Дериватор

В математике . дериваторы представляют собой предлагаемую структуру ^[1]^[2]^{стр. 190-195} по гомологической алгебре, дающей основу как абелевой, так и неабелевой гомологической алгебре, а также различным ее обобщениям. Они были введены, чтобы устранить недостатки производных категорий (таких как нефункториальность конструкции конуса) и в то же время обеспечить язык гомотопической алгебры .

Дериваторы были впервые представлены Александром Гротендиком в его давно неопубликованной рукописи 1983 года «Pursuing Stacks» . Затем они были развиты им в огромной неопубликованной рукописи 1991 года «Les Dérivateurs» объемом почти 2000 страниц. По сути, та же концепция была предложена (по-видимому, независимо) Алексом Хеллером. ^[3]

Рукопись была отредактирована для онлайн-публикации Жоржем Мальциниотисом. Теория была далее развита несколькими другими людьми, включая Хеллера, Франке , Келлера и Грота.

Мотивы [ править ]

Одной из побудительных причин рассмотрения дериваторов является отсутствие функториальности конусной конструкции с триангулированными категориями . Дериваторы могут решить эту проблему и решить проблему включения общих гомотопических копределов , отслеживая все возможные диаграммы в категории со слабой эквивалентностью и их отношения между собой. Эвристически, учитывая диаграмму

$\bullet \to \bullet$

которая представляет собой категорию с двумя объектами и одной стрелкой нетождества и функтором

$F:(\bullet \to \bullet )\to A$

в категорию $A$ с классом слабых эквивалентностей $W$ (и удовлетворяя правильным гипотезам), мы должны иметь ассоциированный функтор

$C(F):\bullet \to A[W^{-1}]$

где целевой объект уникален с точностью до слабой эквивалентности в ${\mathcal {C}}[W^{-1}]$ . Дериваторы способны кодировать такого рода информацию и предоставлять диаграммное исчисление для использования в производных категориях и теории гомотопий.

Определение [ править ]

Предериваторы [ править ]

Формально предериватор $\mathbb {D}$ является 2-функтором

$\mathbb {D} :{\text{Ind}}^{op}\to {\text{CAT}}$

из подходящей 2-категории индексов в категорию категорий. Обычно такие 2-функтора возникают при рассмотрении категорий ${\underline {\text{Hom}}}(I^{op},A)$ где $A$ называется категорией коэффициентов . Например, ${\text{Ind}}$ может быть категорией небольших фильтруемых категорий, объекты которых можно рассматривать как наборы индексов для отфильтрованного копредела . Тогда, учитывая морфизм диаграмм

$f:I\to J$

обозначать $f^{*}$ к

$f^{*}:\mathbb {D} (J)\to \mathbb {D} (I)$

Это называется функтором обратного образа . В мотивирующем примере это просто предкомпозиция, поэтому задан функтор $F_{I}\in {\underline {\text{Hom}}}(I^{op},A)$ существует связанный функтор $F_{J}=F_{I}\circ f$ . Обратите внимание, что эти 2-функтора можно рассматривать как

${\underline {\text{Hom}}}(-,A[W^{-1}])$

где $W$ является подходящим классом слабых эквивалентностей в категории $A$ .

Категории индексирования [ править ]

Существует ряд примеров категорий индексации, которые можно использовать в этой конструкции.

2-категория ${\text{FinCat}}$ конечных категорий, поэтому объекты — это категории, совокупность объектов которых представляет собой конечные множества.
Порядковая категория $\Delta$ можно разделить на две категории, где объекты представляют собой категории с одним объектом, а функторы формируют стрелки в порядковой категории.
Другой вариант — просто использовать категорию мелких категорий.
Кроме того, связанный с любым топологическим пространством $X$ это категория ${\text{Open}}(X)$ который можно использовать в качестве категории индексирования.
Более того, стоянки, в основе Зарикси , Этале и др., топосов лежащие $(X)_{\tau }$ для некоторой схемы или алгебраического пространства $X$ вместе с их морфизмами могут использоваться для индексирующей категории
Это можно обобщить на любой топос. $T$ , поэтому категорией индексирования является базовый сайт.

Производные [ править ]

В таком случае дериваторы представляют собой аксиоматизацию предериваторов, снабженных присоединенными функторами.

f^{?}\dashv f_{!}\dashv f^{*}\dashv f_{*}\dashv f^{!}

где $f_{!}$ остается присоединенным к $f^{*}$ и так далее. Эвристически, $f_{*}$ должно соответствовать обратным пределам, $f_{!}$ копределам.

Ссылки [ править ]

^ Гротендик. «Дериватеры» . Архивировано из оригинала 20 ноября 2014 г.
^ Гротендик. «В поисках стопок» . thescrivener.github.io . Архивировано (PDF) из оригинала 30 июля 2020 г. Проверено 17 сентября 2020 г.
^ Хеллер 1988 .

Библиография [ править ]

Гротендик, Александр (1991). Мальциниотис, Жорж; Мальгуар, Жан; Кюнцер, Матиас (ред.). «Les Dérivateurs: Текст Александра Гротендика» .
Хеллер, Алекс (1988). «Гомотопические теории» . Мемуары Американского математического общества . 71 (383). Провиденс, Род-Айленд: Амер. Математика. Соц. дои : 10.1090/memo/0383 . ISBN 978-0-8218-2446-7 .
Грот, Мориц (2013). «Дериваторы, заостренные дериваторы и стабильные дериваторы». Алгебр. Геом. Тополь . 13 : 313–374. arXiv : 1112.3840 . дои : 10.2140/agt.2013.13.313 . S2CID 62898638 .

Внешние ссылки [ править ]

Эта алгеброй статья, связанная с , незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

[1] Гротендик. «Дериватеры» . Архивировано из оригинала 20 ноября 2014 г.

[:0-2] Гротендик. «В поисках стопок» . thescrivener.github.io . Архивировано (PDF) из оригинала 30 июля 2020 г. Проверено 17 сентября 2020 г.

[FOOTNOTEHeller1988-3] Хеллер 1988 .

[1]

[2]

[3]