
    1956 Дэниел Кан Симплициальная теория гомотопии, также называемая категориальной теорией гомотопии: гомотопическая теория, полностью внутренняя по отношению к категории симплициальных множеств .
    1957 Шарль Эресманн – Жан Бенабу Бессмысленное построение топологии на основе Маршалла Стоуна работ .
    1957 Александр Гротендик Абелевы категории в гомологической алгебре, сочетающие точность и линейность.
    1957 Александр Гротендик Влиятельная Тохоку статья переписывает гомологическую алгебру ; доказательство двойственности Гротендика (двойственности Серра для возможно сингулярных алгебраических многообразий). Он также показал, что концептуальная основа гомологической алгебры над кольцом справедлива и для линейных объектов, изменяющихся как пучки в пространстве.
    1957 Александр Гротендик Относительная точка зрения Гротендика , S-схемы .
    1957 Александр Гротендик теорема Гротендика–Хирцебруха–Римана–Роха для гладкой поверхности; доказательство вводит K-теорию .
    1957 Дэниел Кан Комплексы Кана : Симплициальные множества (в которых каждый рог имеет наполнитель), являющиеся геометрическими моделями симплициальных ∞-группоидов . Кановские комплексы также являются фибрантными (и кофибрантными) объектами модельных категорий симплициальных множеств, расслоения которых являются кановскими расслоениями .
    1958 Александр Гротендик Начинает новое основание алгебраической геометрии путем обобщения многообразий и других пространств алгебраической геометрии до схем , которые имеют структуру категории с открытыми подмножествами в качестве объектов и ограничениями в виде морфизмов. образуют категорию, которая представляет собой топос Гротендика , а схеме и даже стопке можно сопоставить топос Зарисского, этальный топос, топос fppf, топос fpqc, топос Нисневича, плоский топос... в зависимости от топология, наложенная на схему. Вся алгебраическая геометрия была классифицирована со временем.
    1958 Роджер Годемент Монады в теории категорий (тогда называемые стандартными конструкциями и тройками). Монады обобщают классические понятия универсальной алгебры и в этом смысле могут рассматриваться как алгебраическая теория над категорией: теория категории Т-алгебр. Алгебра монады включает и обобщает понятие модели алгебраической теории.
    1958 Дэниел Кан Дэниел Кан представляет сопряженные функторы . Они имеют решающее значение, например, в теории пучков.
    1958 Дэниел Кан Пределы в теории категорий.
    1958 Александр Гротендик Расслоенные категории .
    1959 Бернар Дворк Доказывает рациональность части гипотезы Вейля (первая гипотеза).
    1959 Жан-Пьер Серр Алгебраическая K-теория основана на явной аналогии теории колец с геометрическими случаями.
    1960 Александр Гротендик Файберные функторы
    1960 Дэниел Кан Могут ли расширения
    1960 Александр Гротендик Формальная алгебраическая геометрия и формальные схемы
    1960 Александр Гротендик Представимые функторы
    1960 Александр Гротендик Классифицирует теорию Галуа ( теория Галуа Гротендика )
    1960 Александр Гротендик Теория спуска : идея, расширяющая понятие склейки топологии со схемой , чтобы обойти грубые отношения эквивалентности. Он также обобщает локализацию в топологии.
    1961 Александр Гротендик Локальные когомологии . Представлен на семинаре в 1961 году, но примечания опубликованы в 1967 году.
    1961 Джим Сташефф Ассоциэдры позже использовались в определении слабых n -категорий.
    1961 Ричард Свон Показывает, что существует соответствие 1–1 между топологическими векторными расслоениями над компактным хаусдорфовым пространством X и конечно порожденными проективными модулями над кольцом C ( X ) непрерывных функций на X ( теорема Серра – Свона ).
    1963 Фрэнк Адамс – Сондерс Мак Лейн Категории PROP и категории PACT для высших гомотопий. PROP — это категории для описания семейств операций с любым количеством входов и выходов. Операды — это специальные PROP с операциями только с одним выходом.
    1963 Александр Гротендик Этальная топология — особая топология Гротендика на
    1963 Александр Гротендик Распространение когомологий
    1963 Александр Гротендик Гротендика Топосы — категории, похожие на вселенные (обобщенные пространства) множеств, в которых можно заниматься математикой.
    1963 Уильям Ловер Алгебраические теории и алгебраические категории
    1963 Уильям Ловер Основывает категориальную логику , открывает внутреннюю логику категорий, признает ее важность и вводит теории Ловера . По существу категориальная логика — это подъем различных логик до внутренних логик категорий. Каждый вид категории с дополнительной структурой соответствует системе логики со своими правилами вывода. Теория Лоувера — это алгебраическая теория как категория с конечными произведениями , обладающая «генерической алгеброй» (генерической группой). Структуры, описываемые теорией Ловера, являются моделями теории Ловера.
    1963 Жан-Луи Вердье Триангулированные категории и триангулированные функторы . Производные категории и производные функторы являются частными случаями этих
    1963 Джим Сташефф A ∞ -алгебры : в dg-алгебрах, аналоги топологических моноидов ассоциативные с точностью до гомотопии, возникающие в топологии (т.е. H-пространствах ).
    1963 Жан Жиро Теорема Жиро о характеризации, характеризующая топосы Гротендика как категории пучков на небольшом участке
    1963 Чарльз Эресманн Теория внутренних категорий : Интернализация категорий в категории V с откатами означает замену категории Set (то же самое для классов вместо множеств) на V в определении категории. Интернализация – это способ повысить категориальное измерение.
    1963 Чарльз Эресманн Несколько категорий и несколько функторов
    1963 Сондерс Мак Лейн Моноидальные категории , также называемые тензорными категориями: строгие 2-категории с одним объектом, созданные с помощью трюка с переименованием категорий с тензорным произведением объектов, которое тайно представляет собой композицию морфизмов в 2-категории. В моноидальной категории имеется несколько объектов, поскольку трюк с перемаркировкой превращает 2-морфизмы 2-категории в морфизмы, морфизмы 2-категории в объекты и забывает об одном объекте. В общем, более высокий трюк с перемаркировкой работает для n -категорий с одним объектом, чтобы создать общие моноидальные категории. Наиболее распространенные примеры включают: ленточные категории , плетеные тензорные категории , сферические категории , компактные замкнутые категории , симметричные тензорные категории , модульные категории , автономные категории , категории с двойственностью.
    1963 Сондерс Мак Лейн Теорема Мак Лейна о когерентности для определения коммутативности диаграмм в моноидальных категориях
    1964 Уильям Ловер Элементарная теория ETCS категории множеств : аксиоматизация категории множеств , которая также является постоянным случаем элементарного топоса.
    1964 Бэрри Митчелл — Питер Фрейд Теорема вложения Митчелла – Фрейда : каждая малая абелева категория допускает точное и полное вложение в категорию (левых) модулей Mod R над некоторым кольцом R.
    1964 Рудольф Хааг – Даниэль Кастлер Алгебраическая квантовая теория поля по идеям Ирвинга Сигала
    1964 Александр Гротендик Топологизирует категории аксиоматически, налагая топологию Гротендика на категории, которые затем называются сайтами . Назначение узлов — определить на них покрытия, чтобы можно было определить пучки над узлами. Остальные «пространства», для которых можно определить пучки, кроме топологических пространств, являются локалями.
    1964 Майкл Артин – Александр Гротендик ℓ-адические когомологии , техническое развитие в SGA4 долгожданных когомологий Вейля .
    1964 Александр Гротендик Доказывает гипотезы Вейля, за исключением аналога гипотезы Римана.
    1964 Александр Гротендик шести операций Формализм в гомологической алгебре ; Р ж * , ж −1 , Р ж ! , ж ! , ⊗ л , RHom и доказательство его замкнутости
