Чистая (математика)

Эта статья о сетях в топологических пространствах. Чтобы узнать о развертках многогранников, см. Сеть (многогранник) .

В математике , точнее в общей топологии и связанных с ней отраслях, сеть или последовательность Мура-Смита представляет собой функцию , областью определения которой является направленное множество . Кодоменой топологическое этой функции обычно является некоторое пространство . Сети непосредственно обобщают понятие последовательности в метрическом пространстве . Сети в основном используются в областях анализа и топологии , где они используются для характеристики многих важных топологических свойств , которые (в общем) последовательности не могут охарактеризовать (этот недостаток последовательностей мотивировал изучение секвенциальных пространств и пространств Фреше-Урысона ). . Сети находятся во взаимно однозначном соответствии с фильтрами .

История

Понятие сети было впервые введено Э. Х. Муром и Германом Л. Смитом в 1922 году. Термин «сеть» был придуман Джоном Л. Келли .

Соответствующая концепция фильтра была разработана в 1937 году Анри Картаном .

Определения

– Ориентированное множество это непустое множество. $A$ вместе с предзаказом , который обычно автоматически обозначается как $\,\leq \,$ (если не указано иное), с тем свойством, что оно также ( вверх ) направлено , что означает, что для любого $a,b\in A,$ существует какой-то $c\in A$ такой, что $a\leq c$ и $b\leq c.$ На словах это свойство означает, что для любых двух элементов (из $A$), всегда существует некоторый элемент, который «выше» их обоих (больше или равен каждому); таким образом, направленные множества математически строго обобщают понятие «направление». Однако важно отметить, что направленные множества не обязательно должны быть полными или даже частичными порядками . Направленное множество может иметь наибольшие элементы и/или максимальные элементы . В этом случае условия $a\leq c$ и $b\leq c$ нельзя заменить строгими неравенствами $a<c$ и $b<c$, поскольку строгие неравенства не могут выполняться, если a или b максимальны.

Сеть в $X$, обозначенный $x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}$, является функцией вида $x_{\bullet }:A\to X$ чей домен $A$ представляет собой некоторое направленное множество, значения которого равны $x_{\bullet }(a)=x_{a}$. Элементы домена сети называются ее индексами . Когда набор $X$ из контекста ясно, что ее называют просто сетью , и предполагается, что $A$ это направленный набор с предзаказом $\,\leq .$ Обозначения цепей различаются, например, с использованием угловых скобок. $\left\langle x_{a}\right\rangle _{a\in A}$. Как это обычно бывает в обозначениях алгебраической топологии , вместо входной переменной или индекса стоит заполненный диск или «пуля». $a\in A$.

Пределы сетей

сеть $x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}$ говорят, что он находится в конце концов или по остаточному принципу в наборе $S$ если существует какой-то $a\in A$ такой, что для каждого $b\in A$ с $b\geq a,$ суть $x_{b}\in S.$ точка $x\in X$ называется предельная точка или лимит сети $x_{\bullet }$ в $X$ в любое время:

для каждого открытого района $U$ из $x,$ сеть $x_{\bullet }$ в конечном итоге находится в $U$,

эквивалентно: чистая сходится к/к $x$ или имеет $x$ как предел ; и по-разному обозначается как: $${\begin{alignedat}{4}&x_{\bullet }&&\to \;&&x&&\;\;{\text{ in }}X\\&x_{a}&&\to \;&&x&&\;\;{\text{ in }}X\\\lim \;&x_{\bullet }&&\to \;&&x&&\;\;{\text{ in }}X\\\lim _{a\in A}\;&x_{a}&&\to \;&&x&&\;\;{\text{ in }}X\\\lim _{a}\;&x_{a}&&\to \;&&x&&\;\;{\text{ in }}X.\end{alignedat}}$$Если $X$ ясно из контекста, его можно опустить в обозначениях.

Если $\lim x_{\bullet }\to x$ и этот предел уникален (т.е. $\lim x_{\bullet }\to y$ только для $x=y$) тогда пишут: $$\lim x_{\bullet }=x\;~~{\text{ or }}~~\;\lim x_{a}=x\;~~{\text{ or }}~~\;\lim _{a\in A}x_{a}=x$$используя знак равенства вместо стрелки $\to .$ В хаусдорфовом пространстве каждая сеть имеет не более одного предела, а предел сходящейся сети всегда уникален. Некоторые авторы не различают обозначения $\lim x_{\bullet }=x$ и $\lim x_{\bullet }\to x$, но это может привести к неоднозначностям, если окружающее пространство $X$ это не Хаусдорф.

Точки кластеризации сетей

сеть $x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}$ Говорят, что это часто или окончательно в $S$ если для каждого $a\in A$ существует какой-то $b\in A$ такой, что $b\geq a$ и $x_{b}\in S.$ точка $x\in X$ Говорят, что это точка накопления или точка кластера сети, если для каждой окрестности $U$ из $x,$ сеть часто/наконец-то находится в $U.$ Фактически, $x\in X$ является точкой кластера тогда и только тогда, когда у нее есть подмножество, сходящееся к $x.$ Набор ${\textstyle \operatorname {cl} _{X}\left(x_{\bullet }\right)}$ всех точек кластера $x_{\bullet }$ в $X$ равно ${\textstyle \operatorname {cl} _{X}\left(x_{\geq a}\right)}$ для каждого $a\in A$, где $x_{\geq a}:=\left\{x_{b}:b\geq a,b\in A\right\}$.

