Топология Гротендика

В теории категорий , разделе математики , топология Гротендика представляет собой структуру категории C , которая заставляет объекты C действовать как открытые множества топологического пространства . Категория вместе с выбором топологии Гротендика называется сайтом .

Топологии Гротендика аксиоматизируют понятие открытого покрытия . Используя понятие покрытия, обеспечиваемое топологией Гротендика, становится возможным определить пучки в категории и их когомологии . Впервые это было сделано в алгебраической геометрии и теории алгебраических чисел Гротендиком для определения этальных когомологий схемы Александром . С тех пор он использовался для определения других теорий когомологий, таких как ℓ-адические когомологии , плоские когомологии и кристаллические когомологии . Хотя топологии Гротендика чаще всего используются для определения теорий когомологий, они нашли и другие применения, например, в Джона Тейта теории жесткой аналитической геометрии .

Существует естественный способ связать сайт с обычным топологическим пространством , а теорию Гротендика можно рассматривать как обобщение классической топологии. В рамках гипотез скудного набора точек, а именно трезвости , это совершенно верно — можно восстановить трезвое пространство из связанного с ним места. Однако простые примеры, такие как недискретное топологическое пространство, показывают, что не все топологические пространства можно выразить с помощью топологий Гротендика. И наоборот, существуют топологии Гротендика, которые не происходят из топологических пространств.

Термин «топология Гротендика» изменил свое значение. У Артина (1962) это означало то, что сейчас называется претопологией Гротендика, и некоторые авторы до сих пор используют это старое значение. Жиро (1964) изменил определение, включив в него сита, а не крышки. В большинстве случаев это не имеет большого значения, поскольку каждая претопология Гротендика определяет уникальную топологию Гротендика, хотя совершенно разные предтопологии могут давать одну и ту же топологию.

Обзор

Андре Вейля Знаменитые гипотезы Вейля предполагали, что некоторые свойства уравнений с целыми коэффициентами следует понимать как геометрические свойства алгебраического многообразия , которое они определяют. Его гипотезы постулировали, что должна существовать теория когомологий алгебраических многообразий, которая дает теоретико-числовую информацию об их определяющих уравнениях. Эта теория когомологий была известна как «когомологии Вейля», но, используя имеющиеся у него инструменты, Вейль не смог ее построить.

В начале 1960-х годов Александр Гротендик ввел этальные отображения в алгебраическую геометрию как алгебраические аналоги локальных аналитических изоморфизмов в аналитической геометрии . Он использовал этальные накрытия, чтобы определить алгебраический аналог фундаментальной группы топологического пространства. Вскоре Жан-Пьер Серр заметил, что некоторые свойства этальных накрытий имитируют свойства открытых погружений и, следовательно, можно создавать конструкции, имитирующие функтор когомологий. $H^{1}$ . Гротендик увидел, что можно использовать идею Серра для определения теории когомологий, которая, как он подозревал, будет когомологиями Вейля. Чтобы определить эту теорию когомологий, Гротендику нужно было заменить обычное топологическое понятие открытого покрытия на такое, которое вместо этого использовало бы этальные покрытия. Гротендик также увидел, как абстрактно сформулировать определение покрытия; отсюда и происходит определение топологии Гротендика.