    1964 Александр Гротендик В письме Жан-Пьеру Серру были представлены гипотетические мотивы для выражения идеи о том, что существует единая универсальная теория когомологий, лежащая в основе различных теорий когомологий для алгебраических многообразий. Согласно философии Гротендика, должен существовать универсальный функтор когомологий, присоединяющий мотив h( X ) к каждому гладкому проективному многообразию X. чистый Если X не является гладким или проективным, h( X ) необходимо заменить более общим смешанным мотивом , имеющим весовую фильтрацию, чьи коэффициенты являются чистыми мотивами. Категория мотивов (категориальная основа теории универсальных когомологий) может использоваться как абстрактная замена сингулярных когомологий (и рациональных когомологий) для сравнения, связи и объединения «мотивированных» свойств и параллельных явлений различных теорий когомологий, а также для обнаружения топологическая структура алгебраических многообразий. Категории чистых мотивов и смешанных мотивов являются абелевыми тензорными категориями, а категория чистых мотивов — также таннакской категорией . Категории мотивов образуются путем замены категории разновидностей категорией с теми же объектами, но морфизмы которых соответствия по модулю подходящего отношения эквивалентности ; разные эквивалентности дают разные теории. Рациональная эквивалентность дает категорию мотивов Чжоу с группами Чжоу как морфизмами, которые в некотором смысле универсальны. Любая теория геометрических когомологий является функтором категории мотивов. Каждый индуцированный функтор ρ:мотивы по модулю числовой эквивалентности → градуированных Q -векторных пространств называется реализацией категории мотивов, обратные функторы называются улучшениями . Смешанные мотивы объясняют явления в самых разных областях, таких как: теория Ходжа, алгебраическая K-теория, полилогарифмы, отображения регуляторов, автоморфные формы, L-функции, ℓ-адические представления, тригонометрические суммы, гомотопии алгебраических многообразий, алгебраические циклы, пространства модулей и, таким образом, имеет потенциал обогатить каждую область и объединить их все.
    1965 Эдгар Браун Абстрактные категории гомотопии : правильная основа для изучения гомотопической теории комплексов CW
    1965 Макс Келли dg-категории
    1965 Макс Келли — Сэмюэл Эйленберг Расширенная теория категорий : Категории C, обогащенные по категории V, это категории с Hom-множествами Hom C не просто множеством или классом, но со структурой объектов в категории V. — Обогащение по V - это способ повысить категориальное измерение.
    1965 Чарльз Эресманн Определяет как строгие 2-категории , так и строгие n -категории.
    1966 Александр Гротендик Кристаллы (разновидность пучка, используемого в кристаллических когомологиях )
    1966 Уильям Ловер ETAC Элементарная теория абстрактных категорий , первые предложенные аксиомы для Кота или теория категорий с использованием логики первого порядка.
    1967 Жан Бенабу Бикатегории (слабые 2-категории) и слабые 2-функторы
    1967 Уильям Ловер Основывает синтетическую дифференциальную геометрию.
    1967 Саймон Кохен – Эрнст Шпекер Теорема Кохена – Спекера в квантовой механике.
    1967 Жан-Луи Вердье Определяет производные категории и переопределяет производные функторы в терминах производных категорий.
    1967 Питер Гэбриэл – Мишель Зисман Аксиоматизирует симплициальную теорию гомотопий.
    1967 Дэниел Куиллен Категории модели Квиллена и функторы модели Квиллена : основа для аксиоматического построения гомотопической теории в категориях и абстракция гомотопических категорий таким образом, что hC = C [ W −1 ] где W −1 являются инвертированными слабыми эквивалентностями модельной категории C Квиллена. Модельные категории Квиллена гомотопически полны и кополны и имеют встроенную двойственность Экмана – Хилтона.
    1967 Дэниел Куиллен Гомотопическая алгебра (опубликована в виде книги, иногда называемая некоммутативной гомологической алгеброй): исследование различных модельных категорий и взаимодействия между расслоениями, корасслоениями и слабыми эквивалентностями в произвольных замкнутых модельных категориях.
    1967 Дэниел Куиллен Аксиомы Квиллена для теории гомотопий в модельных категориях
    1967 Дэниел Куиллен Первая фундаментальная теорема симплициальной теории гомотопий : Категория симплициальных множеств является (собственной) замкнутой (симплициальной) модельной категорией.
    1967 Дэниел Куиллен Вторая фундаментальная теорема симплициальной теории гомотопий : функтор реализации и функтор сингулярности являются эквивалентностью категорий hΔ и hTop ( Δ категория симплициальных множеств ).
    1967 Жан Бенабу V -актегории : категория C с действием ⊗: V × C → C , которое ассоциативно и унитально с точностью до когерентного изоморфизма, для V - симметричная моноидальная категория . V-актегории можно рассматривать как категоризацию R-модулей над коммутативным кольцом R.
    1968 Чен-Нин Ян — Родни Бакстер Уравнение Янга – Бакстера , позже использованное как соотношение в плетеных моноидальных категориях для пересечений кос.
    1968 Александр Гротендик Кристаллические когомологии : теория p -адических когомологий в характеристике p, изобретенная для заполнения пробела, оставленного этальными когомологиями , которым не хватает использования коэффициентов mod p для этого случая. Гротендик иногда называет ее йогой коэффициентов де Рама и коэффициентов Ходжа, поскольку кристаллические когомологии многообразия X в характеристике p подобны когомологиям де Рама по модулю p X , и существует изоморфизм между группами когомологий де Рама и группами когомологий Ходжа. гармонических форм
    1968 Александр Гротендик Соединение Гротендика
    1968 Александр Гротендик Формулирует стандартные гипотезы об алгебраических циклах.
    1968 Майкл Артин Алгебраические пространства в алгебраической геометрии как обобщение схемы
    1968 Чарльз Эресманн Эскизы : альтернативный способ представления теории (категориальной по своему характеру, в отличие от лингвистической), модели которой следует изучать в соответствующих категориях. Эскиз — это небольшая категория с набором выделенных конусов и набором выделенных коконов, удовлетворяющих некоторым аксиомам. Модель эскиза представляет собой многозначный функтор, преобразующий выделенные конусы в предельные конусы, а выделенные коконусы в копредельные конусы. Категории моделей эскизов - это именно доступные категории.
    1968 Йоахим Ламбек Мультикатегории
    1968-1972 Майкл Бордман и Райнер Фогт (1968), Питер Мэй (1972) Операды : абстракция семейства составных функций нескольких переменных вместе с действием перестановки переменных. Операды можно рассматривать как алгебраические теории, а алгебры над операдами являются моделями теорий. Каждая операда монаду сверху . дает Мультикатегории с одним объектом — это операды. PROP обобщают операды, допуская операции с несколькими входами и несколькими выходами. Операды используются при определении оптопов , теории высших категорий, теории гомотопий, гомологической алгебре, алгебраической геометрии, теории струн и во многих других областях.
    1969 Макс Келли — Нобуо Йонеда Заканчивается и заканчивается
    1969 Пьер Делинь — Дэвид Мамфорд Стеки Делиня – Мамфорда как обобщение схемы
    1969 Уильям Ловер Доктрины (теория категорий) , доктрина — это монада на 2-категории.
    1970 Уильям Ловер — Майлз Тирни Элементарные топосы : категории, созданные по образцу категории множеств, которые подобны вселенным (обобщенным пространствам) множеств, в которых можно заниматься математикой. Одним из многих способов определения топоса является правильно декартова замкнутая категория с классификатором подобъектов . Каждый топос Гротендика является элементарным топосом.
    1970 Джон Конвей Теория мотков узлов : Вычисление инвариантов узлов с помощью модулей мотков . Модули Skein могут быть основаны на квантовых инвариантах.

