Пространство конвергенции

В математике , пространство сходимости также называемое обобщенной сходимостью , представляет собой множество вместе с отношением, называемым сходимостью удовлетворяет определенным свойствам, связывающим элементы X с семейством фильтров которое на X. , Пространства сходимости обобщают понятия сходимости , которые встречаются в топологии множества точек , включая метрическую сходимость и равномерную сходимость. Каждое топологическое пространство порождает каноническую конвергенцию, но существуют конвергенции, известные как нетопологические конвергенции , которые не возникают ни в каком топологическом пространстве. Примеры сходимости, которые в целом не являются топологическими, включают сходимость по мере и сходимость почти всюду . Многие топологические свойства имеют обобщения на пространства сходимости.

Помимо способности описывать понятия сходимости, чего топологии не могут сделать , категория пространств сходимости обладает важным категориальным свойством, которого нет у категории топологических пространств . Категория топологических пространств не является экспоненциальной категорией (или, что то же самое, она не является декартово замкнутой ), хотя она содержится в экспоненциальной категории псевдотопологических пространств , которая сама является подкатегорией (также экспоненциальной) категории пространств сходимости.

Определение и обозначения

См. также: Фильтры в топологии и Ультрафильтр.

Предварительные сведения и обозначения

Обозначим степенной набор множества $X$ к $\wp (X).$ Восходящее закрытие или изотонизация в $X$ семейства подмножеств ${\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)$ определяется как

${\mathcal {B}}^{\uparrow X}:=\left\{S\subseteq X~:~B\subseteq S{\text{ for some }}B\in {\mathcal {B}}\,\right\}=\bigcup _{B\in {\mathcal {B}}}\left\{S~:~B\subseteq S\subseteq X\right\}$

и аналогично вниз закрытие ${\mathcal {B}}$ является ${\mathcal {B}}^{\downarrow }:=\left\{S\subseteq B~:~B\in {\mathcal {B}}\,\right\}=\bigcup _{B\in {\mathcal {B}}}\wp (B).$ Если ${\mathcal {B}}^{\uparrow X}={\mathcal {B}}$ (соответственно ${\mathcal {B}}^{\downarrow }={\mathcal {B}}$) затем ${\mathcal {B}}$ говорят, что оно закрыто вверх (соответственно закрыто вниз ) в $X.$

Для любой семьи ${\mathcal {C}}$ и ${\mathcal {F}},$ заявить, что

${\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}$ тогда и только тогда, когда для каждого $C\in {\mathcal {C}},$ существует какой-то $F\in {\mathcal {F}}$ такой, что $F\subseteq C$

или эквивалентно, если ${\mathcal {F}}\subseteq \wp (X),$ затем ${\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}$ тогда и только тогда, когда ${\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {F}}^{\uparrow X}.$ Отношение ​ $\,\leq \,$ определяет предзаказ на $\wp (\wp (X)).$ Если ${\mathcal {F}}\geq {\mathcal {C}},$ что по определению означает ${\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}},$ затем ${\mathcal {F}}$ говорят, что он находится в подчинении ${\mathcal {C}}$ а также тоньше, чем ${\mathcal {C}},$ и ${\mathcal {C}}$ говорят, что он грубее, чем ${\mathcal {F}}.$ Отношение $\,\geq \,$ называется подчинением . Две семьи ${\mathcal {C}}$ и ${\mathcal {F}}$ называются эквивалентными ( по подчинению $\,\geq \,$) если ${\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}$ и ${\mathcal {F}}\leq {\mathcal {C}}.$

