Система соседства

В топологии и смежных областях математики — система окрестностей , полная система окрестностей . или фильтр соседства ${\mathcal {N}}(x)$ за точку $x$ в топологическом пространстве — это совокупность окрестностей всех $x.$

Определения

Окрестность точки или множества

Ан открытая окрестность точки (или подмножества ) $x$ в топологическом пространстве $X$ любое открытое подмножество $U$ из $X$ который содержит $x.$А окрестности ​ $x$ в $X$ это любое подмножество $N\subseteq X$ который содержит некоторую открытую окрестность $x$; явно, $N$ это район $x$ в $X$ тогда и только тогда, когда существует некоторое открытое подмножество $U$ с $x\in U\subseteq N$. Аналогично, окрестности $x$ любое множество, содержащее $x$ в его топологической внутренности .

Важно отметить, что «район» не обязательно должен быть открытым множеством; те районы, которые также являются открытыми множествами, известны как «открытые районы». Аналогично окрестность, которая также является замкнутым (соответственно компактным , связным и т. д.) множеством, называется закрытое окружение (соответственно, компактный район , подключенный район и т. д.). Существует множество других типов окрестностей, которые используются в топологии и смежных областях, таких как функциональный анализ . Семейство всех кварталов, имеющих определенное «полезное» свойство, часто образует основу соседства , хотя во многих случаях эти кварталы не обязательно являются открытыми. локально-компактные пространства Например, — это те пространства, которые в каждой точке имеют базис окрестности, полностью состоящий из компактов.

Фильтр соседства

Система окрестности точки (или непустого подмножества) $x$ это фильтр, называемый фильтром соседства для $x.$ Фильтр окрестности для точки $x\in X$ то же самое, что фильтр окрестности одноэлементного набора $\{x\}.$

По соседству

А на основе соседства или на местном уровне (или районная база или местная база ) за точку $x$ – база фильтра соседства; это означает, что это подмножество

$${\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {N}}(x)$$

такой, что для всех $V\in {\mathcal {N}}(x),$ существует какой-то $B\in {\mathcal {B}}$ такой, что $B\subseteq V.$ То есть для любой окрестности $V$ мы можем найти район $B$ в базисе соседства, который содержится в $V.$

Эквивалентно, ${\mathcal {B}}$ является локальной базой в $x$ тогда и только тогда, когда фильтр окрестности ${\mathcal {N}}$ можно восстановить из ${\mathcal {B}}$ в том смысле, что имеет место следующее равенство:

$${\mathcal {N}}(x)=\left\{V\subseteq X~:~B\subseteq V{\text{ for some }}B\in {\mathcal {B}}\right\}\!\!\;.$$

Семья ${\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {N}}(x)$ является основой соседства для $x$ тогда и только тогда, когда ${\mathcal {B}}$ является конфинальным подмножеством $\left({\mathcal {N}}(x),\supseteq \right)$ относительно частичного порядка $\supseteq$ (важно, что этот частичный порядок является отношением надмножества , а не отношением подмножества ).

Подбазис района

А окрестности подбазиса в $x$ это семья ${\mathcal {S}}$ подмножеств $X,$ каждый из которых содержит $x,$ такая, что совокупность всех возможных конечных пересечений элементов ${\mathcal {S}}$ образует основу соседства в $x.$

Примеры

Если $\mathbb {R}$ имеет свою обычную евклидову топологию , то окрестности $0$ это все эти подмножества $N\subseteq \mathbb {R}$ для которого существует некоторое действительное число $r>0$ такой, что $(-r,r)\subseteq N.$ Например, все следующие множества являются окрестностями $0$ в $\mathbb {R}$:

$$(-2,2),\;[-2,2],\;[-2,\infty ),\;[-2,2)\cup \{10\},\;[-2,2]\cup \mathbb {Q} ,\;\mathbb {R}$$

но ни одно из следующих множеств не является окрестностями $0$:

$$\{0\},\;\mathbb {Q} ,\;(0,2),\;[0,2),\;[0,2)\cup \mathbb {Q} ,\;(-2,2)\setminus \left\{1,{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{4}},\ldots \right\}$$

где $\mathbb {Q}$ обозначает рациональные числа .

