Первое счетное пространство

В топологии , разделе математики , пространство первой счётности — это топологическое пространство, удовлетворяющее «первой аксиоме счётности ». В частности, пространство $X$ называется первосчетной, если каждая точка имеет счетный базис окрестности (локальную базу). То есть для каждой точки $x$ в $X$ существует последовательность $N_{1},N_{2},\ldots$ районов ​ ​ $x$ такой, что для любой окрестности $N$ из $x$ существует целое число $i$ с $N_{i}$ содержится в $N.$Поскольку каждая окрестность любой точки содержит открытую окрестность этой точки, базис окрестностей можно без ограничения общности выбрать состоящим из открытых окрестностей.

Примеры и контрпримеры

Большинство «повседневных» пространств в математике являются счетными. В частности, всякое метрическое пространство первично счетно. Чтобы убедиться в этом, обратите внимание, что множество открытых шаров с центром в $x$ с радиусом $1/n$ для целых чисел образуют счетную локальную базу в точке $x.$

Примером пространства, которое не является счетным в первую очередь, является коконечная топология на несчетном множестве (например, вещественная линия ). В более общем смысле топология Зариского на алгебраическом многообразии над несчетным полем не является счетной.

Другой контрпример — порядковое пространство. $\omega _{1}+1=\left[0,\omega _{1}\right]$ где $\omega _{1}$ – первое неисчисляемое порядковое число. Элемент $\omega _{1}$ является предельной точкой подмножества $\left[0,\omega _{1}\right)$ несмотря на отсутствие последовательности элементов в $\left[0,\omega _{1}\right)$ имеет элемент $\omega _{1}$ как его предел. В частности, точка $\omega _{1}$ в космосе $\omega _{1}+1=\left[0,\omega _{1}\right]$ не имеет счетной локальной базы. С $\omega _{1}$ является единственной такой точкой, однако подпространство $\omega _{1}=\left[0,\omega _{1}\right)$ является первым счетным.

Факторпространство ​ $\mathbb {R} /\mathbb {N}$ где натуральные числа на действительной прямой идентифицируются как одна точка, не являются первыми счетными. Однако это пространство обладает тем свойством, что для любого подмножества $A$ и каждый элемент $x$ в закрытии $A,$ существует последовательность в A, сходящаяся к $x.$ Пространство с этим свойством последовательности иногда называют пространством Фреше-Урысона .

Первая счетность строго слабее второй счетности . Всякое пространство со второй счетностью является первым счетным, но любое несчетное дискретное пространство является первым счетным, но не вторым счетным.

Свойства

Одним из наиболее важных свойств пространств с первой счетностью является то, что для данного подмножества $A,$ точка $x$ в закрытии заключается $A$ тогда и только тогда, когда существует последовательность $\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }$ в $A$ который сходится к $x.$ (Другими словами, каждое пространство с первой счетностью является пространством Фреше-Урысона и, следовательно, также секвенциальным пространством .) Это имеет последствия для пределов и непрерывности . В частности, если $f$ есть функция на первом счетном пространстве, то $f$ имеет предел $L$ в точку $x$ тогда и только тогда, когда для каждой последовательности $x_{n}\to x,$ где $x_{n}\neq x$ для всех $n,$ у нас есть $f\left(x_{n}\right)\to L.$ Кроме того, если $f$ есть функция на первом счетном пространстве, то $f$ непрерывно тогда и только тогда, когда всякий раз, когда $x_{n}\to x,$ затем $f\left(x_{n}\right)\to f(x).$

В первых счетных пространствах секвенциальная компактность и счетная компактность являются эквивалентными свойствами. Однако существуют примеры секвенциально компактных, счетных пространств, которые не являются компактными (это обязательно не метризуемые пространства). Одним из таких пространств является порядковое пространство. $\left[0,\omega _{1}\right).$ Каждое счетное пространство компактно порождается .

Каждое подпространство первосчетного пространства является первосчетным. Любое счетное произведение первосчетного пространства является первосчетным, хотя несчетные произведения не обязательно таковые.

См. также

• Пространство Фреше – Урысона - Свойство топологического пространства.
• Второе счетное пространство - Топологическое пространство, топология которого имеет счетную базу.
• Сепарабельное пространство - Топологическое пространство с плотным счетным подмножеством.
• Секвенциальное пространство - Топологическое пространство, характеризующееся последовательностями.

Библиография

• «Первая аксиома счетности» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Энгелькинг, Рышард (1989). Общая топология . Серия сигм в чистой математике, Vol. 6 (Переработанное и дополненное изд.). Хельдерманн Верлаг, Берлин. ISBN  3885380064 .