Определение

Мотивация

Классическое определение пучка начинается с топологического пространства. $X$ . Пучок связывает информацию с открытыми множествами $X$ . Эту информацию можно сформулировать абстрактно, позволив $O(X)$ быть категорией, объекты которой являются открытыми подмножествами $U$ из $X$ и чьи морфизмы являются отображениями включения $V\rightarrow U$ открытых наборов $U$ и $V$ из $X$ . Такие карты мы будем называть открытыми погружениями , как и в контексте схем . Затем предпучок на $X$ является контравариантным функтором из $O(X)$ к категории множеств, а пучок — это предпучок, удовлетворяющий аксиоме склейки (включая аксиому разделения). Аксиома склейки формулируется в терминах точечного покрытия , т. е. $\{U_{i}\}$ обложки $U$ тогда и только тогда, когда $\bigcup _{i}U_{i}=U$ . В этом определении $U_{i}$ является открытым подмножеством $X$ . Топологии Гротендика заменяют каждую $U_{i}$ с целым семейством открытых подмножеств; в этом примере $U_{i}$ заменяется семейством всех открытых погружений $V_{ij}\to U_{i}$ . Такая коллекция называется ситом . Поточечное накрытие заменяется понятием накрывающего семейства ; в приведенном выше примере набор всех $\{V_{ij}\to U_{i}\}_{j}$ как $i$ варьируется, является покрывающим семейством $U$ . Сита и накрывающие семейства могут быть аксиоматизированы, и как только это будет сделано, открытые множества и поточечное накрытие могут быть заменены другими понятиями, описывающими другие свойства пространства. $X$ .

Сита

В топологии Гротендика понятие набора открытых подмножеств U , стабильных относительно включения, заменяется понятием решета . Если c — любой заданный объект в C , решето на c является подфунктором функтора Hom(−, c ); (это вложение Йонеды, примененное к c ). В случае O ( X ) решето S на открытом множестве U выбирает набор открытых подмножеств U , который устойчив при включении. Точнее, учтите, что для любого открытого подмножества в U , S ( V ) будет подмножеством Hom( V , U ), которое имеет только один элемент, открытое погружение V → U. V Тогда V будет считаться «выбранным» S тогда и только тогда, когда S ( V ) непусто. Если W — подмножество V , то существует морфизм S ( V ) → ( W ) , заданный композицией с включением W → V. S Если S ( V ) непусто, отсюда следует, что S ( W ) также непусто.

Если S — решето на X , а f : Y → X — морфизм, то левая композиция с помощью f дает решето на Y называемое обратным образом S , вдоль f , обозначаемое f ^{$^{\ast }$}С. Оно определяется как расслоенное произведение S × _{Hom(−, X )} Hom(−, Y ) вместе с его естественным вложением в Hom(−, Y ). Более конкретно, для каждого Z из C объекта f ^{$^{\ast }$}S ( Z ) знак равно { г : Z → Y | фг $\in$ S ( Z ) } и f ^{$^{\ast }$}S наследует свое действие на морфизмы, будучи подфунктором Hom(−, Y ). В классическом примере возврат набора { V _i } подмножеств U вдоль включения W → U — это набор { V _i ∩W}.

Топология Гротендика

Топология Гротендика J на категории C представляет собой совокупность для каждого объекта c из C отмеченных решет на c , обозначаемых J ( c ) и называемых покрывающими решетами категории c . Этот выбор будет зависеть от определенных аксиом, изложенных ниже. Продолжая предыдущий пример, решето S на открытом множестве U в O ( X ) будет покрывающим решетом тогда и только тогда, когда объединение всех открытых множеств V , для которых S ( V ) непусто, равно U ; другими словами, тогда и только тогда, когда S дает нам набор открытых множеств, покрывающих U в классическом смысле.

Аксиомы

Условия, которые мы налагаем на топологию Гротендика:

(T 1) (Замена базы) Если S — накрывающее решето на X и f : Y → X — морфизм, то обратный образ f ^$\ast$S закрывающее решето на Y. —
(T 2) (Локальный характер) Пусть S накрывающее решето на X , и пусть T — любое решето на X. — Предположим, что для каждого объекта Y из C и каждой стрелки f : Y → X в S ( Y ) обратное решето f ^$\ast$T закрывающее решето на Y. — Тогда T накрывающее решето на X. —
(T 3) (Тождество) Hom(−, X ) является покрывающим решетом на X для любого объекта X из C .