    1971–1980 [ править ]

    Год Авторы Событие
    1971 Сондерс Мак Лейн Влиятельная книга «Категории для работающего математика» , ставшая стандартным справочником по теории категорий.
    1971 Хорст Херрлих — Освальд Уайлер Категориальная топология : изучение топологических категорий структурированных множеств (обобщений топологических пространств, равномерных пространств и различных других пространств в топологии) и отношений между ними, кульминацией которых является универсальная топология . Общая категориальная топология изучает и использует структурированные множества в топологической категории в качестве общего исследования топологии и использует топологические пространства. Алгебраическая категориальная топология пытается применить механизм алгебраической топологии топологических пространств к структурированным множествам в топологической категории.
    1971 Гарольд Темперли — Эллиот Либ Алгебры Темперли – Либа : алгебры клубков , определяемые генераторами клубков, и отношения между ними.
    1971 Уильям Ловер — Майлз Тирни Топология Ловера – Тирни на топосе
    1971 Уильям Ловер — Майлз Тирни Теоретико-топосное принуждение (форсирование в топосах): категоризация метода теоретико-множественного принуждения к топосам для попыток доказать или опровергнуть гипотезу континуума , независимость аксиомы выбора и т. д. в топосах.
    1971 Боб Уолтерс — Росс Стрит Структуры Йонеды по 2-категориям
    1971 Роджер Пенроуз Струнные диаграммы для управления морфизмами в моноидальной категории
    1971 Жан Жиро Гербы : категоризированные основные пакеты, которые также являются особыми случаями стеков.
    1971 Йоахим Ламбек Обобщает соответствие Хаскелла-Карри-Уильяма-Ховарда трехстороннему изоморфизму между типами, предложениями и объектами декартовой замкнутой категории.
    1972 Макс Келли Клубы (теория категорий) и связность (теория категорий) . Клуб — это особый вид двумерной теории или моноид в Cat / (категория конечных множеств и перестановок P ), каждый клуб дает 2-монаду на Cat
    1972 Джон Исбелл Локали : «обобщенное топологическое пространство» или «беспредметные пространства», определяемые решеткой ( полная алгебра Гейтинга, также называемая решеткой Брауэра), так же, как в топологическом пространстве открытые подмножества образуют решетку. Если решетка имеет достаточно точек, это топологическое пространство. Локали являются основными объектами бессмысленной топологии , а двойственные объекты — фреймы . друг другу И локали, и фреймы образуют категории, противоположные . Пучки могут быть определены в локалях. Другие «пространства», в которых можно определить пучки, — это сайты. Хотя места были известны раньше, Джон Исбелл впервые назвал их.
    1972 Росс Стрит Формальная теория монад : Теория монад в 2-категориях
    1972 Peter Freyd Основная теорема теории топоса : каждая категория среза ( E , Y ) топоса E является топосом, а функтор f *: ( E , X ) → ( E , Y ) сохраняет экспоненты и объект классификатора подобъектов Ω и имеет правый и левый сопряженный функтор
    1972 Александр Гротендик Вселенные Гротендика для множеств как часть основ категорий
    1972 Жан Бенабу — Росс Стрит Космосы , которые классифицируют вселенные : Космос — это обобщенная вселенная, состоящая из 1-категорий, в которой вы можете заниматься теорией категорий. Когда теория множеств обобщается для изучения топоса Гротендика , аналогичным обобщением теории категорий является изучение космоса.
    1. Определение Росс Стрит: бикатегория , что такая
    2. существуют небольшие биопродукты;
    3. каждая монада допускает конструкцию Клейсли (аналог фактора отношения эквивалентности в топосе);
    4. оно локально мало-кополно; и
    5. существует небольшой генератор Коши .

    Космосы замкнуты по отношению к дуализации, параметризации и локализации. Росс Стрит также знакомит с элементарными космосами .

    Определение Жана Бенабу: Биполная симметричная моноидальная замкнутая категория.

    1972 Уильям Митчелл – Жан Бенабу Митчелла-Бенабу Внутренний язык топосов Ω : для топоса E с объектом классификатора подобъектов язык (или теория типов ) L( E ), где:
    1. типы являются объектами E
    2. члены типа X в переменных x i типа X i представляют собой полиномиальные выражения φ( x 1 ,..., x m ): 1→ X в стрелках x i : 1 → X i в E
    3. формулы — это термы типа Ω (стрелки от типов к Ω)
    4. связки индуцируются из внутренней структуры алгебры Гейтинга Ω
    5. также учитываются кванторы, ограниченные типами и применяемые к формулам.
    6. для каждого типа X также существуют два бинарных отношения = X (определяются применением диагонального отображения к произведению аргументов) и ∈ X (определяются применением оценочного отображения к произведению термина и степенного члена аргументов).

    Формула является истинной, если стрелка, которая ее интерпретирует, проходит через стрелку true: 1 → Ω. Внутренний язык Митчелла-Бенабу — это мощный способ описания различных объектов в топосе, как если бы они были множествами, и, следовательно, способ превратить топос в обобщенную теорию множеств, написать и доказать утверждения в топосе, используя интуиционистский предикат первого порядка. логику, рассматривать топосы как теории типов и выражать свойства топоса. Любой язык L также порождает лингвистический топос E (L)

    1973 Крис Риди Категории Риди : Категории «форм», которые можно использовать для создания теории гомотопий. Категория Риди — это категория R, снабженная структурой, позволяющей индуктивное построение диаграмм и естественные преобразования R. формы Важнейшим следствием структуры Риди на R является существование модельной структуры на категории функторов M Р всякий раз, когда M является модельной категорией . Еще одним преимуществом структуры Риди является то, что ее корасслоения, расслоения и факторизации являются явными. В категории Риди существует понятие инъективного и сюръективного морфизма, так что любой морфизм можно однозначно факторизовать как сюръекцию, за которой следует инъекция. Примерами могут служить порядковый номер α, рассматриваемый как частично упорядоченное множество и, следовательно, как категория. Противоположная R ° категории Риди R также является категорией Риди. Категория симплексов ∆ и, в более общем плане, для любого симплициального множества X его категория симплексов ∆ / X является категорией Риди. Структура модели на M Д для модельной категории M описано в неопубликованной рукописи Криса Риди.
    1973 Кеннет Браун – Стивен Герстен Показывает существование глобальной закрытой модельной структуры в категории симплициальных пучков в топологическом пространстве со слабыми предположениями о топологическом пространстве.
    1973 Кеннет Браун Обобщенные пучковые когомологии топологического пространства X с пучком коэффициентов на X со значениями в категории Канса спектров с некоторыми условиями конечности. Он обобщает обобщенную теорию когомологий и пучковых когомологий с коэффициентами в комплексе абелевых пучков.
    1973 Уильям Ловер Обнаруживает, что полнота Коши может быть выражена для общих обогащенных категорий , а категория обобщенных метрических пространств является частным случаем. Последовательности Коши становятся левосопряженными модулями, а сходимость становится представимостью.
    1973 Жан Бенабу Распределители (также называемые модулями, профункторами, направленными мостами )
    1973 Пьер Делинь Доказывает последнюю из гипотез Вейля , аналог гипотезы Римана.
    1973 Майкл Бордман — Райнер Фогт Категории Сигала : Симплициальные аналоги A∞ - категорий . Они естественным образом обобщают симплициальные категории , поскольку их можно рассматривать как симплициальные категории, композиция которых сводится только к гомотопии.

    Def: Симплициальное пространство X такое, что X 0 (множество точек) является дискретным симплициальным множеством и отображением Сигала.

    φ k : X k → X 1 × X 0 ... × X 0 X 1 (индуцированный X (α i ): X k → X 1 ), присвоенный X

    является слабой эквивалентностью симплициальных множеств при k ≥ 2.

    Категории Сигала — это слабая форма S-категорий , в которых композиция определена только с точностью до связной системы эквивалентностей.
    Категории Сигала были определены годом позже Грэмом Сигалом . Впервые они были названы категориями Сигала Уильямом Дуайером, Дэниелом Каном и Джеффри Смитом в 1989 году. В своей знаменитой книге «Гомотопические инвариантные алгебраические структуры на топологических пространствах» Дж. Майкл Бордман и Райнер Фогт назвали их квазикатегориями . Квазикатегория — это симплициальное множество, удовлетворяющее слабому условию Кана, поэтому квазикатегории также называются слабыми комплексами Кана.