Подсети

Основная статья: Подсеть (математика)

См. также: Фильтры в топологии § Подсети.

Аналогом «подпоследовательности» для сетей является понятие «подсети». Существует несколько различных неэквивалентных определений «подсети», и в этой статье будет использоваться определение, введенное в 1970 году Стивеном Уиллардом . что заключается в следующем: Если $x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}$ и $s_{\bullet }=\left(s_{i}\right)_{i\in I}$ тогда это сети $s_{\bullet }$ называется подсетью или Подсеть Willard из $x_{\bullet }$ если существует сохраняющее порядок отображение $h:I\to A$ такой, что $h(I)$ является конфинальным подмножеством $A$ и $$s_{i}=x_{h(i)}\quad {\text{ for all }}i\in I.$$ Карта $h:I\to A$ называется сохраняющим порядок и гомоморфизмом порядка, если всякий раз, когда $i\leq j$ затем $h(i)\leq h(j).$ Набор $h(I)$ быть заключительным в $A$ означает, что для каждого $a\in A,$ существует какой-то $b\in h(I)$ такой, что $b\geq a.$

Если $x\in X$ является точкой кластера некоторой подсети $x_{\bullet }$ затем $x$ также является точкой кластера $x_{\bullet }.$

Ультрасети

сеть $x_{\bullet }$ в комплекте $X$ называется универсальная сеть или ультранет, если для каждого подмножества $S\subseteq X,$ $x_{\bullet }$ в конечном итоге находится в $S$ или $x_{\bullet }$ в конечном итоге находится в дополнении $X\setminus S.$

Каждая константная сеть является (тривиальной) ультрасетью. Каждая подсеть ультрасети является ультрасетью. Предполагая аксиому выбора , каждая сеть имеет некоторую подсеть, которая является ультрасетью, но ни одна нетривиальная ультрасеть никогда не строилась явно. Если $x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}$ это ультранет в $X$ и $f:X\to Y$ это функция, тогда $f\circ x_{\bullet }=\left(f\left(x_{a}\right)\right)_{a\in A}$ это ультранет в $Y.$

Данный $x\in X,$ кластеры ультрасети в $x$ тогда и только тогда, когда оно сходится к $x.$

Сети Коши

Сеть Коши обобщает понятие последовательности Коши на сети, определенные в равномерных пространствах .

сеть $x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}$ это Сетка Коши, если для любого окружения $V$ существует $c\in A$ такой, что для всех $a,b\geq c,$ $\left(x_{a},x_{b}\right)$ является членом $V.$ В более общем смысле, в пространстве Коши сеть $x_{\bullet }$ является Коши, если фильтр, сгенерированный сетью, является фильтром Коши .

Топологическое векторное пространство (ТВП) называется полным, если каждая сеть Коши сходится к некоторой точке. Нормированное пространство , которое является особым типом топологического векторного пространства, является полным TVS (эквивалентно банаховым пространством ) тогда и только тогда, когда каждая последовательность Коши сходится к некоторой точке (свойство, которое называется секвенциальной полнотой ). Хотя сети Коши не нужны для описания полноты нормированных пространств, они необходимы для описания полноты более общих (возможно, ненормируемых ) топологических векторных пространств.

Характеристики топологических свойств

Практически все понятия топологии можно перефразировать на языке сетей и пределов. Это может быть полезно для интуиции, поскольку понятие предела сети очень похоже на понятие предела последовательности . Следующий набор теорем и лемм помогает закрепить это сходство:

Закрытые множества и замыкание

Подмножество $S\subseteq X$ закрыт в $X$ тогда и только тогда, когда каждая предельная точка в $X$ сети в $S$ обязательно лежит в $S$.В явном виде это означает, что если $s_{\bullet }=\left(s_{a}\right)_{a\in A}$ представляет собой сеть с $s_{a}\in S$ для всех $a\in A$, и $\lim {}_{}s_{\bullet }\to x$ в $X,$ затем $x\in S.$

В более общем смысле, если $S\subseteq X$ любое подмножество замыкание , $S$ это набор точек $x\in X$ с $\lim _{a\in A}s_{\bullet }\to x$ для какой-то сети $\left(s_{a}\right)_{a\in A}$ в $S$.

Открытые множества и характеристики топологий

Смотрите также: Характеристики категории топологических пространств § Характеризация сходящейся сети

Подмножество $S\subseteq X$ открыт тогда и только тогда, когда в $X\setminus S$ сходится к точке $S.$ Кроме того, подмножество $S\subseteq X$ открыта тогда и только тогда, когда каждая сеть, сходящаяся к элементу $S$ в конечном итоге содержится в $S.$ Именно эти характеристики «открытого подмножества» позволяют сетям характеризовать топологии . Топологии также могут характеризоваться закрытыми подмножествами, поскольку множество открыто тогда и только тогда, когда его дополнение закрыто. Таким образом, характеристики «замкнутого множества» в терминах сетей также можно использовать для характеристики топологий.