Фильтр в комплекте $X$ является непустым подмножеством ${\mathcal {F}}\subseteq \wp (X)$ это закрыто вверх $X,$ замкнут при конечных пересечениях и не имеет пустого множества в качестве элемента (т.е. $\varnothing \not \in {\mathcal {F}}$). — Предварительный фильтр это любое семейство множеств, которое эквивалентно (относительно подчинения) некоторому фильтру или, что то же самое, это любое семейство множеств, замыкание вверх которого является фильтром. Семья ${\mathcal {B}}$ является префильтром, также называемым базой фильтра , тогда и только тогда, когда $\varnothing \not \in {\mathcal {B}}\neq \varnothing$ и для любого $B,C\in {\mathcal {B}},$ существует какой-то $A\in {\mathcal {B}}$ такой, что $A\subseteq B\cap C.$ — Подбаза фильтра это любое непустое семейство множеств со свойством конечного пересечения ; эквивалентно, это любое непустое семейство ${\mathcal {B}}$ который содержится как подмножество некоторого фильтра (или префильтра), и в этом случае наименьший (по отношению к $\subseteq$ или $\leq$) фильтр, содержащий ${\mathcal {B}}$ называется фильтром ( на $X$), созданный ${\mathcal {B}}$. Набор всех фильтров (соответственно предфильтры , фильтрующие подставки, ультрафильтры ) на $X$ будет обозначаться $\operatorname {Filters} (X)$ (соответственно $\operatorname {Prefilters} (X),$ $\operatorname {FilterSubbases} (X),$ $\operatorname {UltraFilters} (X)$). Основной на или дискретный фильтр $X$ в какой-то момент $x\in X$ это фильтр $\{x\}^{\uparrow X}.$

Определение пространств (предварительной) конвергенции

Для любого $\xi \subseteq X\times \wp (\wp (X)),$ если ${\mathcal {F}}\subseteq \wp (X)$ затем определите

$\lim {}_{\xi }{\mathcal {F}}:=\left\{x\in X~:~\left(x,{\mathcal {F}}\right)\in \xi \right\}$

и если $x\in X$ затем определите

$\lim {}_{\xi }^{-1}(x):=\left\{{\mathcal {F}}\subseteq \wp (X)~:~\left(x,{\mathcal {F}}\right)\in \xi \right\}$

так что если $\left(x,{\mathcal {F}}\right)\in X\times \wp (\wp (X))$ затем $x\in \lim {}_{\xi }{\mathcal {F}}$ тогда и только тогда, когда $\left(x,{\mathcal {F}}\right)\in \xi .$ Набор $X$ называется базовым набором $\xi$ и обозначается $\left|\xi \right|:=X.$

Предварительная конвергенция на непустом множестве $X$ это бинарное отношение $\xi \subseteq X\times \operatorname {Filters} (X)$ со следующим свойством:

1. Изотонический : если ${\mathcal {F}},{\mathcal {G}}\in \operatorname {Filters} (X)$ затем ${\mathcal {F}}\leq {\mathcal {G}}$ подразумевает $\lim {}_{\xi }{\mathcal {F}}\subseteq \lim {}_{\xi }{\mathcal {G}}$
   • Другими словами, любая предельная точка ${\mathcal {F}}$ обязательно является предельной точкой любого более тонкого/подчиненного семейства ${\mathcal {G}}\geq {\mathcal {F}}.$

и если вдобавок он обладает еще и следующим свойством:

2. Центрировано : если $x\in X$ затем $x\in \lim {}_{\xi }\left(\{x\}^{\uparrow X}\right)$
   • Словом, для каждого $x\in X,$ главный/дискретный ультрафильтр при $x$ сходится к $x.$

тогда предсходимость $\xi$ называется конвергенцией на $X.$ или Обобщенная сходимость пространство сходимости (соответственно предсходимое пространство ) — это пара, состоящая из множества $X$ вместе со сходимостью (соответственно предсходимостью) на $X.$

Предварительная конвергенция $\xi \subseteq X\times \operatorname {Filters} (X)$ может быть канонически расширено до отношения на $X\times \operatorname {Prefilters} (X),$ также обозначается $\xi ,$ определяя

$\lim {}_{\xi }{\mathcal {F}}:=\lim {}_{\xi }\left({\mathcal {F}}^{\uparrow X}\right)$