    1973 Дэниел Куиллен Категории Фробениуса : точная категория , в которой классы инъективных и проективных объектов совпадают, и для всех объектов x в категории существует дефляция P( x ) → x (проективное накрытие x) и инфляция x → I( x ). (инъективная оболочка x ), такая что и P(x), и I( x ) находятся в категории про/инъективных объектов. Категория Фробениуса E является примером модельной категории , а фактор E /P (P — класс проективных/инъективных объектов) — ее гомотопической категорией hE.
    1974 Майкл Артин Обобщает стеки Делиня-Мамфорда на стеки Артина.
    1974 Роберт Паре Теорема Паре о монадичности : E — топос → E ° монадична над E.
    1974 Энди Мэджид Обобщает теорию Галуа Гротендика с групп на случай колец с использованием группоидов Галуа.
    1974 Жан Бенабу Логика расслоенных категорий
    1974 Джон Грей Категории серого с тензорным произведением Грея
    1974 Кеннет Браун Пишет очень влиятельную статью, в которой определяются категории фибрантных объектов Брауна и двойственные категории кофибрантных объектов Брауна.
    1974 Шиинг-Шен Черн — Джеймс Саймонс Теория Черна – Саймонса : особая TQFT, описывающая инварианты узлов и многообразий , в то время только в 3D.
    1975 Саул Крипке — Андре Жойял Семантика Крипке-Джойала внутреннего языка Митчелла-Бенабу для топосов: логика в категориях пучков - это интуиционистская логика предикатов первого порядка.
    1975 Раду Дьяконеску Теорема Диаконеску : внутренняя аксиома выбора выполняется в топосе → топос является логическим топосом. Итак, в ИЗФ аксиома выбора подразумевает закон исключенного третьего.
    1975 Манфред Сабо Поликатегории
    1975 Уильям Ловер Отмечает, что из теоремы Делиня о достаточном количестве точек в когерентном топосе следует теорема Гёделя о полноте для логики первого порядка в этом топосе.
    1976 Александр Гротендик Схематические типы гомотопий
    1976 Марсель Крэбб Категории Гейтинга, также называемые логосами : регулярные категории , в которых подобъекты объекта образуют решетку и в которых каждое прообразное отображение имеет правое сопряженное. Точнее, когерентная категория C такая, что для всех морфизмов f : A → B в C функтор f *:Sub C ( B ) → Sub C ( A ) имеет сопряженный слева и сопряженный справа. Sub C ( A ) — это предварительный порядок подобъектов A полная подкатегория C / A , объекты которой являются подобъектами A ) в C. ( Каждый топос – это логос. Категории Гейтинга обобщают алгебры Гейтинга .
    1976 Росс Стрит Вычисления
    1977 Майкл Маккай — Гонсало Рейес Тщательно развивает Митчелла-Бенабу внутренний язык топоса в более общей обстановке.
    1977 Андре Буало – Андре Жояль – Джон Зангвилл LST, локальная теория множеств : Локальная теория множеств — это типизированная теория множеств высшего порядка , в основе которой лежит интуиционистская логика . Это обобщение классической теории множеств, в котором множества заменяются терминами определенных типов. Категория C(S), построенная на основе локальной теории S, объектами которой являются локальные множества (или S-множества), а стрелки — локальными картами (или S-картами), является лингвистическим топосом . Каждый топос E эквивалентен лингвистическому топосу C(S( E ))
    1977 Джон Робертс Вводит наиболее общие неабелевы когомологии ω-категорий с ω-категориями в качестве коэффициентов, когда он понял, что общие когомологии связаны с раскраской симплексов в ω-категориях . Существует два метода построения общих неабелевых когомологий: когомологии неабелевых пучков в терминах спуска для пучков со значениями ω-категорий и в терминах теории гомотопических когомологий, реализующей коциклы. Эти два подхода связаны кодированием
    1978 Джон Робертс Сложные наборы (простые наборы со структурой или зачарованием)
    1978 Франсуа Байен – Моше Флато – Крис Фронсдал – Андре Лихнерович – Даниэль Штернхаймер Квантование деформации , позже ставшее частью категориального квантования.
    1978 Андре Джояль Комбинаторные виды в перечислительной комбинаторике
    1978 Дон Андерсон Опираясь на работу Кеннета Брауна, он определяет категории (ко)расслоения ABC для создания гомотопической теории и более общие категории моделей ABC , но теория бездействует до 2003 года. Каждая категория модели Квиллена является модельной категорией ABC. Отличие от категорий модели Квиллена состоит в том, что в категориях модели ABC расслоения и кофибрации независимы, а для категории модели ABC M Д это категория модели ABC. С категорией (ко)расслоения ABC канонически связан (левый) правый производный Хеллера . Топологические пространства с гомотопическими эквивалентностями как слабыми эквивалентностями, корасслоениями Гуревича как корасслоениями и расслоениями Гуревича как расслоениями образуют модельную категорию ABC, структуру модели Гуревича на Top . Комплексы объектов в абелевой категории с квазиизоморфизмами в качестве слабой эквивалентности и мономорфизмами в качестве корасслоения образуют категорию предкорасслоений ABC.
    1979 Дон Андерсон Аксиомы Андерсона гомотопической теории в категориях с дробным функтором
    1980 Alexander Zamolodchikov Уравнение Замолодчикова также называют уравнением тетраэдра.
    1980 Росс Стрит Бикатегориальная лемма Йонеды
    1980 Масаки Касивара - Зогман Мебхут Доказывает соответствие Римана–Гильберта для комплексных многообразий.
    1980 Peter Freyd Числа в топосе

    1981–1990 [ править ]