Непрерывность

Функция $f:X\to Y$ между топологическими пространствами непрерывен в точке $x$ тогда и только тогда, когда для каждой сети $x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}$ в домене, $\lim _{}x_{\bullet }\to x$ в $X$ подразумевает $\lim {}f\left(x_{\bullet }\right)\to f(x)$ в $Y.$ Кратко, функция $f:X\to Y$ непрерывно тогда и только тогда, когда $x_{\bullet }\to x$ в $X$ подразумевает $f\left(x_{\bullet }\right)\to f(x)$ в $Y.$ В общем, это утверждение не было бы верным, если бы слово «сеть» было заменено словом «последовательность»; то есть необходимо учитывать направленные множества, отличные от натуральных чисел, если $X$ не является пространством с первым счетом (или не секвенциальным пространством ).

show Доказательство

($\implies$) Let $f$ be continuous at point $x,$ and let $x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}$ be a net such that $\lim _{}x_{\bullet }\to x.$Then for every open neighborhood $U$ of $f(x),$ its preimage under $f,$ $V:=f^{-1}(U),$ is a neighborhood of $x$ (by the continuity of $f$ at $x$).Thus the interior of $V,$ which is denoted by $\operatorname {int} V,$ is an open neighborhood of $x,$ and consequently $x_{\bullet }$ is eventually in $\operatorname {int} V.$ Therefore $\left(f\left(x_{a}\right)\right)_{a\in A}$ is eventually in $f(\operatorname {int} V)$ and thus also eventually in $f(V)$ which is a subset of $U.$ Thus $\lim _{}\left(f\left(x_{a}\right)\right)_{a\in A}\to f(x),$ and this direction is proven. ($\Longleftarrow$) Let $x$ be a point such that for every net $x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}$ such that $\lim _{}x_{\bullet }\to x,$ $\lim _{}\left(f\left(x_{a}\right)\right)_{a\in A}\to f(x).$ Now suppose that $f$ is not continuous at $x.$Then there is a neighborhood $U$ of $f(x)$ whose preimage under $f,$ $V,$ is not a neighborhood of $x.$ Because $f(x)\in U,$ necessarily $x\in V.$ Now the set of open neighborhoods of $x$ with the containment preorder is a directed set (since the intersection of every two such neighborhoods is an open neighborhood of $x$ as well). We construct a net $x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}$ such that for every open neighborhood of $x$ whose index is $a,$ $x_{a}$ is a point in this neighborhood that is not in $V$; that there is always such a point follows from the fact that no open neighborhood of $x$ is included in $V$ (because by assumption, $V$ is not a neighborhood of $x$).It follows that $f\left(x_{a}\right)$ is not in $U.$ Now, for every open neighborhood $W$ of $x,$ this neighborhood is a member of the directed set whose index we denote $a_{0}.$ For every $b\geq a_{0},$ the member of the directed set whose index is $b$ is contained within $W$; therefore $x_{b}\in W.$ Thus $\lim _{}x_{\bullet }\to x.$ and by our assumption $\lim _{}\left(f\left(x_{a}\right)\right)_{a\in A}\to f(x).$But $\operatorname {int} U$ is an open neighborhood of $f(x)$ and thus $f\left(x_{a}\right)$ is eventually in $\operatorname {int} U$ and therefore also in $U,$ in contradiction to $f\left(x_{a}\right)$ not being in $U$ for every $a.$This is a contradiction so $f$ must be continuous at $x.$ This completes the proof.

Компактность

Пространство $X$ компактна тогда и только тогда , когда каждая сеть $x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}$ в $X$ имеет подсеть с ограничением в $X.$ Это можно рассматривать как обобщение теоремы Больцано–Вейерштрасса и теоремы Гейне–Бореля .

show Доказательство

($\implies$) First, suppose that $X$ is compact. We will need the following observation (see finite intersection property). Let $I$ be any non-empty set and $\left\{C_{i}\right\}_{i\in I}$ be a collection of closed subsets of $X$ such that $\bigcap _{i\in J}C_{i}\neq \varnothing$ for each finite $J\subseteq I.$ Then $\bigcap _{i\in I}C_{i}\neq \varnothing$ as well. Otherwise, $\left\{C_{i}^{c}\right\}_{i\in I}$ would be an open cover for $X$ with no finite subcover contrary to the compactness of $X.$ Let $x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}$ be a net in $X$ directed by $A.$ For every $a\in A$ define$$E_{a}\triangleq \left\{x_{b}:b\geq a\right\}.$$The collection $\{\operatorname {cl} \left(E_{a}\right):a\in A\}$ has the property that every finite subcollection has non-empty intersection. Thus, by the remark above, we have that$$\bigcap _{a\in A}\operatorname {cl} E_{a}\neq \varnothing$$and this is precisely the set of cluster points of $x_{\bullet }.$ By the proof given in the next section, it is equal to the set of limits of convergent subnets of $x_{\bullet }.$ Thus $x_{\bullet }$ has a convergent subnet. ($\Longleftarrow$) Conversely, suppose that every net in $X$ has a convergent subnet. For the sake of contradiction, let $\left\{U_{i}:i\in I\right\}$ be an open cover of $X$ with no finite subcover. Consider $D\triangleq \{J\subset I:|J|<\infty \}.$ Observe that $D$ is a directed set under inclusion and for each $C\in D,$ there exists an $x_{C}\in X$ such that $x_{C}\notin U_{a}$ for all $a\in C.$ Consider the net $\left(x_{C}\right)_{C\in D}.$ This net cannot have a convergent subnet, because for each $x\in X$ there exists $c\in I$ such that $U_{c}$ is a neighbourhood of $x$; however, for all $B\supseteq \{c\},$ we have that $x_{B}\notin U_{c}.$ This is a contradiction and completes the proof.