для всех ${\mathcal {F}}\in \operatorname {Prefilters} (X).$ Эта расширенная предконвергенция будет изотонной на $\operatorname {Prefilters} (X),$ это означает, что если ${\mathcal {F}},{\mathcal {G}}\in \operatorname {Prefilters} (X)$ затем ${\mathcal {F}}\leq {\mathcal {G}}$ подразумевает $\lim {}_{\xi }{\mathcal {F}}\subseteq \lim {}_{\xi }{\mathcal {G}}.$

Примеры

пространством

См. также: Конвергентный фильтр.

Позволять $(X,\tau )$ быть топологическим пространством с $X\neq \varnothing .$ Если ${\mathcal {F}}\in \operatorname {Filters} (X)$ затем ${\mathcal {F}}$ говорят, что он сходится к точке $x\in X$ в $(X,\tau ),$ написано ${\mathcal {F}}\to x$ в $(X,\tau ),$ если ${\mathcal {F}}\geq {\mathcal {N}}(x),$ где ${\mathcal {N}}(x)$ обозначает окрестности фильтр $x$ в $(X,\tau ).$ Набор всего $x\in X$ такой, что ${\mathcal {F}}\to x$ в $(X,\tau )$ обозначается $\lim {}_{(X,\tau )}{\mathcal {F}},$ $\lim {}_{X}{\mathcal {F}},$ или просто $\lim {\mathcal {F}},$ и элементы этого множества называются предельными точками ${\mathcal {F}}$ в $(X,\tau ).$ ( Каноническая ) сходимость, связанная или индуцированная $(X,\tau )$ это сходимость на $X,$ обозначается $\xi _{\tau },$ определено для всех $x\in X$ и все ${\mathcal {F}}\in \operatorname {Filters} (X)$ к:

$x\in \lim {}_{\xi _{\tau }}{\mathcal {F}}$ тогда и только тогда, когда ${\mathcal {F}}\to x$ в $(X,\tau ).$

Эквивалентно это определяется $\lim {}_{\xi _{\tau }}{\mathcal {F}}:=\lim {}_{(X,\tau )}{\mathcal {F}}$ для всех ${\mathcal {F}}\in \operatorname {Filters} (X).$

(Пред)сходимость, индуцированная некоторой топологией на $X$ называется топологической (пред)сходимостью ; в противном случае это называется нетопологической (пред)сходимостью .

Мощность

Позволять $(X,\tau )$ и $(Z,\sigma )$ — топологические пространства и пусть $C:=C\left((X,\tau );(Z,\sigma )\right)$ обозначим множество непрерывных отображений $f:(X,\tau )\to (Z,\sigma ).$ Власть по отношению к $\tau$ и $\sigma$ это самая грубая топология $\theta$ на $C$ что делает естественную связь $\left\langle x,f\right\rangle =f(x)$ в непрерывную карту $(X,\tau )\times \left(C,\theta \right)\to (Z,\sigma ).$ Задача нахождения мощности не имеет решения, если $(X,\tau )$ компактен локально . Однако если искать сходимость вместо топологии, то всегда существует сходимость, решающая эту проблему (даже без локальной компактности). Другими словами, категория топологических пространств не является экспоненциальной категорией (т. е. или, что то же самое, она не является декартово замкнутой ), хотя она содержится в экспоненциальной категории псевдотопологий , которая сама является подкатегорией (также экспоненциальной) категории сходимости. .