    Год Авторы Событие
    1981 Сигэру Мукаи Преобразование Мукая – Фурье
    1982 Боб Уолтерс Расширенные категории с бикатегориями в качестве основы
    1983 Александр Гротендик В поисках стопок : Рукопись, распространенная из Бангора, написанная на английском языке в ответ на переписку на английском языке с Рональдом Брауном и Тимом Портером , начиная с письма, адресованного Дэниелу Квиллену , развивая математические видения в рукописи на 629 страниц, своего рода дневнике, и будет опубликовано Математическим обществом Франции под редакцией Г. Мальциниотиса.
    1983 Александр Гротендик Первое появление строгих ∞-категорий при поиске стеков после опубликованного в 1981 году определения Рональда Брауна и Филипа Дж. Хиггинса .
    1983 Александр Гротендик Фундаментальный группоид бесконечности : полный гомотопический инвариант Π ∞ ( X для CW-комплексов X. ) Обратный функтор — это функтор геометрической реализации | . | и вместе они образуют «эквивалентность» между категорией CW-комплексов и категорией ω-группоидов.
    1983 Александр Гротендик Гомотопическая гипотеза : гомотопическая категория CW-комплексов эквивалентна Квиллену гомотопической категории разумных слабых ∞-группоидов.
    1983 Александр Гротендик Дериваторы Гротендика : модель теории гомотопий, аналогичная категориям модели Квилена , но более удовлетворительная. Дериваторы Гротендика двойственны дериваторам Хеллера.
    1983 Александр Гротендик Элементарные моделиизаторы : категории предпучков, которые моделируют гомотопические типы (тем самым обобщая теорию симплициальных множеств ). Канонические моделиизаторы также используются при исследовании стеков.
    1983 Александр Гротендик Гладкие функторы и собственные функторы
    1984 Vladimir Bazhanov–Razumov Stroganov d-симплексное уравнение Бажанова–Строганова, обобщающее уравнение Янга–Бакстера и уравнение Замолодчикова
    1984 Хорст Херрлих Универсальная топология в категориальной топологии : объединяющий категориальный подход к различным структурированным множествам (топологическим структурам, таким как топологические пространства и равномерные пространства), класс которых образует топологическую категорию, аналогичную универсальной алгебре, для алгебраических структур.
    1984 Андре Джояль Симплициальные пучки (пучки со значениями в симплициальных множествах). Симплициальные пучки на топологическом пространстве X являются моделью гиперполного ∞-топоса Sh( X ) ^
    1984 Андре Джояль Показывает, что категория симплициальных объектов в топосе Гротендика имеет замкнутую модельную структуру.
    1984 Андре Жойал — Майлз Тирни Основная теорема Галуа для топосов : каждый топос эквивалентен категории этальных предпучков на открытом этальном группоиде.
    1985 Майкл Шлессинджер – Джим Сташефф L∞ ​ -алгебры
    1985 Андре Жойял — Росс Стрит Плетеные моноидальные категории
    1985 Андре Жойял — Росс Стрит Теорема Джояла–Стрита о когерентности для сплетенных моноидальных категорий
    1985 Пол Гез – Рикардо Лима – Джон Робертс C*-категории
    1986 Йоахим Ламбек — Фил Скотт Влиятельная книга: Введение в категориальную логику высшего порядка.
    1986 Йоахим Ламбек — Фил Скотт Основная теорема топологии : секционный функтор Γ и ростковый функтор Λ устанавливают двойственное присоединение между категорией предпучков и категорией расслоений (в одном и том же топологическом пространстве), которое ограничивается двойственной эквивалентностью категорий (или двойственностью) между соответствующие полные подкатегории пучков и этальных расслоений
    1986 Питер Фрейд — Дэвид Йеттер Создает (компактную плетеную) моноидальную категорию клубков.
    1986 Владимир Дринфельд — Мичио Джимбо Квантовые группы : Другими словами, квазитреугольные алгебры Хопфа . Дело в том, что категории представлений квантовых групп являются тензорными категориями с дополнительной структурой. Они используются при построении квантовых инвариантов узлов и зацеплений и маломерных многообразий, теории представлений, теории q-деформации , КТМ , интегрируемых систем . Инварианты строятся из сплетенных моноидальных категорий , которые являются категориями представлений квантовых групп. Базовая структура TQFT представляет собой модульную категорию представлений квантовой группы.
    1986 Сондерс Мак Лейн Математика, форма и функция (основа математики)
    1987 Жан-Ив Жирар Линейная логика : внутренняя логика линейной категории ( обогащенной категории, которой Hom-множества являются линейными пространствами ).
    1987 Peter Freyd Теорема Фрейда о представлении топосов Гротендика
    1987 Росс Стрит Определение нерва слабой n -категории и, таким образом, получение первого определения слабой n -категории с использованием симплексов.
    1987 Росс Стрит – Джон Робертс Формулирует гипотезу Стрита – Робертса : строгие ω-категории эквивалентны комплиментарным множествам.
    1987 Андре Жойал — Росс Стрит — Мэй Чи Шум Категории лент : сбалансированная моноидальная категория с жесткой оплеткой.
    1987 Росс Стрит n -вычисления
    1987 Иэн Эйчисон снизу вверх Алгоритм треугольника Паскаля для вычисления неабелевых условий n -коцикла для неабелевых когомологий
    1987 Владимир Дринфельд - Жерар Ломон Формулирует геометрическую программу Ленглендса.
    1987 Владимир Тураев Начинает квантовую топологию с использования квантовых групп и R-матриц для алгебраического объединения большинства известных полиномов узлов . Особенно важной была Воана Джонса и Эдварда Виттенса работа над полиномом Джонса.
    1988 Алекс Хеллер Аксиомы Хеллера для теории гомотопий как специальный абстрактный гиперфунктор . Особенностью этого подхода является очень общая локализация.
    1988 Алекс Хеллер Дериваторы Хеллера , двойственные дериваторам Гротендика.
    1988 Алекс Хеллер Дает глобальную закрытую структуру модели в категории симплициальных предпучков . Джон Джардин также представил модельную структуру в категории симплициальных предпучков.
    1988 Грегори Мур — Нэйтан Зайберг Рациональные конформные теории поля приводят к модульным тензорным категориям
    1988 Грэм Сигал Эллиптические объекты : функтор, который представляет собой категоризированную версию векторного расслоения, оснащенного соединением. Это двумерный параллельный транспорт для строк.
    1988 Грэм Сигал Конформная теория поля CFT : симметричный моноидальный функтор Z: nCob C → Hilb, удовлетворяющий некоторым аксиомам.
    1988 Эдвард Виттен Топологическая квантовая теория поля TQFT : моноидальный функтор Z: nCob → Hilb, удовлетворяющий некоторым аксиомам.
    1988 Эдвард Виттен Топологическая теория струн
    1989 Ганс Бауэс Влиятельная книга: Алгебраическая гомотопия.
    1989 Майкл Маккай — Роберт Паре Доступные категории : Категории с «хорошим» набором генераторов, позволяющие манипулировать большими категориями, как если бы они были маленькими категориями , не опасаясь столкнуться с какими-либо теоретико-множественными парадоксами. Локально представимые категории — это полностью доступные категории. Доступными категориями являются категории моделей эскизов . Название происходит от того, что эти категории доступны в виде моделей эскизов.
    1989 Эдвард Виттен Функциональный интегральный формализм Виттена и инварианты Виттена для многообразий.
    1990 Peter Freyd Аллегории : абстракция категории множеств с отношениями как морфизмами . Она имеет такое же сходство с бинарными отношениями, как категории с функциями и множествами. Это категория, в которой помимо композиции имеется унарная операция взаимного обмена R ° и частичное пересечение бинарной операции R ∩ S , как в категории множеств с отношениями в качестве морфизмов (вместо функций), для которых ряд аксиом является необходимый. Он обобщает алгебру отношений на отношения между различными видами.
    1990 Николай Решетихин – Владимир Тураев – Эдвард Виттен Инварианты Решетихина–Тураева–Виттена узлов из модулярных тензорных категорий представлений квантовых групп .

    1991–2000 [ править ]

    Год Авторы Событие
    1991 Жан-Ив Жирар Поляризация линейной логики .
    1991 Росс Стрит Паритетные комплексы . Комплекс четности порождает свободную ω-категорию .
    1991 Андре Жойал - Росс Стрит Формализация струнных диаграмм Пенроуза для вычислений с помощью абстрактных тензоров в различных моноидальных категориях с дополнительной структурой. Исчисление теперь зависит от связи с низкоразмерной топологией .
    1991 Росс Стрит Определение происхождения строгой ω-категории от косимплициальной строгой ω-категории.
    1991 Росс Стрит сверху вниз Алгоритм вырезания экстремалей для вычисления условий неабелевых n -коциклов для неабелевых когомологий .
    1992 Ив Дье Аксиоматическая категориальная геометрия с использованием алгебро-геометрических категорий и алгебро-геометрических функторов .
    1992 Сондерс Мак Лейн - Ике Мурдейк Влиятельная книга: Пучки в геометрии и логике .
    1992 Джон Гринлис — Питер Мэй Двойственность Гринлис-Мэй
    1992 Владимир Тураев Модульные тензорные категории . Специальные тензорные категории , возникающие при построении инвариантов узлов , при построении ТКПФ и КТП , как усечение (полупростое частное) категории представлений квантовой группы (в корнях из единицы), как категории представлений слабых алгебр Хопфа , как категории представительства РКФТ .
    1992 Vladimir Turaev - Oleg Viro Модели суммы состояний Тураева-Виро, основанные на сферических категориях (первые модели суммы состояний) и инвариантах суммы состояний Тураева-Виро для 3-многообразий.
    1992 Владимир Тураев Теневой мир ссылок: Тени ссылок дают теневые инварианты ссылок по суммам теневых состояний .
    1993 Рут Лоуренс Расширенные TQFT
    1993 Дэвид Йеттер — Луис Крейн Модели суммы состояний Крейна-Йеттера, основанные на ленточных категориях и инвариантах суммы состояний Крейна-Йеттера для 4-многообразий.
    1993 Кенджи Фукая A ∞ -категории и A ∞ -функторы : чаще всего в гомологической алгебре категория с несколькими композициями, такая, что первая композиция ассоциативна с точностью до гомотопии, которая удовлетворяет уравнению, которое соответствует другой гомотопии и т. д. (ассоциативна с точностью до более высокой гомотопии). ). А означает ассоциативный.