Кластер и предельные точки

Множество точек кластеризации сети равно множеству пределов ее сходящихся подсетей .

show Доказательство

Let $x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}$ be a net in a topological space $X$ (where as usual $A$ automatically assumed to be a directed set) and also let $y\in X.$ If $y$ is a limit of a subnet of $x_{\bullet }$ then $y$ is a cluster point of $x_{\bullet }.$ Conversely, assume that $y$ is a cluster point of $x_{\bullet }.$Let $B$ be the set of pairs $(U,a)$ where $U$ is an open neighborhood of $y$ in $X$ and $a\in A$ is such that $x_{a}\in U.$The map $h:B\to A$ mapping $(U,a)$ to $a$ is then cofinal.Moreover, giving $B$ the product order (the neighborhoods of $y$ are ordered by inclusion) makes it a directed set, and the net $\left(y_{b}\right)_{b\in B}$ defined by $y_{b}=x_{h(b)}$ converges to $y.$

Сеть имеет предел тогда и только тогда, когда все ее подсети имеют ограничения. В этом случае каждый предел сети является также пределом каждой подсети.

Другие объекты недвижимости

В общем, сетка в пространстве $X$ может иметь более одного предела, но если $X$ является хаусдорфовым пространством , предел сети, если он существует, единственен. И наоборот, если $X$ не является Хаусдорфовой, то существует сеть на $X$ с двумя четко выраженными пределами. Таким образом, единственность предела эквивалентна условию Хаусдорфа на пространстве, и его действительно можно принять за определение. Этот результат зависит от условия направленности; множество, индексированное общим предпорядком или частичным порядком, может иметь различные предельные точки даже в хаусдорфовом пространстве.

Отношение к фильтрам

См. Также: Фильтры в топологии § Фильтры и сети.

Фильтр — это родственная идея в топологии, которая позволяет дать общее определение сходимости в общих топологических пространствах. Эти две идеи эквивалентны в том смысле, что они дают одну и ту же концепцию конвергенции. Более конкретно, каждая база фильтра создает связанную сеть с использованием заданных наборов фильтра, а сходимость базы фильтра подразумевает сходимость связанной сети. Аналогично, любая сеть $\left(x_{a}\right)_{a\in A}$ в $X$ вызывает фильтрацию хвостов $\left\{\left\{x_{a}:a\in A,a_{0}\leq a\right\}:a_{0}\in A\right\}$ где фильтр $X$ сети генерируемый этой базой фильтров, называется фильтром событий . Сходимость сети подразумевает сходимость фильтра событий. Это соответствие позволяет доказать любую теорему, которую можно доказать с помощью одной концепции, с помощью другой. Например, непрерывность функции из одного топологического пространства в другое может характеризоваться либо сходимостью сети в области, предполагающей сходимость соответствующей сети в кодобласти, либо тем же утверждением с базисами фильтров.

Роберт Г. Бартл утверждает, что, несмотря на их эквивалентность, полезно иметь обе концепции. Он утверждает, что сети достаточно похожи на последовательности, чтобы давать естественные доказательства и определения по аналогии с последовательностями, особенно с использованием последовательных элементов, что часто встречается в анализе , тогда как фильтры наиболее полезны в алгебраической топологии . В любом случае он показывает, как их можно использовать в сочетании для доказательства различных теорем общей топологии .

Кривая обучения для использования сетей обычно гораздо менее крутая, чем для фильтров, поэтому многие математики, особенно аналитики , предпочитают их фильтрам. Однако фильтры, и особенно ультрафильтры , имеют некоторые важные технические преимущества перед сетями, которые в конечном итоге приводят к тому, что сети встречаются гораздо реже, чем фильтры, за пределами областей анализа и топологии.

Как обобщение последовательностей

Каждое непустое вполне упорядоченное множество является направленным. Следовательно, каждая функция на таком множестве является сетью. В частности, натуральные числа $\mathbb {N}$ вместе с обычным целочисленным сравнением $\,\leq \,$ предзаказ представляет собой архетипический пример направленного набора. Последовательность является функцией натуральных чисел, поэтому каждая последовательность $a_{1},a_{2},\ldots$ в топологическом пространстве $X$ можно считать сетью $X$ определено на $\mathbb {N} .$ И наоборот, любая сеть, областью действия которой являются натуральные числа, является последовательностью , поскольку по определению последовательность в $X$ это просто функция из $\mathbb {N} =\{1,2,\ldots \}$ в $X.$ Таким образом, сети являются обобщением последовательностей, а не определяются на счетном линейно упорядоченном множестве ( $\mathbb {N}$), сеть определена на произвольном направленном множестве . Сети часто обозначаются с использованием обозначений, аналогичных (и вдохновленных) обозначениями, используемыми для последовательностей. Например, индексная запись $x_{a}$ берется из последовательностей.