Другие названные примеры

Стандартная сходимость на $\mathbb {R}$

Стандартная сходимость на реальной линии $X:=\mathbb {R}$ это конвергенция $\nu$ на $X$ определено для всех $x\in X=\mathbb {R}$ и все ${\mathcal {F}}\in \operatorname {Filters} (X)$ к:

$x\in \lim {}_{\nu }{\mathcal {F}}$ тогда и только тогда, когда ${\mathcal {F}}~\geq ~\left\{\left(x-{\frac {1}{n}},x+{\frac {1}{n}}\right)~:~n\in \mathbb {N} \right\}.$

Дискретная сходимость

Дискретная предсходимость $\iota _{X}$ на непустом множестве $X$ определяется для всех $x\in X$ и все ${\mathcal {F}}\in \operatorname {Filters} (X)$ к:

$x\in \lim {}_{\iota _{X}}{\mathcal {F}}$ тогда и только тогда, когда ${\mathcal {F}}~=~\{x\}^{\uparrow X}.$

Предварительная конвергенция $\xi$ на $X$ является сходимостью тогда и только тогда, когда $\xi \leq \iota _{X}.$

Пустая конвергенция

Пустая предконвергенция $\varnothing _{X}$ на наборе непустой $X$ определяется для всех ${\mathcal {F}}\in \operatorname {Filters} (X)$ к: $\lim {}_{\varnothing _{X}}{\mathcal {F}}:=\emptyset .$

Хотя это предварительная конвергенция по $X,$ это не сближение $X.$ Пустая предсходимость на $X\neq \varnothing$ является нетопологической предсходимостью, поскольку для любой топологии $\tau$ на $X,$ фильтр соседства в любой заданной точке $x\in X$ обязательно сходится к $x$ в $(X,\tau ).$

Хаотическая конвергенция

Хаотическая предконвергенция $o_{X}$ на наборе непустой $X$ определяется для всех ${\mathcal {F}}\in \operatorname {Filters} (X)$ к: $\lim {}_{o_{X}}{\mathcal {F}}:=X.$ Хаотическая предконвергенция на $X$ равна канонической сходимости, индуцированной $X$ когда $X$ наделен недискретной топологией .

Свойства

Предварительная конвергенция $\xi$ на наборе непустой $X$ называется Хаусдорфом или Т _2, если $\lim {}_{\xi }{\mathcal {F}}$ это одноэлементный набор для всех ${\mathcal {F}}\in \operatorname {Filters} (X).$ Оно называется Т _1, если $\lim {}_{\xi }\left(\{x\}^{\uparrow X}\right)\subseteq \{x\}$ для всех $x\in X$ и оно называется T _0, если $\operatorname {lim} ^{-1}{}_{\xi }(x)\neq \operatorname {lim} ^{-1}{}_{\xi }(y)$ для всех отдельных $x,y\in X.$ Любая предсходимость T ₁ на конечном множестве является хаусдорфовой. Любая сходимость T ₁ на конечном множестве дискретна.

Хотя категория топологических пространств не является экспоненциальной (т.е. декартово замкнутой ), ее можно расширить до экспоненциальной категории за счет использования подкатегории пространств сходимости.

См. также

• Пространство Коши - Концепция общей топологии и анализа
• Характеристики категории топологических пространств.
• Конвергентный фильтр – использование фильтров для описания и характеристики всех основных топологических понятий и результатов. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Пространство близости - структура, описывающая понятие «близости» между подмножествами.
• Топологическое пространство - Математическое пространство с понятием близости.

Ссылки

• Долецкий, Шимон ; Минард, Фредерик (2016). Основы конвергенции топологии . Нью-Джерси: Всемирная научная издательская компания. ISBN  978-981-4571-52-4 . OCLC   945169917 .
• Долецкий, Шимон (2009). Минар, Фредерик; Перл, Эллиотт (ред.). «Посвящение в теорию конвергенции» (PDF) . За пределами топологии . Серия современной математики AMS 486 : 115–162 . Проверено 14 января 2021 г.
• Долецкий, Шимон; Минар, Фредерик (2014). «Единая теория функциональных пространств и гиперпространств: локальные свойства» (PDF) . Хьюстон Дж. Математика . 40 (1): 285–318 . Проверено 14 января 2021 г.
• Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN  978-0-12-622760-4 . OCLC   175294365 .