Аксиома замены базы соответствует идее, что если { U _i } покрывает U , то { U _i ∩ V } должно покрывать U ∩ V . Аксиома локального характера соответствует идее, что если { U _i } покрывает U и { V _ij } _{j $\in$ J _i} покрывает U _i для каждого i то набор { V _ij } для всех i и j должен покрывать U. , Наконец, аксиома тождества соответствует идее о том, что любое множество покрывается само собой посредством карты тождества.

Претопологии Гротендика

Фактически, можно представить эти аксиомы в другой форме, где их геометрический характер будет более очевидным, предполагая, что базовая категория C содержит определенные расслоенные произведения. В этом случае вместо указания сит мы можем указать, что определенные наборы карт с общим кодоменом должны покрывать их кодомен. Эти коллекции называются покрывающими семействами . Если совокупность всех покрывающих семейств удовлетворяет определенным аксиомам, то мы говорим, что они образуют предтопологию Гротендика . Эти аксиомы таковы:

(PT 0) (Существование расслоенных произведений) Для всех объектов X из C и для всех морфизмов X ₀ → X , которые появляются в некотором накрывающем семействе X , и для всех морфизмов Y → X расслоенное произведение X ₀ × _X Y существует.
(PT 1) (Устойчивость при замене базы) Для всех объектов X группы C , всех морфизмов Y → X и всех накрывающих семейств { X _α → X } семейство { X _α × _X Y → Y } является накрывающим семейством.
(PT 2) (Локальный характер) Если { X _α → X } — накрывающее семейство, и если для всех α { X _βα → X _α } — накрывающее семейство, то семейство композитов { X _βα → X _α → X } — покрывающее семейство.
(PT 3) (Изоморфизмы) Если f : Y → X — изоморфизм, то { f } — накрывающее семейство.

Для любой предтопологии совокупность всех сит, содержащих покрывающее семейство из предтопологии, всегда является топологией Гротендика.

Для категорий с волокнистыми продуктами происходит обратное. Учитывая набор стрел { X _α → X }, мы строим решето S , позволяя S ( Y ) быть множеством всех морфизмов Y → X , которые факторизуются через некоторую стрелку X _α → X . Это называется решетом, порожденным { X _α → X }. Теперь выберите топологию. Скажем, что { X _α → X } является накрывающим семейством тогда и только тогда, когда порождаемое им решето является накрывающим решетом для данной топологии. Легко проверить, что это определяет предтопологию.

(PT 3) иногда заменяется более слабой аксиомой:

(PT 3') (Тождество) Если 1 _X : X → X — тождественная стрелка, то {1 _X } — накрывающее семейство.

(PT 3) подразумевает (PT 3'), но не наоборот. Однако предположим, что у нас есть набор покрывающих семейств, который удовлетворяет условиям (PT 0)–(PT 2) и (PT 3'), но не удовлетворяет (PT 3). Эти семейства порождают претопологию. Топология, порожденная исходным набором накрывающих семейств, тогда совпадает с топологией, порожденной предтопологией, поскольку решето, порожденное изоморфизмом Y → X, есть Hom(−, X ). Следовательно, если мы ограничимся топологиями, (PT 3) и (PT 3') эквивалентны.

Участки и связки

Пусть C — категория и J топология Гротендика на C. — Пара ( C , J ) называется узлом .

Предпучок категории — это контравариантный функтор из C в категорию всех множеств. Обратите внимание, что для этого определения C не обязательно иметь топологию. Однако пучок на узле должен допускать склеивание, как и пучки в классической топологии. Следовательно, мы определяем пучок на сайте как предпучок F такой, что для всех объектов X и всех накрывающих решет S на X естественное отображение Hom(Hom(−, X ), F ) → Hom( S , F ), индуцированная включением S в Hom(−, X ), является биекцией. На полпути между предпучком и пучком находится понятие отделенного предпучка должно быть только инъекцией, а не биекцией, для всех сит S. , где естественное отображение, указанное выше , Морфизм . предпучков или пучков является естественным преобразованием функторов Категория всех пучков на C — это топос , определяемый узлом ( C , J ).