Точно так же каждый предел последовательности и предел функции можно интерпретировать как предел сети. В частности, сеть в конечном итоге оказывается в подмножестве $S$ из $X$ если существует $N\in \mathbb {N}$ такой, что для любого целого числа $n\geq N,$ суть $a_{n}$ находится в $S.$ Так $\lim {}_{n}a_{n}\to L$ тогда и только тогда, когда для каждой окрестности $V$ из $L,$ сеть наконец-то появилась $V.$ Сеть часто находится в подмножестве $S$ из $X$ тогда и только тогда, когда для каждого $N\in \mathbb {N}$ существует некоторое целое число $n\geq N$ такой, что $a_{n}\in S,$ то есть тогда и только тогда, когда бесконечно много элементов последовательности находятся в $S.$ Таким образом, точка $y\in X$ является точкой кластера сети тогда и только тогда, когда каждая окрестность $V$ из $y$ содержит бесконечное число элементов последовательности.

В контексте топологии последовательности не полностью кодируют всю информацию о функциях между топологическими пространствами. В частности, следующие два условия, вообще говоря, не эквивалентны для отображения $f$ между топологическими пространствами $X$ и $Y$:

1. Карта $f$ непрерывен в топологическом смысле ;
2. Учитывая любую точку $x$ в $X,$ и любая последовательность в $X$ сходящиеся к $x,$ состав $f$ с этой последовательностью сходится к $f(x)$ (непрерывный в последовательном смысле) .

Хотя условие 1 всегда гарантирует условие 2, обратное не обязательно верно. Пространства, для которых эти два условия эквивалентны, называются секвенциальными пространствами . Все пространства с первой счетностью , включая метрические пространства , являются секвенциальными пространствами, но не все топологические пространства являются секвенциальными. Сети обобщают понятие последовательности, так что условие 2 выглядит следующим образом:

2. Учитывая любую точку $x$ в $X,$ и любая сеть в $X$ сходящиеся к $x,$ состав $f$ с этой сетью сходится к $f(x)$ (непрерывный в чистом смысле).

Благодаря этому изменению условия становятся эквивалентными для всех отображений топологических пространств, включая топологические пространства, которые не обязательно имеют счетный или линейно упорядоченный базис окрестности вокруг точки. Следовательно, хотя последовательности не кодируют достаточную информацию о функциях между топологическими пространствами, сети это делают, поскольку коллекции открытых множеств в топологических пространствах очень похожи на направленные множества по поведению .

В качестве примера, когда последовательностей недостаточно, интерпретируйте набор $\mathbb {R} ^{\mathbb {R} }$ всех функций с прототипом $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ как декартово произведение ${\textstyle \prod \limits _{x\in \mathbb {R} }}\mathbb {R}$ (путем определения функции $f$ с кортежем $(f(x))_{x\in \mathbb {R} },$ и наоборот) и наделить его топологией произведения . Эта топология (продукта) на $\mathbb {R} ^{\mathbb {R} }$ идентична топологии поточечной сходимости . Позволять $E$ обозначаем множество всех функций $f:\mathbb {R} \to \{0,1\}$ которые равны $1$ всюду, кроме не более чем конечного числа точек (т. е. таких, что множество $\{x:f(x)=0\}$ конечно). Тогда константа $0$ функция $\mathbf {0} :\mathbb {R} \to \{0\}$ относится к закрытию $E$ в $\mathbb {R} ^{\mathbb {R} };$ то есть, $\mathbf {0} \in \operatorname {cl} _{\mathbb {R} ^{\mathbb {R} }}E.$ Это будет доказано построением сети в $E$ который сходится к $\mathbf {0} .$ не существует Однако никакой последовательности . $E$ который сходится к $\mathbf {0} ,$ что делает это единственным примером, когда необходимо использовать сети (не последовательности), поскольку одни только последовательности не могут прийти к желаемому выводу. Сравните элементы $\mathbb {R} ^{\mathbb {R} }$ точечно обычным способом, заявив, что $f\geq g$ тогда и только тогда, когда $f(x)\geq g(x)$ для всех $x.$ Это поточечное сравнение представляет собой частичный порядок, который делает $(E,\geq )$ направленное множество, поскольку дано любое $f,g\in E,$ их точечный минимум $m:=\min\{f,g\}$ принадлежит $E$ и удовлетворяет $f\geq m$ и $g\geq m.$ Этот частичный порядок переворачивает карту идентичности $\operatorname {Id} :(E,\geq )\to E$ (определено $f\mapsto f$) в $E$-оцененная чистая. Эта сеть поточечно сходится к $\mathbf {0}$ в $\mathbb {R} ^{\mathbb {R} },$ что подразумевает, что $\mathbf {0}$ относится к закрытию $E$ в $\mathbb {R} ^{\mathbb {R} }.$

В более общем смысле подсеть последовательности не обязательно является последовательностью. Более того, подсеть последовательности может быть последовательностью, но не подпоследовательностью. Но в конкретном случае секвенциального пространства каждая сеть порождает соответствующую последовательность, и это соотношение отображает подсети в подпоследовательности. В частности, для первого счетного пространства сеть $\left(x_{a}\right)_{a\in A}$ индуцирует последовательность $\left(x_{h_{n}}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ где $h_{n}$ определяется как $n^{\text{th}}$ наименьшее значение в $A$ - то есть пусть $h_{1}:=\inf A$ и пусть $h_{n}:=\inf\{a\in A:a>h_{n-1}\}$ для каждого целого числа $n>1$.

