Эквалайзер (математика)

В математике эквалайзер функции — это набор аргументов, в котором две или более имеют равные значения . Эквалайзер — это решений уравнения . набор В определенных контекстах разностное ядро ​​является эквалайзером ровно двух функций.

Определения

Пусть X и Y — множества . Пусть f и g — функции обе от X до Y. , Тогда эквалайзер f f и g это набор элементов x из X таких, что ( x ) равно g ( x ) в Y. — Символически:

$\operatorname {Eq} (f,g):=\{x\in X\mid f(x)=g(x)\}.$

Эквалайзер может обозначаться Eq( f , g ) или вариацией на эту тему (например, строчными буквами «eq»). обозначение { f = g В неформальном контексте обычно используется }.

В приведенном выше определении использовались две функции f и g , но нет необходимости ограничиваться только двумя функциями или даже конечным числом функций. В общем, если F — это набор функций от X до Y , то эквалайзер элементов F — это набор элементов x из X , таких что, учитывая любые два элемента f и g из F , f ( x ) равно g ( х ) в Y . Символически:

$\operatorname {Eq} ({\mathcal {F}}):=\{x\in X\mid \forall f,g\in {\mathcal {F}},\;f(x)=g(x)\}.$

Этот эквалайзер можно записать как Eq( f , g , h , ...), если ${\mathcal {F}}$это набор { f , g , h , ...}. В последнем случае можно также встретить { f = g = h = ···} в неформальном контексте.

В качестве вырожденного случая общего определения пусть F будет одноэлементным { f }. Поскольку f ( x ) всегда равна самой себе, эквалайзер должен быть всей X. областью В качестве еще более вырожденного случая пусть F — пустое множество . Тогда эквалайзером снова является вся область X , поскольку квантификация универсальности в определении бессмысленна .

Разностные ядра

Бинарный эквалайзер (то есть эквалайзер всего двух функций) также называется разностным ядром . Это также может быть обозначено DiffKer( f , g ), Ker( f , g ) или Ker( f - g ). Последнее обозначение показывает, откуда взялась эта терминология и почему она наиболее распространена в контексте абстрактной алгебры : разностное ядро ​​f и g — это просто ядро ​​разности f − g . Кроме того, ядро ​​одиночной функции f можно реконструировать как разностное ядро ​​Eq( f , 0), где 0 — постоянная функция с нулевым значением .

Конечно, все это предполагает алгебраический контекст, где ядром функции является прообраз нуля под этой функцией; это не так во всех ситуациях. Однако терминология «разностное ядро» другого значения не имеет.

В теории категорий

Эквалайзеры могут быть определены универсальным свойством , которое позволяет обобщить это понятие от категории множеств до произвольных категорий .

В общем контексте X и Y являются объектами, а f и g морфизмами X в Y. — Эти объекты и морфизмы образуют диаграмму в рассматриваемой категории, а эквалайзер — это просто предел этой диаграммы.

Говоря более явно, эквалайзер состоит из объекта E и морфизма eq : E → X , удовлетворяющего $f\circ eq=g\circ eq$, и такой, что для любого объекта O и морфизма m : O → X , если $f\circ m=g\circ m$, то существует единственный морфизм u : O → E такой, что $eq\circ u=m$.

Морфизм $m:O\rightarrow X$ говорят, что уравнивает $f$ и $g$ если $f\circ m=g\circ m$.

В любой универсальной алгебраической категории, включая категории, в которых используются разностные ядра, а также саму категорию множеств, объект E всегда можно принять за обычное понятие эквалайзера, а морфизм eq в этом случае можно принять за — включения E ​ как подмножества X . функция

Обобщить это на более чем два морфизма несложно; просто используйте большую диаграмму с большим количеством морфизмов. Вырожденный случай только одного морфизма также прост; тогда eq может быть изоморфизмом объекта E в X. любым

Правильная диаграмма для вырожденного случая без морфизмов немного тонка: можно изначально нарисовать диаграмму состоящей из объектов X и Y и без морфизмов. Однако это неверно, поскольку пределом такой диаграммы является и Y произведение X , а не эквалайзер. (И действительно, продукты и эквалайзеры — это разные понятия: теоретико-множественное определение продукта не согласуется с теоретико-множественным определением эквалайзера, упомянутым выше, следовательно, они на самом деле различны.) Вместо этого подходящим пониманием является то, что каждая диаграмма эквалайзера фундаментально касается X , включая Y только потому, что Y является кодовой областью морфизмов, которые появляются на диаграмме. С этой точки зрения мы видим, что если нет никаких морфизмов, Y не появляется, и диаграмма эквалайзера состоит из X. только Тогда пределом этой диаграммы является любой изоморфизм между E и X .

Можно доказать, что любой эквалайзер в любой категории является мономорфизмом . Если в данной категории верно обратное , то эта категория называется регулярной (в смысле мономорфизмов). В более общем смысле, регулярный мономорфизм в любой категории — это любой морфизм m , который является эквалайзером некоторого набора морфизмов. Некоторые авторы более строго требуют, чтобы m было бинарным эквалайзером, то есть эквалайзером ровно двух морфизмов. Однако если рассматриваемая категория является полной , то оба определения согласуются.

Понятие разностного ядра также имеет смысл в теоретико-категорном контексте. Терминология «разностное ядро» распространена в теории категорий для любого двоичного эквалайзера. В случае преаддитивной категории (категории , обогащенной категорией абелевых групп ) термин «разностное ядро» можно интерпретировать буквально, поскольку вычитание морфизмов имеет смысл. То есть Eq( f , g ) = Ker( f - g ), где Ker обозначает теоретико-категорное ядро .

Любая категория с волокнистыми изделиями (откатами) и изделиями имеет уравнители.

См. также

• Коэквалайзер — двойственное понятие, полученное перестановкой стрелок в определении эквалайзера.
• Теория совпадений , топологический подход к эквалайзерным множествам в топологических пространствах .
• Pullback — специальный предел , который можно составить из эквалайзеров и произведений.

Ссылки

• Эквалайзер в n Lab

Внешние ссылки

• Интерактивная веб-страница , генерирующая примеры эквалайзеров в категории конечных множеств. Автор Джоселин Пейн .