Используя лемму Йонеды , можно показать, что предпучок в категории O ( X ) является пучком в топологии, определенной выше, тогда и только тогда, когда он является пучком в классическом смысле.

Пучки в предтопологии имеют особенно простое описание: для каждого накрывающего семейства { X _α → X } диаграмма

F(X)\rightarrow \prod _{\alpha \in A}F(X_{\alpha }){{{} \atop \longrightarrow } \atop {\longrightarrow  \atop {}}}\prod _{\alpha ,\beta \in A}F(X_{\alpha }\times _{X}X_{\beta })

должен быть эквалайзер . Для отделенного предпучка первая стрелка должна быть только инъективной.

Аналогично можно определить предпучки и пучки абелевых групп , колец , модулей и т. д. Можно потребовать, чтобы либо предпучок F был контравариантным функтором категории абелевых групп (или колец, или модулей и т. д.), либо чтобы F был объектом абелевой группы (кольца, модуля и т. д.) в категории всех контравариантные функторы из C в категорию множеств. Эти два определения эквивалентны.

Примеры сайтов

Дискретная и недискретная топологии.

Пусть C — любая категория. Чтобы определить дискретную топологию , мы объявляем все сита накрывающими. Если C имеет все расслоенные произведения, это эквивалентно объявлению всех семейств покрывающими. Чтобы определить недискретную топологию , также известную как грубая или хаотическая топология, ^[1] только решета вида Hom(−, X ) мы объявляем накрывающими решетами. Индискретная топология порождается предтопологией, имеющей только изоморфизмы для покрывающих семейств. Пучок на недискретном сайте — это то же самое, что предпучок.

Каноническая топология

Пусть C — любая категория. Вложение Йонеды дает функтор Hom(−, X ) для каждого объекта X из C . Каноническая топология — это самая большая (наилучшая) топология, такая, что каждый представимый предпучок, т. е. предпучок формы Hom(−, X ), является пучком. Накрывающее решето или накрывающее семейство для этого узла называется строго универсально эпиморфным , поскольку оно состоит из ножек копредельного конуса (при полной диаграмме областей определения составляющих его морфизмов) и эти копределы устойчивы относительно обратных образов вдоль морфизмов в C. . Топология, менее тонкая, чем каноническая, т. е. для которой каждое накрывающее решето строго универсально эпиморфно, называется субканонической . Субканонические сайты — это именно сайты, для которых каждый предпучок вида Hom(−, X ) является пучком. Большинство сайтов, встречающихся на практике, являются субканоническими.

Небольшой сайт, связанный с топологическим пространством

Повторим пример, с которого начали выше. Пусть X — топологическое пространство. Мы определили O ( X ) как категорию, объекты которой являются открытыми множествами X и чьи морфизмы являются включениями открытых множеств. что для открытого множества U и решета S на U множество S ( V ) содержит либо ноль, либо один элемент для каждого открытого множества V. Обратите внимание , Накрывающими решетами на объекте U из O ( X ) являются те решета S, которые удовлетворяют следующему условию:

Если W — объединение всех множеств V таких, что ( V ) непусто, то W = U. S

Это понятие покрытия соответствует обычному понятию топологии множества точек.

Эту топологию естественно также можно выразить как предтопологию. Будем говорить, что семейство включений { V _α $\subseteq$ U } является накрывающим семейством тогда и только тогда, когда объединение $\cup$ V _α равен U . Этот узел называется связанным с топологическим пространством X. малым узлом ,

Большой сайт, связанный с топологическим пространством

Пусть Spc — категория всех топологических пространств. Для любого семейства функций { u _α : V _α → X } мы говорим, что это сюръективное семейство или что морфизмы u _α , совместно сюръективны если $\cup$ ты _α ( V _α ) равно X . Мы определяем претопологию на Spc, считая покрывающие семейства сюръективными семействами, все члены которых являются открытыми погружениями. Пусть S — решето на Spc . S является покрывающим решетом для этой топологии тогда и только тогда, когда:

Для всех Y и каждого морфизма f : Y → X в S ( Y ) существуют V и g : V → X такие, что g является открытым погружением, g находится в S ( V ), а f пропускается через g .
Если W — объединение всех множеств f ( Y ), где : Y → X находится в S ( Y ), то W = X. f

топологическое пространство X. Зафиксируйте Рассмотрим запятую категорию Spc/X топологических пространств с фиксированным непрерывным отображением в X . Топология на Spc индуцирует топологию на Spc/X . Покрывающие сита и покрывающие семейства почти одинаковы; единственное отличие состоит в том, что теперь все задействованные карты коммутируют с фиксированными отображениями в X . Это связанный с топологическим пространством X. большой сайт , Обратите внимание, что Spc — это большой сайт, связанный с одноточечным пространством. Этот сайт впервые был рассмотрен Жаном Жиро .

Большие и малые участки многообразия

Пусть М — многообразие . M имеет категорию открытых множеств O ( M ), поскольку это топологическое пространство, и оно имеет топологию, как в приведенном выше примере. Для двух открытых множеств U и V из M расслоенное произведение U × _M V — это открытое множество U ∩ V , которое все еще находится в O ( M ). Это означает, что топология на O ( M ) определяется претопологией, той же претопологией, что и раньше.

Пусть Mfd — категория всех многообразий и непрерывных отображений. (Или гладкие многообразия и гладкие отображения, или действительные аналитические многообразия и аналитические отображения и т. д.) Mfd — подкатегория Spc , а открытые погружения непрерывны (или гладкие, или аналитические и т. д.), поэтому Mfd наследует топологию от Spc . Это позволяет нам построить большой сайт многообразия M как сайт Mfd/M . Мы также можем определить эту топологию, используя ту же предтопологию, которую мы использовали выше. Обратите внимание: чтобы удовлетворить (PT 0), нам нужно проверить, что для любого непрерывного отображения многообразий X → Y и любого открытого подмножества U в Y расслоенное произведение U × _Y X находится в Mfd/M . Это и есть утверждение о том, что прообраз открытого множества открыт. Однако обратите внимание, что не все расслоенные произведения существуют в Mfd, поскольку прообраз гладкого отображения критического значения не обязательно должен быть многообразием.

Топологии по категории схем

Категория схем , обозначаемая Sch , имеет огромное количество полезных топологий. Для полного понимания некоторых вопросов может потребоваться изучение схемы, использующей несколько различных топологий. Все эти топологии связаны с малыми и большими сайтами. Большой сайт формируется путем взятия всей категории схем и их морфизмов вместе с покрывающими решетами, заданными топологией. Небольшой сайт по данной схеме формируется путем взятия только тех объектов и морфизмов, которые входят в оболочку данной схемы.

Наиболее элементарной из них является топология Зарисского . Пусть X — схема. X имеет основное топологическое пространство, и это топологическое пространство определяет топологию Гротендика. Топология Зариского на Sch порождается предтопологией, накрывающими семействами которой являются совместно сюръективные семейства теоретико-схемных открытых погружений. Закрывающие сита S для Зара характеризуются следующими двумя свойствами:

Для всех Y и каждого морфизма f : Y → X в S ( Y ) существуют V и g : V → X такие, что g является открытым погружением, g находится в S ( V ), а f пропускается через g .
Если W — объединение всех множеств f ( Y ), где : Y → X находится в S ( Y ), то W = X. f

Несмотря на внешнее сходство, топология на Zar является не ограничением топологии на Spc ! Это связано с тем, что существуют морфизмы схем, которые являются топологически открытыми погружениями, но не являются теоретико-схемными открытыми погружениями. Например, пусть A — нередуцированное кольцо , а N — его идеал нильпотентов. Фактор-отображение A → A/N индуцирует отображение Spec A/N → Spec A , которое является тождественным на основных топологических пространствах. Чтобы быть теоретико-схемным открытым погружением, оно должно также индуцировать изоморфизм на структурных пучках, чего это отображение не делает. По сути, эта карта представляет собой закрытое погружение.