    Def: Категория C такая, что

    1. для всех X , Y в Ob( C ) Hom-множества Hom C ( X , Y ) являются конечномерными цепными комплексами Z . -градуированных модулей
    2. для всех объектов X 1 , ..., X n в Ob( C ) существует семейство линейных композиционных отображений (высшие композиции)
    м п : Hom C ( Икс 0 , Икс 1 ) ⊗ Hom C ( Икс 1 , Икс 2 ) ⊗ ... ⊗ Hom C ( Икс п - 1 , Икс п ) → Hom C ( Икс 0 , Икс п )
    степени n − 2 (используется гомологическое соглашение о градуировке) для n ≥ 1
    1. m 1 — дифференциал на цепном комплексе Hom C ( X , Y )
    2. m n удовлетворяют квадратичному уравнению A ∞ -ассоциативности для всех n ≥ 0.

    m 1 и m 2 будут цепными картами , но композиции m i более высокого порядка не являются цепными картами; тем не менее, это продукция Massey . В частности, это линейная категория .

    Примерами являются категория Фукая Fuk( X ) и пространство петель Ω X, где X — топологическое пространство, а A ∞ -алгебры как A ∞ -категории с одним объектом.

    Когда нет высших отображений (тривиальных гомотопий), C является dg-категорией . Любая A∞ - категория функториально квазиизоморфна dg-категории. Квазиизоморфизм — это цепное отображение, которое является изоморфизмом в гомологиях.

    Структура dg-категорий и dg-функторов слишком узка для многих задач, и предпочтительнее рассматривать более широкий класс A ∞ -категорий и A ∞ -функторов. особенности A∞ - категорий и A∞ Многие -функторов обусловлены тем, что они образуют симметричную замкнутую мультикатегорию , что раскрывается в языке комонад . С точки зрения многомерности A ∞ -категории являются слабыми ω -категориями со всеми обратимыми морфизмами. A ∞ -категории также можно рассматривать как некоммутативные формальные dg-многообразия с замкнутой отмеченной подсхемой объектов.