Примеры

Топология подпространства

Если набор $S=\{x\}\cup \left\{x_{a}:a\in A\right\}$ наделено топологией подпространства, индуцированной на нем формулой $X,$ затем $\lim _{}x_{\bullet }\to x$ в $X$ тогда и только тогда, когда $\lim _{}x_{\bullet }\to x$ в $S.$ Таким образом, вопрос о том, есть ли сеть $x_{\bullet }$ сходится к заданной точке $x$ зависит исключительно от этого топологического подпространства $S$ состоящий из $x$ и изображение (то есть точек) сети $x_{\bullet }.$

Системы соседства

Основная статья: Система соседства

Интуитивно, сходимость сети $\left(x_{a}\right)_{a\in A}$ означает, что значения $x_{a}$ приходи и оставайся настолько близко, насколько мы хотим $x$ для достаточно большого $a.$ Учитывая точку $x$ в топологическом пространстве, пусть $N_{x}$ обозначим множество всех окрестностей, содержащих $x.$ Затем $N_{x}$ представляет собой ориентированное множество, направление которого задается обратным включением, так что $S\geq T$ тогда и только тогда, когда $S$ содержится в $T.$ Для $S\in N_{x},$ позволять $x_{S}$ быть точкой в $S.$ Затем $\left(x_{S}\right)$ является сетью. Как $S$ увеличивается по отношению к $\,\geq ,$ точки $x_{S}$ в сети ограничены тем, что лежат в убывающих окрестностях $x,$. Следовательно, в этой окрестности системы точки $x$, $x_{S}$ действительно сходится к $x$ согласно определению чистой конвергенции.

Учитывая подбазу ${\mathcal {B}}$ для топологии на $X$ (где обратите внимание, что каждая база топологии также является подбазой) и задана точка $x\in X,$ сеть $x_{\bullet }$ в $X$ сходится к $x$ тогда и только тогда, когда он в конечном итоге находится в каждом районе $U\in {\mathcal {B}}$ из $x.$ Эта характеристика распространяется на подбазы окрестностей (а значит, и базы окрестностей ) данной точки. $x.$

Пределы в декартовом произведении

Сеть в пространстве продукта имеет предел тогда и только тогда, когда каждая проекция имеет предел.

Явно, пусть $\left(X_{i}\right)_{i\in I}$ быть топологическими пространствами, наделить их декартовым произведением $${\textstyle \prod }X_{\bullet }:=\prod _{i\in I}X_{i}$$с топологией продукта , и это для каждого индекса $l\in I,$ обозначим каноническую проекцию на $X_{l}$ к $${\begin{alignedat}{4}\pi _{l}:\;&&{\textstyle \prod }X_{\bullet }&&\;\to \;&X_{l}\\[0.3ex]&&\left(x_{i}\right)_{i\in I}&&\;\mapsto \;&x_{l}\\\end{alignedat}}$$

Позволять $f_{\bullet }=\left(f_{a}\right)_{a\in A}$ быть сетью в ${\textstyle \prod }X_{\bullet }$ режиссер $A$ и для каждого индекса $i\in I,$ позволять $$\pi _{i}\left(f_{\bullet }\right)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(\pi _{i}\left(f_{a}\right)\right)_{a\in A}$$обозначают результат «подключения $f_{\bullet }$ в $\pi _{i}$", что приводит к получению сети $\pi _{i}\left(f_{\bullet }\right):A\to X_{i}.$ Иногда полезно рассматривать это определение в терминах композиции функций : сеть $\pi _{i}\left(f_{\bullet }\right)$ равен составу сети $f_{\bullet }:A\to {\textstyle \prod }X_{\bullet }$ с проекцией $\pi _{i}:{\textstyle \prod }X_{\bullet }\to X_{i};$ то есть, $\pi _{i}\left(f_{\bullet }\right)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\pi _{i}\,\circ \,f_{\bullet }.$