Этальная топология тоньше топологии Зарисского. Это была первая топология Гротендика, которая подверглась тщательному изучению. Его покрывающие семейства являются совместно сюръективными семействами этальных морфизмов. Она тоньше топологии Нисневича , но не тоньше и не грубее топологий cdh и l'.

Существует две плоские топологии : топология fppf и топология fpqc . fppf означает fidèlement Plate de Presentation Finie , и в этой топологии морфизм аффинных схем является накрывающим морфизмом, если он точно плоский, конечного представления и квазиконечен. fpqc означает fidèlementplate et quasi-compacte , и в этой топологии морфизм аффинных схем является накрывающим морфизмом, если он строго плоский. В обеих категориях накрывающее семейство определяется как семейство, которое является покрытием на открытых подмножествах Зарисского. ^[2] В топологии fpqc любой строго плоский и квазикомпактный морфизм является покрытием. ^[3] Эти топологии тесно связаны со спуском . Топология fpqc тоньше всех упомянутых выше топологий и очень близка к канонической топологии.

Гротендик ввел кристаллические когомологии для изучения p -торсионной части когомологий характеристических p- разновидностей. В кристаллической топологии , которая является основой этой теории, базовая категория имеет объекты, заданные бесконечно малыми утолщениями вместе с разделенными энергетическими структурами . Кристаллические сайты — это примеры сайтов, не имеющих конечного объекта.

Непрерывные и конепрерывные функторы

Между сайтами существуют два естественных типа функторов. Они задаются функторами, в определенном смысле совместимыми с топологией.

Непрерывные функторы

Если ( C , J ) и ( D , K ) являются узлами и u : C → D является функтором, то u непрерывен , если для каждого пучка F на D относительно топологии K предпучок Fu является пучком относительно к топологии J . Непрерывные функторы вызывают функторы между соответствующими топосами, отправляя пучок F в Fu . Эти функторы называются pushforward . Если ${\tilde {C}}$ и ${\tilde {D}}$ обозначают топосы, связанные с C и D , тогда функтор прямого продвижения равен $u_{s}:{\tilde {D}}\to {\tilde {C}}$ .

u _s допускает левосопряженный u ^с называется откатом . ты ^с не обязательно сохранять пределы, даже конечные.

Точно так же u отправляет решето объекта X из C в решето объекта uX из D . Непрерывный функтор переводит покрывающие сита в покрывающие. Если J — топология, определенная предтопологией, и если u коммутирует с расслоенными произведениями, то u непрерывна тогда и только тогда, когда она переводит покрывающие решета в покрывающие решета и тогда и только тогда, когда она переводит покрывающие семейства в покрывающие семейства. В общем случае недостаточно пересылать закрывающие сита в закрывающие сита (см. SGA IV 3, пример 1.9.3).

Конепрерывные функторы

Опять же, пусть ( C , J ) и ( D , K ) — узлы, а v : C → D — функтор. Если X является объектом C и R является решетом на vX , то R можно вернуть обратно в решето S следующим образом: Морфизм f : Z → X находится в S тогда и только тогда, когда v ( f ) : vZ → vX в Р. находится Это определяет сито. v является конепрерывным тогда и только тогда, когда для каждого объекта из C и каждого покрывающего решета R из vX обратный образ S из R является покрывающим решетом на X. X

Композиция с v отправляет предпучок F на D в предпучок Fv на C , но если v конепрерывен, это не обязательно должно отправлять пучки в пучки. Однако этот функтор на категориях предпучков обычно обозначается ${\hat {v}}^{*}$ , допускает право сопряженное ${\hat {v}}_{*}$ . Тогда v конепрерывна тогда и только тогда, когда ${\hat {v}}_{*}$ отправляет пучки в пучки, то есть тогда и только тогда, когда он ограничивается функтором $v_{*}:{\tilde {C}}\to {\tilde {D}}$ . В этом случае композиция из ${\hat {v}}^{*}$ с соответствующим пучковым функтором является левым сопряженным к v _*, обозначаемым v ^*. Кроме того, в. ^* сохраняет конечные пределы, поэтому сопряженные функторы v _* и v ^* определить геометрический морфизм топосов ${\tilde {C}}\to {\tilde {D}}$ .