    1993 Джон Баррет — Брюс Вестбери Сферические категории : моноидальные категории с двойственными категориями для диаграмм на сфере, а не на плоскости.
    1993 Maxim Kontsevich Инварианты Концевича для узлов (являются интегралами Фейнмана разложения возмущений для функционального интеграла Виттена ), определяемые интегралом Концевича. Это универсальные инварианты Васильева для узлов.
    1993 Дэниел Фрид Новый взгляд на TQFT с использованием модульных тензорных категорий , который объединяет три подхода к TQFT (модульные тензорные категории из интегралов по путям).
    1994 Франсис Борсо Справочник по категорической алгебре (3 тома).
    1994 Жан Бенабу – Брюно Луазо Орбитали в топосе.
    1994 Maxim Kontsevich Формулирует гипотезу гомологической зеркальной симметрии : X — компактное симплектическое многообразие с первым классом Черна c 1 ( X ) = 0 и Y — компактное многообразие Калаби–Яу — зеркальные пары тогда и только тогда, когда D (Fuk X ) (производная категория Фукая триангулированная категория X , составленная из лагранжевых циклов с локальными системами) эквивалентна подкатегории D б (Coh Y ) (ограниченная производная категория когерентных пучков на Y ).
    1994 Луис Крейн — Игорь Френкель Категории Хопфа и построение по ним четырехмерных КТПФ .
    1994 Джон Фишер Определяет 2-категорию 2 -узлов (завязанных поверхностей).
    1995 Боб Гордон-Джон Пауэр- Рос Стрит Трикатегории и соответствующая теорема когерентности : каждая слабая 3-категория эквивалентна 3-категории Грея .
    1995 Росс Стрит — Доминик Верити Поверхностные диаграммы для трикатегорий.
    1995 Луи Крейн монет Категоризация , ведущая к категориальной лестнице .
    1995 Сьерд Кран Общая процедура перевода замкнутых модельных структур на категории по сопряженным парам функторов в другую категорию.
    1995 Андре Жойал - Ике Мурдейк AST, алгебраическая теория множеств : также иногда называется категориальной теорией множеств. Он был разработан в 1988 году Андре Джоялем и Ике Мурдейком и впервые был подробно представлен ими в виде книги в 1995 году. AST — это основа, основанная на теории категорий, предназначенная для изучения и организации теорий множеств , а также для построения моделей теорий множеств . Целью AST является обеспечение единой категориальной семантики или описания теорий множеств разных видов (классических или конструктивных, ограниченных, предикативных или непредикативных, хорошо обоснованных или необоснованных...), различных конструкций кумулятивная иерархия множеств , модели принуждения, модели связки и модели реализуемости. Вместо того, чтобы сосредотачиваться на категориях наборов, AST фокусируется на категориях классов. Базовым инструментом AST является понятие категории с классовой структурой (категория классов, оснащенная классом маленьких карт (интуиция подсказывает, что их слои в некотором смысле малы), мощных классов и универсального объекта (вселенной ) ) который обеспечивает аксиоматическую основу, в которой могут быть построены модели теории множеств. Понятие категории класса допускает как определение ZF-алгебр ( алгебры Цермело-Френкеля ) и родственные структуры, выражающие идею о том, что иерархия множеств является алгебраической структурой, с одной стороны, и интерпретацией логики первого порядка элементарной теории множеств, с другой. Подкатегория множеств в категории класса представляет собой элементарный топос , и каждый элементарный топос встречается как множества в категории класса. Сама классовая категория всегда вписывается в идеальное завершение топоса. Интерпретация логики заключается в том, что в каждой категории классов Вселенная представляет собой модель базовой интуиционистской теории множеств (BIST), которая логически завершена по отношению к моделям категорий классов. Следовательно, категории классов обобщают как теорию топоса, так и интуиционистскую теорию множеств. AST основывает и формализует теорию множеств на основе ZF-алгебры с операциями объединения и преемника (синглтон) вместо отношения принадлежности. ZF -аксиомы представляют собой не что иное, как описание свободной ZF-алгебры, так же как аксиомы Пеано являются описанием свободного моноида на одном образующем. С этой точки зрения модели теории множеств представляют собой алгебры для подходящего представления. алгебраическая теория и многие знакомые условия теории множеств (такие как обоснованность) связаны со знакомыми алгебраическими условиями (такими как свобода). Используя вспомогательное понятие малого отображения, можно расширить аксиомы топоса и создать общую теорию для равномерного построения моделей теории множеств из топосов.
    1995 Майкл Маккай SFAM, Структуралистский фонд абстрактной математики . В SFAM вселенная состоит из категорий более высокой размерности, функторы заменены насыщенными анафункторами , множества — это абстрактные множества , формальная логика для сущностей — FOLDS (логика первого порядка с зависимыми сортами), в которой тождественное отношение не задается априори формулой аксиомы первого порядка, но выведенные из контекста.
    1995 Джон Баэз — Джеймс Долан Опетопические множества ( опетопы ) на основе операд . Слабые n -категории представляют собой n -опетопические множества.
    1995 Джон Баэз — Джеймс Долан Ввел периодическую таблицу в математике , которая идентифицирует k -кратные моноидальные n -категории . Она отражает таблицу гомотопических групп сфер .
    1995 Джон Баэз – Джеймс Долан Описана программа, в которой n -мерные TQFT описываются как n- представления категорий .
    1995 Джон Баэз – Джеймс Долан Предложено n -мерное деформационное квантование .
    1995 Джон Баэз – Джеймс Долан Гипотеза клубка : n -категория оснащенных n -клубков в n + k измерениях ( n + k )-эквивалентна свободной слабой k -кратной моноидальной n -категории с двойниками на одном объекте.
    1995 Джон Баэз — Джеймс Долан Гипотеза кобордизма (гипотеза I расширенного TQFT): n -категория, представлениями которой являются n -мерные расширенные TQFT, nCob , является свободной стабильной слабой n -категорией с двойниками на одном объекте.
    1995 Джон Баэз — Джеймс Долан Гипотеза стабилизации : после приостановки слабой n -категории n + 2 раза дальнейшие приостановки не имеют существенного эффекта. Функтор подвески S : nCat k → nCat k +1 является эквивалентностью категорий при k = n + 2.
    1995 Джон Баэз — Джеймс Долан Гипотеза II расширенной TQFT: n -мерная унитарная расширенная TQFT представляет собой слабый n -функтор, сохраняющий все уровни двойственности, от свободной стабильной слабой n -категории с двойственными на одном объекте до nHilb .
    1995 Валентин Лычагин Категориальное квантование
    1995 Pierre Deligne - Vladimir Drinfeld - Maxim Kontsevich Производная алгебраическая геометрия с производными схемами и стеками производных модулей . Программа решения алгебраической геометрии и особенно задач о модулях в производной категории схем или алгебраических многообразий вместо их обычных категорий.
    1997 Maxim Kontsevich формальной квантования Теорема деформации: каждое многообразие Пуассона допускает дифференцируемое звездное произведение , и они классифицируются с точностью до эквивалентности с помощью формальных деформаций структуры Пуассона.
    1998 Клаудио Эрмида -Майкл-Маккай -Джон Пауэр Мультитопы , Мультитематические наборы.
    1998 Карлос Симпсон Гипотеза Симпсона : каждая слабая ∞-категория эквивалентна ∞-категории, в которой законы композиции и обмена являются строгими и слабо выполняются только единичные законы. Доказано для 1,2,3 -категорий с одним объектом.
    1998 Андре Хиршовиц-Карлос Симпсон Приведите модельную структуру категорий на основе категорий Сигала. Категории Сигала — это объекты фибрант-кофибрант, а карты Сигала — слабые эквивалентности . Фактически они обобщают определение до определения Сигала n -категории и дают модельную структуру для n -категорий Сигала для любого n ≥ 1.
    1998 Крис Ишем — Джереми Баттерфилд Теорема Кохена-Спкера в топосной теории предпучков: Спектральный предпучок (предпучок, который присваивает каждому оператору его спектр) не имеет глобальных элементов ( глобальных секций ), но может иметь частичные элементы или локальные элементы . Глобальный элемент для предпучков является аналогом обычного представления об элементе множества. В квантовой теории это эквивалентно спектру С*-алгебры наблюдаемых в топосе, не имеющем точек.
    1998 Ричард Томас Ричард Томас, ученик Саймона Дональдсона , вводит инварианты Дональдсона-Томаса , которые представляют собой системы числовых инвариантов комплексно ориентированных 3-многообразий X , аналогичные инвариантам Дональдсона в теории 4-многообразий. Они представляют собой определенные взвешенные эйлеровы характеристики пространства модулей пучков на X и «подсчитывают» полустабильные когерентные пучки Гизекера с фиксированным характером Черна на X . В идеале пространства модулей должны представлять собой критические множества голоморфных функций Черна–Саймонса , а инварианты Дональдсона–Томаса должны представлять собой правильно подсчитанное количество критических точек этой функции. В настоящее время такие голоморфные функции Черна–Саймонса существуют в лучшем случае локально.
    1998 Джон Баэз Модели спиновой пены : двумерный комплекс ячеек с гранями, помеченными представлениями, и ребрами, помеченными переплетающимися операторами . Спиновые пены являются функторами между категориями спиновых сетей . Любой кусочек пенопласта образует спиновую сетку.
    1998 Джон Баэз – Джеймс Долан Принцип микромира : определенные алгебраические структуры могут быть определены в любой категории, снабженной категоризированной версией той же структуры.
    1998 Александр Розенберг Некоммутативные схемы : пара (Spec( A ),O A ), где A — абелева категория и с ней связано топологическое пространство Spec( A ) вместе с пучком колец O A на нем. В случае, когда A = QCoh ( X ) для X схемы, пара (Spec( A ),O A ) естественно изоморфна схеме ( X Это? ,O X ) с использованием эквивалентности категорий QCoh (Spec( R )) = Mod R . В более общем смысле абелевы категории, или триангулированные категории, или dg-категории, или A ∞ -категории следует рассматривать как категории квазикогерентных пучков (или комплексов пучков) на некоммутативных схемах. Это отправная точка в некоммутативной алгебраической геометрии . Это означает, что можно думать о самой категории А как о пространстве. Поскольку A абелева, это позволяет естественным образом создавать гомологическую алгебру на некоммутативных схемах и, следовательно, на пучковых когомологиях .
    1998 Maxim Kontsevich Категории Калаби – Яу : линейная категория с картой трасс для каждого объекта категории и связанным с ней симметричным (по отношению к объектам) невырожденным паром к карте трасс. Если X — гладкое проективное многообразие Калаби—Яу размерности d , то D б (Coh( X )) — унитальная A ∞ -категория Калаби–Яу размерности Калаби–Яу d . Категория Калаби–Яу с одним объектом является Фробениуса алгеброй .
    1999 Йозеф Бернштейн – Игорь Френкель – Михаил Хованов Категории Темперли–Либа : Объекты нумеруются неотрицательными целыми числами . Множество гомоморфизмов объекта n в объект m представляет собой свободный R -модуль с базисом над кольцом R . R задается изотопическими классами систем (| n | + | m |)/2 простых попарно непересекающихся дуг внутри горизонтальной полосы на плоскости, попарно соединяющихся | п | точки внизу и | м | точки сверху в некотором порядке. Морфизмы составляются путем объединения их диаграмм. Категории Темперли–Либа представляют собой классифицированные алгебры Темперли–Либа .
    1999 Мойра Час – Деннис Салливан Строит топологию струн по когомологиям. Это теория струн на общих топологических многообразиях.
    1999 Mikhail Khovanov Гомологии Хованова : теория гомологии узлов, в которой размерности групп гомологии являются коэффициентами полинома Джонса узла.
    1999 Владимир Тураев Гомотопическая квантовая теория поля HQFT
    1999 Vladimir Voevodsky –Fabien Morel Строит гомотопическую категорию схем .
    1999 Рональд Браун – Георгий Джанелидзе 2-мерная теория Галуа
    2000 Владимир Воеводский Дает две конструкции мотивных когомологий многообразий: по модельным категориям в теории гомотопий и по триангулированной категории DM-мотивов.
    2000 Яша Элиашберг – Александр Гивенталь – Хельмут Хофер Симплектическая теория поля SFT : функтор Z из геометрической категории оснащенных гамильтоновых структур и оснащенных кобордизмов между ними в алгебраическую категорию некоторых дифференциальных D-модулей и интегральных операторов Фурье между ними, удовлетворяющий некоторым аксиомам.
    2000 Пол Тейлор [1] ASD (двойственность абстрактного камня): реаксиоматизация пространства и отображений в общей топологии в терминах λ-исчисления вычислимых непрерывных функций и предикатов, которая одновременно конструктивна и вычислима. Топология пространства рассматривается не как решетка, а как экспоненциальный объект той же категории, что и исходное пространство, с соответствующим λ-исчислением . Каждое выражение в λ-исчислении обозначает как непрерывную функцию, так и программу. ASD не использует категорию множеств , но эту роль играет полная подкатегория явных дискретных объектов (явный объект является двойственным компактному объекту), образуя арифметическую вселенную (претопос со списками) с общей рекурсией.