Для любой заданной точки $L=\left(L_{i}\right)_{i\in I}\in {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}X_{i},$ сеть $f_{\bullet }$ сходится к $L$ в продуктовом пространстве ${\textstyle \prod }X_{\bullet }$ тогда и только тогда, когда для каждого индекса $i\in I,$ $\pi _{i}\left(f_{\bullet }\right)\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;\left(\pi _{i}\left(f_{a}\right)\right)_{a\in A}$ сходится к $L_{i}$ в $X_{i}.$ И всякий раз, когда сеть $f_{\bullet }$ кластеры в $L$ в ${\textstyle \prod }X_{\bullet }$ затем $\pi _{i}\left(f_{\bullet }\right)$ кластеры в $L_{i}$ для каждого индекса $i\in I.$ Однако обратное, вообще говоря, неверно. Например, предположим $X_{1}=X_{2}=\mathbb {R}$ и пусть $f_{\bullet }=\left(f_{a}\right)_{a\in \mathbb {N} }$ обозначим последовательность $(1,1),(0,0),(1,1),(0,0),\ldots$ который чередуется между $(1,1)$ и $(0,0).$ Затем $L_{1}:=0$ и $L_{2}:=1$ являются точками кластеризации обоих $\pi _{1}\left(f_{\bullet }\right)$ и $\pi _{2}\left(f_{\bullet }\right)$ в $X_{1}\times X_{2}=\mathbb {R} ^{2}$ но $\left(L_{1},L_{2}\right)=(0,1)$ не является точкой кластера $f_{\bullet }$ поскольку открытый шар радиуса $1$ сосредоточено в $(0,1)$ не содержит ни одной точки $f_{\bullet }$

Теорема Тихонова и связь с аксиомой выбора

Если нет $L\in X$ дано, но для каждого $i\in I,$ существует какой-то $L_{i}\in X_{i}$ такой, что $\pi _{i}\left(f_{\bullet }\right)\to L_{i}$ в $X_{i}$ тогда кортеж, определенный $L=\left(L_{i}\right)_{i\in I}$ будет предел $f_{\bullet }$ в $X.$ Однако, аксиому выбора , чтобы сделать вывод, что этот кортеж возможно, потребуется принять $L$ существует; аксиома выбора не нужна в некоторых ситуациях, например, когда $I$ конечно или когда каждый $L_{i}\in X_{i}$ это уникальный предел сети $\pi _{i}\left(f_{\bullet }\right)$ (потому что тогда не из чего выбирать), что происходит, например, когда каждый $X_{i}$ является хаусдорфовым пространством . Если $I$ бесконечен и ${\textstyle \prod }X_{\bullet }={\textstyle \prod \limits _{j\in I}}X_{j}$ не пусто, то аксиома выбора (вообще) все равно понадобится, чтобы заключить, что проекции $\pi _{i}:{\textstyle \prod }X_{\bullet }\to X_{i}$ являются сюръективными картами .

Аксиома выбора эквивалентна теореме Тихонова , которая утверждает, что произведение любого набора компактных топологических пространств компактно. Но если каждый компакт также является хаусдорфовым пространством, то вместо этого можно использовать так называемую «теорему Тихонова для компактных хаусдорфовых пространств», которая эквивалентна лемме об ультрафильтре и, следовательно, строго слабее, чем аксиома выбора . Сети можно использовать для краткого доказательства обеих версий теоремы Тихонова, используя приведенную выше характеристику сходимости сетей вместе с тем фактом, что пространство компактно тогда и только тогда, когда каждая сеть имеет сходящуюся подсеть .

Ограничение выше/ниже

Верхний и нижний предел сети действительных чисел можно определить так же, как и для последовательностей. Некоторые авторы работают даже с более общими структурами, чем реальная линия, например, с полными решетками.

Для сети $\left(x_{a}\right)_{a\in A},$ помещать $$\limsup x_{a}=\lim _{a\in A}\sup _{b\succeq a}x_{b}=\inf _{a\in A}\sup _{b\succeq a}x_{b}.$$

Верхний предел сети действительных чисел имеет много свойств, аналогичных случаю последовательностей. Например, $$\limsup(x_{a}+y_{a})\leq \limsup x_{a}+\limsup y_{a},$$где равенство имеет место всякий раз, когда одна из сетей сходится.

Интеграл Римана

Определение значения интеграла Римана можно интерпретировать как предел сети сумм Римана , где направленное множество сети представляет собой набор всех разбиений интервала интегрирования, частично упорядоченных путем включения.

Метрические пространства

Предполагать $(M,d)$ является метрическим пространством (или псевдометрическим пространством ) и $M$ наделен метрической топологией . Если $m\in M$ это точка и $m_{\bullet }=\left(m_{i}\right)_{a\in A}$ является сетью, то $m_{\bullet }\to m$ в $(M,d)$ тогда и только тогда, когда $d\left(m,m_{\bullet }\right)\to 0$ в $\mathbb {R} ,$ где $d\left(m,m_{\bullet }\right):=\left(d\left(m,m_{a}\right)\right)_{a\in A}$ представляет собой сеть действительных чисел . Говоря простым языком , эта характеристика гласит, что сеть сходится к точке в метрическом пространстве тогда и только тогда, когда расстояние между сетью и точкой сходится к нулю. Если $(M,\|\cdot \|)$ является нормированным пространством (или полунормированным пространством ), тогда $m_{\bullet }\to m$ в $(M,\|\cdot \|)$ тогда и только тогда, когда $\left\|m-m_{\bullet }\right\|\to 0$ в $\mathbb {R} ,$ где $\left\|m-m_{\bullet }\right\|:=\left(\left\|m-m_{a}\right\|\right)_{a\in A}.$