Если $U$ является открытым подмножеством топологического пространства $X$ тогда для каждого $u\in U,$ $U$ это район $u$ в $X.$ В более общем смысле, если $N\subseteq X$ это любой набор и $\operatorname {int} _{X}N$ обозначает топологическую внутренность $N$ в $X,$ затем $N$ это район (в $X$) каждой точки $x\in \operatorname {int} _{X}N$ и более того, $N$ является не окрестностью какой-либо другой точки. Сказал по-другому, $N$ является окрестностью точки $x\in X$ тогда и только тогда, когда $x\in \operatorname {int} _{X}N.$

Соседские базы

В любом топологическом пространстве система окрестности точки является также базисом окрестности точки. Множество всех открытых окрестностей в точке образует базис окрестностей в этой точке. Для любой точки $x$ в метрическом пространстве последовательность открытых шаров вокруг $x$ с радиусом $1/n$ образуют счетный базис окрестности ${\mathcal {B}}=\left\{B_{1/n}:n=1,2,3,\dots \right\}$. Это означает, что каждое метрическое пространство является счетным по началу .

Учитывая пространство $X$ с недискретной топологией система окрестности для любой точки $x$ содержит только все пространство, ${\mathcal {N}}(x)=\{X\}$.

В слабой топологии в пространстве мер на пространстве $E,$ районная база о $\nu$ дается

$$\left\{\mu \in {\mathcal {M}}(E):\left|\mu f_{i}-\nu f_{i}\right|<r_{i},\,i=1,\dots ,n\right\}$$

где $f_{i}$ являются непрерывными ограниченными функциями из $E$ реальным числам и $r_{1},\dots ,r_{n}$ являются положительными действительными числами.

Полунормированные пространства и топологические группы

В полунормированном пространстве , то есть векторном пространстве с топологией, индуцированной полунормой , все системы окрестностей могут быть построены путем перевода системы окрестностей для начала координат:

$${\mathcal {N}}(x)={\mathcal {N}}(0)+x.$$

Это связано с тем, что по предположению сложение векторов отдельно непрерывно в индуцированной топологии. Следовательно, топология определяется ее системой окрестностей в начале координат. В более общем смысле, это остается верным всякий раз, когда пространство является топологической группой или топология определяется псевдометрикой .

Свойства

Предполагать $u\in U\subseteq X$ и пусть ${\mathcal {N}}$ быть основой соседства для $u$ в $X.$ Делать ${\mathcal {N}}$ в направленное множество , частично упорядочив его путем включения надмножества $\,\supseteq .$ Затем $U$ это не район $u$ в $X$ тогда и только тогда, когда существует ${\mathcal {N}}$-индексированная сеть $\left(x_{N}\right)_{N\in {\mathcal {N}}}$ в $X\setminus U$ такой, что $x_{N}\in N\setminus U$ для каждого $N\in {\mathcal {N}}$ (что подразумевает, что $\left(x_{N}\right)_{N\in {\mathcal {N}}}\to u$ в $X$).

См. также

• База (топология) - совокупность открытых наборов, используемых для определения топологии.
• Фильтр (теория множеств) - семейство множеств, представляющих «большие» множества.
• Фильтры в топологии . Использование фильтров для описания и характеристики всех основных топологических понятий и результатов.
• Локально выпуклое топологическое векторное пространство - векторное пространство с топологией, определяемой выпуклыми открытыми множествами.
• Окрестность (математика) - Открытое множество, содержащее данную точку.
• Подбаза — совокупность подмножеств, генерирующих топологию.
• Трубчатая окрестность - окрестность подмногообразия, гомеоморфного нормальному расслоению этого подмногообразия. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.

Библиография

• Бурбаки, Николя (1989) [1966]. Общая топология: главы 1–4 [ Общая топология ]. Элементы математики . Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN  978-3-540-64241-1 . OCLC   18588129 .
• Диксмье, Жак (1984). Общая топология . Тексты для бакалавриата по математике. Перевод Berberian, SK New York: Springer-Verlag . ISBN  978-0-387-90972-1 . ОСЛК   10277303 .
• Уиллард, Стивен (2004) [1970]. Общая топология . Минеола, Нью-Йорк : Dover Publications . ISBN  978-0-486-43479-7 . OCLC   115240 .