    2001 – настоящее время [ править ]

    Год Авторы Событие
    2001 Чарльз Резк Строит модельную категорию с некоторыми обобщенными категориями Сигала в качестве фибрантных объектов, получая таким образом модель гомотопической теории гомотопических теорий. полные пространства Сигала Одновременно вводятся .
    2001 Чарльз Резк Модельные топосы и их обобщенные гомотопические топоны (модельный топос без предположения t-полноты).
    2002 Бертран Туэн - Гкабриэль Веццози Топосы Сигала, исходящие из топологий Сигала , сайтов Сигала и стеков над ними.
    2002 Бертран Туэн-Габриэль Веццози Гомотопическая алгебраическая геометрия . Основная идея состоит в том, чтобы расширить схемы путем формальной замены колец любым типом «гомотопического кольцеподобного объекта». Точнее, этот объект представляет собой коммутативный моноид в симметричной моноидальной категории, наделенной понятием эквивалентностей, которые понимаются как «моноид с точностью до гомотопии» (например, E ∞ -кольца ).
    2002 Питер Джонстон Влиятельная книга: зарисовки слона – сборник теории топоса. Он представляет собой энциклопедию теории топоса (два из трех томов, опубликованных по состоянию на 2008 год).
    2003 Дени-Шарль Сисински Проводит дальнейшую работу над категориями моделей ABC и возвращает их в свет. С тех пор они называются категориями моделей ABC по именам их участников.
    2004 Марио Каккамо Формальная теория категорий расширила λ-исчисление для категорий.
    2004 Фрэнсис Борсо-Доминик Борн Гомологические категории
    2004 Самсон Абрамски и Боб Коке Опубликована статья «Категорическая семантика квантовых протоколов» , положившая начало Оксфордской школе категориальной квантовой механики , основанной на теории компактных замкнутых категорий.
    2004 Уильям Дуайер-Филипс Хиршхорн, Дэниел Кан , Джеффри Смит В книге « Гомотопические предельные функторы на модельных категориях и гомотопических категориях» представлен формализм гомотопических категорий и гомотопических функторов (слабые функторы, сохраняющие эквивалентность), которые обобщают модельных категорий формализм Дэниела Квиллена . Гомотопическая категория имеет только выделенный класс морфизмов (содержащий все изоморфизмы), называемый слабой эквивалентностью и удовлетворяющий двум аксиомам из шести. Это позволяет определять гомотопические версии начальных и конечных объектов , предельные и копредельные функторы (которые вычисляются с помощью локальных конструкций в книге), полноту и кополноту , присоединения , кановские расширения и универсальные свойства .
    2004 Доминик Верити Доказывает гипотезу Стрит-Робертса .
    2004 Росс Стрит Определение спуска слабой ω-категории косимплициальной слабой ω-категории.
    2004 Росс Стрит Теорема о характеризации космосов : Бикатегория M является космосом когда существует базовая бикатегория W такая, что M биэквивалентна Mod W. тогда и только тогда , В качестве W можно взять любую полную подбикатегорию M , объекты которой образуют небольшой генератор Коши .
    2004 Росс Стрит — Брайан Дэй Квантовые категории и квантовые группоиды : Квантовая категория над плетеной моноидальной категорией V — это объект R с опморфизмом h : R. на ⊗ R → A в псевдомоноид A такой, что h * является сильной моноидальной (сохраняет тензорное произведение и единицу с точностью до когерентных естественных изоморфизмов) и все R, h и A лежат в автономной моноидальной бикатегории Comod( V ) со комоноидов. Comod( V ) = Mod( V на ) курятник . Квантовые категории были введены для обобщения алгеброидов и группоидов Хопфа . Квантовый группоид — это алгебра Хопфа с несколькими объектами.
    2004 Штефан Штольц - Питер Тейхнер Определение nD КТП степени p, параметризованной многообразием.
    2004 Штефан Штольц - Питер Тейхнер Грэм Сигал предложил в 1980-х годах представить геометрическую конструкцию эллиптических когомологий (предшественника tmf ) как своего рода пространство модулей CFT. Стефан Штольц и Питер Тейхнер продолжили и расширили эти идеи в программе построения TMF как пространства модулей суперсимметричных евклидовых теорий поля. Они выдвинули гипотезу о Штольца-Тейхнера картине (аналогии) между классифицирующими пространствами теорий когомологий в хроматической фильтрации (когомологии де Рама, K-теория, K-теории Моравы) и пространствами модулей суперсимметричных КТП, параметризованных многообразием (доказано в 0D и 1D ).
    2005 Питер Селинджер Ввел термин «Кинжальные категории» и «Кинжальные функторы» . Категории кинжалов кажутся частью более широкой структуры, включающей n -категории с двойственными значениями .
    2005 Петер Ожват - Золтан Сабо Гомология узла Флоера
    2006 П. Карраско-АР Гарсон-ЭМ Витале Категориальные скрещенные модули
    2006 Аслак Бакке Буан – Роберт Марш – Маркус Рейнеке – Идун Рейтен – Гордана Тодоров Категории кластеров . Категории кластеров представляют собой частный случай триангулированных категорий Калаби–Яу размерности Калаби–Яу 2 и обобщение кластерных алгебр .
    2006 Джейкоб Лурье Монументальная книга: Теория высшего топоса : На своих 940 страницах Якоб Лурье обобщает общие понятия теории категорий на высшие категории и определяет n -топосы , ∞-топосы , пучки n -типов , ∞-узлы , ∞- лемму Йонеды и доказывает Лурье теорема о характеризации топосов более высокой размерности. Теорию высших топосов Лурье можно интерпретировать как хорошую теорию пучков, принимающих значения в ∞-категориях. Грубо говоря, ∞-топос — это ∞-категория, которая выглядит как ∞-категория всех гомотопических типов . В топосе можно заниматься математикой. В более высоком топосе можно заниматься не только математикой, но и « n -геометрией», которая представляет собой высшую теорию гомотопий . Гипотеза топоса состоит в том, что ( n +1)-категория n Cat +1)-топосом Гротендика является ( n . Высшую теорию топоса также можно использовать чисто алгебро-геометрическим способом для решения различных задач о модулях в этой ситуации. Введение в этот круг идей можно найти в проекте Kerodon .
    2007 Бернхард Келлер — Хью Томас категории d-кластера
    2007 Деннис Гайцгори — Джейкоб Лурье Представляет производную версию геометрической эквивалентности Сатаке и формулирует геометрическую двойственность Ленглендса для квантовых групп .

    Геометрическая эквивалентность Сатаке реализовала категорию представлений дуальной группы Ленглендса. л G в терминах сферических перверсивных пучков (или D-модулей ) на аффинном грассманиане Gr G = G (( t ))/ G [[t]] исходной группы G .

    2008 Ике Мурдейк - Клеменс Бергер Расширяет и улучшает определение категории Риди , чтобы оно стало инвариантным относительно эквивалентности категорий .
    2008 Майкл Дж. Хопкинс — Джейкоб Лурье Эскиз доказательства гипотезы клубка Баэза-Долана и гипотезы кобордизма Баэза-Долана , которые классифицируют расширенное TQFT во всех измерениях. Позже Джейкоб Лурье публикует полное доказательство гипотезы кобордизма (2010).
    2019 Брендан Фонг — Дэвид Спивак Первый учебник для новой области, идентифицирующей себя как прикладная теория категорий , в которой теория категорий применяется за пределами чистой математики: Приглашение к прикладной теории категорий: семь эскизов композиционности

    См. также [ править ]

    Примечания [ править ]

    1. ^ Абстрактная каменная двойственность

    Ссылки [ править ]

    Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Timeline_of_category_theory_and_related_mathematics&oldid=1224957252"