Коши пространство

В общей топологии и анализе пространство Коши является обобщением метрических пространств и равномерных пространств , для которых понятие сходимости Коши все еще имеет смысл. Пространства Коши были введены Х. Х. Келлером в 1968 году как аксиоматический инструмент, основанный на идее фильтра Коши , для изучения полноты в топологических пространствах . Категория является пространств Коши и непрерывных отображений Коши декартово замкнутой и содержит категорию пространств близости .

Определение

Через, $X$ это набор, $\wp (X)$ обозначает мощности набор $X,$ и все фильтры считаются правильными/невырожденными (т.е. фильтр не может содержать пустой набор).

Пространство Коши – это пара $(X,C)$ состоящий из набора $X$ вместе семья $C\subseteq \wp (\wp (X))$ (правильных) фильтров на $X$ обладающий всеми следующими свойствами:

1. Для каждого $x\in X,$ дискретный ультрафильтр на $x,$ обозначается $U(x),$ находится в $C.$
2. Если $F\in C,$ $G$ это правильный фильтр, и $F$ является подмножеством $G,$ затем $G\in C.$
3. Если $F,G\in C$ и если каждый член $F$ пересекает каждый член $G,$ затем $F\cap G\in C.$

Элемент $C$ называется фильтром Коши , а отображением $f$ между пространствами Коши $(X,C)$ и $(Y,D)$ является непрерывным по Коши, если $\uparrow f(C)\subseteq D$; то есть изображение каждого фильтра Коши в $X$ представляет собой базу фильтра Коши в $Y.$

Свойства и определения

Любое пространство Коши также является пространством сходимости , где фильтр $F$ сходится к $x$ если $F\cap U(x)$ является Коши. В частности, пространство Коши имеет естественную топологию .

Примеры

• Любое равномерное пространство (следовательно, любое метрическое пространство , топологическое векторное пространство или топологическая группа ) является пространством Коши; см . в разделе «Фильтр Коши» . определения
• Группа , упорядоченная по решетке, имеет естественную структуру Коши.
• Любой направленный набор $A$ можно превратить в пространство Коши, объявив фильтр $F$ быть Коши, если для любого элемента $n\in A,$ есть элемент $U\in F$ такой, что $U$ является либо синглтоном , либо подмножеством хвоста $\{m:m\geq n\}.$ Тогда, учитывая любое другое пространство Коши $X,$ функции непрерывные по Коши из $A$ к $X$ такие же, как сети Коши в $X$ индексируется $A.$ Если $X$ полна , то такую ​​функцию можно продолжить до завершения $A,$ что можно написать $A\cup \{\infty \};$ значение расширения в $\infty$ будет пределом сети. В случае, когда $A$ это набор $\{1,2,3,\ldots \}$ натуральных чисел (так что сеть Коши, индексированная $A$ совпадает с последовательностью Коши ), то $A$ получает ту же структуру Коши, что и метрическое пространство $\{1,1/2,1/3,\ldots \}.$

Категория пространств Коши

Естественным понятием морфизма между пространствами Коши является понятие непрерывной по Коши функции , концепция, которая ранее изучалась для равномерных пространств.

См. также

• Характеристики категории топологических пространств.
• Пространство сходимости - обобщение понятия сходимости, которое встречается в общей топологии.
• Фильтры в топологии . Использование фильтров для описания и характеристики всех основных топологических понятий и результатов.
• Претопологическое пространство - Обобщенное топологическое пространство.
• Пространство близости - структура, описывающая понятие «близости» между подмножествами.

Ссылки

• Ева Лоуэн-Колбундерс (1989). Классы функций непрерывных отображений Коши . Деккер, Нью-Йорк, 1989 год.
• Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN  978-0-12-622760-4 . OCLC   175294365 .