Если $(M,d)$ имеет хотя бы две точки, то мы можем зафиксировать точку $c\in M$ (такой как $M:=\mathbb {R} ^{n}$ с евклидовой метрикой с $c:=0$ например, начало координат) и направить множество $I:=M\setminus \{c\}$ обратно в зависимости от расстояния от $c$ заявив, что $i\leq j$ тогда и только тогда, когда $d(j,c)\leq d(i,c).$ Другими словами, отношение «имеет по крайней мере одинаковое расстояние до $c$ как», так что «достаточно большой» по отношению к этому отношению означает «достаточно близкий к $c$". Учитывая любую функцию с доменом $M,$ его ограничение на $I:=M\setminus \{c\}$ канонически можно интерпретировать как сеть, направляемую $(I,\leq ).$

сеть $f:M\setminus \{c\}\to X$ в конечном итоге находится в подмножестве $S$ топологического пространства $X$ тогда и только тогда, когда существует некоторое $n\in M\setminus \{c\}$ такой, что для каждого $m\in M\setminus \{c\}$ удовлетворяющий $d(m,c)\leq d(n,c),$ суть $f(m)$ находится в $S.$ Такая сеть $f$ сходится в $X$ в заданную точку $L\in X$ тогда и только тогда, когда $\lim _{m\to c}f(m)\to L$ в обычном смысле (это означает, что для каждой окрестности $V$ из $L,$ $f$ в конечном итоге находится в $V$).

сеть $f:M\setminus \{c\}\to X$ часто находится в подмножестве $S$ из $X$ тогда и только тогда, когда для каждого $n\in M\setminus \{c\}$ существует какой-то $m\in M\setminus \{c\}$ с $d(m,c)\leq d(n,c)$ такой, что $f(m)$ находится в $S.$Следовательно, точка $L\in X$ является точкой кластера сети $f$ тогда и только тогда, когда для каждой окрестности $V$ из $L,$ сеть часто находится в $V.$

Функция из упорядоченного множества в топологическое пространство

Рассмотрим хорошо упорядоченный набор $[0,c]$ с предельной точкой $t$ и функция $f$ от $[0,t)$ в топологическое пространство $X.$ Эта функция является сетью $[0,t).$

В конечном итоге это подмножество $V$ из $X$ если существует $r\in [0,t)$ такой, что для каждого $s\in [r,t)$ суть $f(s)$ находится в $V.$

Так $\lim _{x\to t}f(x)\to L$ тогда и только тогда, когда для каждой окрестности $V$ из $L,$ $f$ в конечном итоге находится в $V.$

сеть $f$ часто находится в подмножестве $V$ из $X$ тогда и только тогда, когда для каждого $r\in [0,t)$ существует какой-то $s\in [r,t)$ такой, что $f(s)\in V.$

точка $y\in X$ является точкой кластера сети $f$ тогда и только тогда, когда для каждой окрестности $V$ из $y,$ сеть часто находится в $V.$

Первый пример является частным случаем этого случая. $c=\omega .$

См. также последовательность с порядковым индексом .

См. также

• Характеристики категории топологических пространств.
• Фильтр (теория множеств) - семейство множеств, представляющих «большие» множества.
• Фильтры в топологии . Использование фильтров для описания и характеристики всех основных топологических понятий и результатов.
• Предварительный порядок - рефлексивное и транзитивное бинарное отношение
• Секвенциальное пространство - Топологическое пространство, характеризующееся последовательностями.
• Ультрафильтр (теория множеств) — страницы максимально правильного фильтра, отображающие краткие описания целей перенаправления.

Ссылки

• Сундстрем, Маня Раман (2010). «Педагогическая история компактности». arXiv : 1006.4131v1 [ math.HO ].
• Алипрантис, Хараламбос Д .; Бордер, Ким С. (2006). Бесконечномерный анализ: Путеводитель для автостопщика (3-е изд.). Берлин: Шпрингер. стр. 100-1 XXII, 703. ISBN  978-3-540-32696-0 . МР   2378491 .
• Бир, Джеральд (1993). Топологии на замкнутых и замкнутых выпуклых множествах . Математика и ее приложения 268. Дордрехт: Группа академических издателей Kluwer. стр. XII, 340. ISBN.  0-7923-2531-1 . МР   1269778 .
• Хоуз, Норман Р. (23 июня 1995 г.). Современный анализ и топология . Тексты для аспирантов по математике . Нью-Йорк: Springer-Verlag Science & Business Media. ISBN  978-0-387-97986-1 . OCLC   31969970 . ОЛ   1272666М .
• Келли, Джон Л. (1975). Общая топология . Тексты для аспирантов по математике . Том. 27. Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN  978-0-387-90125-1 . ОСЛК   338047 .
• Келли, Джон Л. (1991). Общая топология . Спрингер. ISBN  3-540-90125-6 .
• Меггинсон, Роберт Э. (1998). Введение в теорию банахового пространства . Тексты для аспирантов по математике . Том. 193. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  0-387-98431-3 .
• Шехтер, Эрик (1997). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего: Академическая пресса. ISBN  9780080532998 . Проверено 22 июня 2013 г.
• Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN  978-0-12-622760-4 . OCLC   175294365 .
• Уиллард, Стивен (2004) [1970]. Общая топология . Минеола, Нью-Йорк : Dover Publications . ISBN  978-0-486-43479-7 . OCLC   115240 .