Морфизмы сайтов

Непрерывный функтор u : C → D является морфизмом узлов D → C ( не C → D ), если u ^с сохраняет конечные пределы. В этом случае вы ^с и u _s определяют геометрический морфизм топосов ${\tilde {C}}\to {\tilde {D}}$ . Причина, по которой принято считать, что непрерывный функтор C → D определяет морфизм узлов в противоположном направлении, заключается в том, что это согласуется с интуицией, исходящей из случая топологических пространств. Непрерывное отображение топологических пространств X → Y определяет непрерывный функтор O ( Y ) → O ( X ). Поскольку говорят, что исходное отображение топологических пространств отправляет X в Y , то же самое говорят и о морфизме сайтов.

Частный случай имеет место, когда непрерывный функтор допускает левый сопряженный. Предположим, что u : C → D и v : D → C — функторы, причем u правосопряжен с v . Тогда u непрерывна тогда и только тогда, когда v конепрерывна, и когда это происходит, u ^с естественно изоморфен v ^* и u _s естественно изоморфен v _* . В частности, u — морфизм узлов.

См. также

Примечания

^ СГА IV, II 1.1.4.
^ СГА III ₁ , IV 6.3.
^ SGA III ₁ , IV 6.3, Предложение 6.3.1 (v).

Ссылки

Артин, Майкл (1962). Топологии Гротендика. Заметки о семинаре весной 1962 года . Департамент математики Гарвардского университета. OCLC 680377057 . Збл 0208.48701 .
Демазюр, Мишель ; Гротендик, Александр , ред. (1970). Семинар Буа Мари по алгебраической геометрии - 1962–64 - Групповые диаграммы - (SGA 3) том. 1 . Конспекты лекций по математике (на французском языке). Полет. 151. Спрингер . стр. хв+564. Збл 0212.52810 .
Артин, Майкл (1972). Александр Гротендик ; Жан-Луи Вердье (ред.). Семинар Буа Мари по алгебраической геометрии - 1963–64 - Теория топосов и плоских когомологий схем - (SGA 4) vol. 1 . Конспекты лекций по математике (на французском языке). Полет. 269. Спрингер . XIX+525. дои : 10.1007/BFb0081551 . ISBN 978-3-540-37549-4 .
Жиро, Жан (1964), «Анализ места», Семинар Бурбаки, 1962/63. Фаск. 3 , Париж: Математический секретариат, MR 0193122.
Шац, Стивен С. (1972). Проконечные группы, арифметика и геометрия . Анналы математических исследований. Том. 67. Издательство Принстонского университета . ISBN 0-691-08017-8 . МР 0347778 . Збл 0236.12002 .
Нисневич, Евсей А. (2012) [1989]. «Полностью разложенная топология на схемах и связанные с ней спектральные последовательности спуска в алгебраической K-теории» . В Жардине, JF; Снейт, вице-президент (ред.). Алгебраическая К-теория: связь с геометрией и топологией. Труды Института перспективных исследований НАТО, проходившие в Лейк-Луизе, Альберта, 7–11 декабря 1987 г. Институты передовых научных исследований НАТО, серия C: Математические и физические науки. Том. 279. Спрингер. стр. 241–342. дои : 10.1007/978-94-009-2399-7_11 . ISBN 978-94-009-2399-7 . Збл 0715.14009 .

Внешние ссылки

[1] СГА IV, II 1.1.4.

[2] СГА III ₁ , IV 6.3.

[3] SGA III ₁ , IV 6.3, Предложение 6.3.1 (v).

[1]

[2]

[3]