Синглтон (математика)

Чтобы узнать о последовательности с одним членом, см. 1-tuple .

В математике синглтон . , также известный как единичный набор или одноточечное множество — это множество , состоящее ровно из одного элемента . Например, набор $\{0\}$ является синглтоном, единственным элементом которого является $0$.

Свойства

В рамках теории множеств Цермело–Френкеля аксиома регулярности гарантирует, что ни одно множество не является элементом самого себя. Это означает, что синглтон обязательно отличается от содержащегося в нем элемента. таким образом 1 и $\{1\}$ не одно и то же, и пустой набор отличается от набора, содержащего только пустой набор. Такой набор, как $\{\{1,2,3\}\}$ является синглтоном, поскольку содержит один элемент (который сам по себе является набором, но не синглтоном).

Множество является одноэлементным тогда и только тогда, когда его мощность равна 1 . В теоретико-множественной конструкции натуральных чисел фон Неймана число 1 определяется как одноэлементное число. $\{0\}.$

В аксиоматической теории множеств существование одиночных элементов является следствием аксиомы спаривания : для любого множества A аксиома, примененная к A и A, утверждает существование $\{A,A\},$ это то же самое, что и синглтон $\{A\}$ (поскольку он содержит A и никакой другой набор в качестве элемента).

Если A — любое множество, а S любой одноэлементный элемент, то существует ровно одна функция от A до S , функция, отправляющая каждый элемент A в единственный элемент S. — Таким образом, каждый синглтон является конечным объектом в категории множеств .

Синглтон обладает тем свойством, что каждая функция из него в любом произвольном множестве инъективна. Единственным неодноэлементным набором с этим свойством является пустой набор .

Каждый одноэлементный набор представляет собой ультрапрефильтр . Если $X$ представляет собой набор и $x\in X$ затем вверх $\{x\}$ в $X,$ какой набор $\{S\subseteq X:x\in S\},$ является основным ультрафильтром на $X.$ Более того, каждый главный ультрафильтр на $X$ обязательно имеет эту форму. Из леммы об ультрафильтре следует, что неглавные ультрафильтры существуют на каждом бесконечном множестве (они называются свободными ультрафильтрами ). Каждая сеть оценивается в одноэлементном подмножестве $X$ это ультрасеть в $X.$

Целочисленная последовательность чисел Белла подсчитывает количество разделов набора ( OEIS : A000110 ), если исключаются одиночные элементы, то числа становятся меньше ( OEIS : A000296 ).

В теории категорий

Структуры, построенные на синглтонах, часто служат терминальными объектами или нулевыми объектами различных категорий :

• Приведенное выше утверждение показывает, что одноэлементные множества являются в точности конечными объектами в категории Set of Sets . Никакие другие множества не являются терминальными.
• Любой синглтон допускает уникальную структуру топологического пространства (оба подмножества открыты). Эти одноэлементные топологические пространства являются терминальными объектами в категории топологических пространств и непрерывных функций . Никакие другие пространства не являются терминальными в этой категории.
• Любой синглтон допускает уникальную групповую структуру (уникальный элемент служит идентификационным элементом ). Эти одноэлементные группы являются нулевыми объектами в категории групп и гомоморфизмов групп . Никакие другие группы не являются терминальными в этой категории.

Определение по функциям индикатора

Пусть S — класс , определяемый индикаторной функцией

$$b:X\to \{0,1\}.$$

Тогда S называется одноэлементным тогда и только тогда, когда существует некоторый $y\in X$ такой, что для всех $x\in X,$

$$b(x)=(x=y).$$

Определение в Principia Mathematica

Следующее определение было введено Уайтхедом и Расселом.

$\iota$‘ $x={\hat {y}}(y=x)$ Дф.

Символ $\iota$‘ $x$ обозначает синглтон $\{x\}$ и ${\hat {y}}(y=x)$ обозначает класс объектов, тождественных с $x$ он же $\{y:y=x\}$. Это встречается как определение во введении, которое местами упрощает аргументацию в основном тексте, где оно встречается как предложение 51.01 (стр. 357 там же).Это предложение впоследствии используется для определения кардинального числа 1 как

$1={\hat {\alpha }}((\exists x)\alpha =\iota$‘ $x)$ Дф.

То есть 1 — это класс синглтонов. Это определение 52.01 (стр.363 там же).

См. также

• Класс (теория множеств) - совокупность математических множеств, которые можно определить на основе свойств их членов.
• Изолированная точка - точка подмножества S, вокруг которой нет других точек из S.
• Количественная оценка уникальности - логическое свойство быть единственным объектом, удовлетворяющим условию.
• Uelement - Понятие в теории множеств

Ссылки

• Долецкий, Шимон ; Минард, Фредерик (2016). Основы конвергенции топологии . Нью-Джерси: Всемирная научная издательская компания. ISBN  978-981-4571-52-4 . OCLC   945169917 .